funktion. part. ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:19 Mi 31.05.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | | Sei U:= [mm] \IR^2 \backslash\{(0,y) | y\ge0 \}. [/mm] Geben sei eine part. diffbare Funktion f: U [mm] \to \IR [/mm] an, mit [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y) [/mm] = 0 für alle [mm] (x,y)\in [/mm] U, die nicht nur von y abhängt. |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey leute, ich hab mir gedacht folgende Funktion, erfüllt die Bedingungen:
[mm] f(x,y)=\begin{cases} y : & (x,y)\not=(0,0) \\ x : & (x,y)=(0,0) \end{cases}
[/mm]
weiß einer von euch, ob das eine mögliche gesuchte funktion sein kann?
danke und gruß.. Ari :)
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Hallo Ari,
> Sei U:= [mm]\IR^2 \backslash\{(0,y) | y\ge0 \}.[/mm] Geben sei eine
> part. diffbare Funktion f: U [mm]\to \IR[/mm] an, mit
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)[/mm] = 0 für alle [mm](x,y)\in[/mm]
> U, die nicht nur von y abhängt.
> (frage zuvor nicht gestellt)
>
> Hey leute, ich hab mir gedacht folgende Funktion, erfüllt
> die Bedingungen:
>
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} y : & (x,y)\not=(0,0) \\ x : & (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]
Die Funktion stimmt allerdings mit f(x,y)=y überein und hängt somit nicht von x ab.
Der Trick ist das die Funktion auf der Geraden (0,y) unstetig sein darf. Siehe Felix' anschauliche Antwort hier.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Mi 31.05.2006 | | Autor: | AriR |
jo danke für den link.
wenn ich jetzt die von denen gefunden funktion betrachte, wie genau sieht dann die begründung aus?
also für [mm] y\le0 [/mm] ist die sache denke ich mal für die ableitung in x richtung klar.
nur wenn y>0 ist, dann müsste mann doch gucken ob die ableitung am übergang existiert, nur mein problem ist, dass y-achse (Also für x=0) gar nicht definiert ist. wie macht man das dann?
ich weiß ja nur, dass f für y>0 und x>0 differnezierbar ist und für y>0 und x<0..
hast du da vielleicht noch einen tip?
kann das sein, dass man den übergang gar nicht betrachten muss, da es diesen gar nicht gibt? wenn ja, wie begründet man dsa dann genau? so gesehen ist f ja in jedem punkt stetig oder?
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Hallo Ari,
Der Definitionsbereich der Funktion ist U. Um die Differenzierbarkeit festzustellen brauchst Du Dir auch nur Punkte anzuschauen die in U liegen.
Von daher war meine Aussage die Funktion ist auf dieser Geraden unstetig nat. nicht richtig sie ist dort nicht definiert. Auf ihrem Definitionsbereich ist sie aber stetig.
Also Du brauchst Dir nur den Definitionsbereich der Funktion anschauen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Mi 31.05.2006 | | Autor: | AriR |
müsste man dazu nicht auf folgenden grenzwert betrachten:
[mm] \lim_{h\to0}\bruch{f(0+h,y)-f(0,y)}{h}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 1. [mm] \lim_{h\to0(von oben)}\bruch{y^2-y^2}{h}=0
[/mm]
2. [mm] \lim_{h\to0(von oben)}\bruch{-y^2+y^2}{h}=0
[/mm]
da die 0 nicht im def bereich liegt, interessiert der wert für f(0,y) nicht und die fkt. ist somit auch an der grenze der y-achse differenzierbar.
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Hallo Ari,
> müsste man dazu nicht auf folgenden grenzwert betrachten:
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> [mm]\lim_{h\to0}\bruch{f(0+h,y)-f(0,y)}{h}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1. [mm]\lim_{h\to0(von oben)}\bruch{y^2-y^2}{h}=0[/mm]
>
> 2. [mm]\lim_{h\to0(von oben)}\bruch{-y^2+y^2}{h}=0[/mm]
>
> da die 0 nicht im def bereich liegt, interessiert der wert
> für f(0,y) nicht und die fkt. ist somit auch an der grenze
> der y-achse differenzierbar.
In der Definition zur Ableitung steht bestimmt nichts von einem Grenzwert "von oben" oder?
Also der GW:
[mm]\lim_{h\to 0}\bruch{f(0+h,y)-f(0,y)}{h}[/mm]
interessiert nicht.
Wichtig ist
[mm]\lim_{h\to 0}\bruch{f(x_0+h,y)-f(x_0,y)}{h}[/mm] für [mm]x_0\not= 0[/mm]
den mußt Du Dir anschauen.
viele Grüße
mathemaduenn
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