glatte Manigf.keit zu zeigen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Mit f [mm] \in C^\infty (D,\IR^{n+1}) [/mm] und D einer offenen Teilmenge von [mm] \IR^n [/mm] zeige man, dass
[mm] \tau_f=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^{n+1}: y=f(x) \}
[/mm]
eine glatte Mannigfaltigkeit ist. |
Ich weiss ehrlich gar nicht, was ich zeigen soll. Eine glatte Mannigfaltigkeit an sich haben wir gar nicht definiert. Ist damit einfach eine differenzierbare Mannigfaltigkeit gemeint?
Ich wüsste auch gar nicht, wo ich noch suchen soll, ich finde nichts sonst in den Definitionen?
Weiss bitte jmd. von euch einen Rat, was hier zu zeigen ist?
Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Sa 22.02.2014 | | Autor: | SEcki |
> Ich weiss ehrlich gar nicht, was ich zeigen soll. Eine
> glatte Mannigfaltigkeit an sich haben wir gar nicht
> definiert. Ist damit einfach eine differenzierbare
> Mannigfaltigkeit gemeint?
Bei diff.baren Manigfaltigkeiten ist dein Kartenwechsel differenzierbar - allerdings kann er a priori zB nur 2 mal stetig diff.bar sein. Glatt bedeutet, dass deine Kartenwechsel glatt sind - also unendlich oft diff.bar.
> Weiss bitte jmd. von euch einen Rat, was hier zu zeigen
> ist?
Eine lokale Karte angeben (reicht sogar eine Karte aus :))
SEcki
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[mm] \psi [/mm] : [mm] \tau_f [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
[mm] \psi(x,y)=x
[/mm]
[mm] \psi^{-1} [/mm] (x)=(x,f(x))
Offensichtlich ist [mm] Bild(\psi^{-1})=\tau_f [/mm] und
[mm] \psi(x,y) [/mm] ist ein Polynom also [mm] C^{\infty}
[/mm]
[mm] \tau_f [/mm] ist also eine [mm] C^{\infty} [/mm] Mannigfaltigkeit.
Genügt das schon?
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Ist das hier schon genug so oder muss ich noch etwas weiteres zeigen, damit ich gezeigt habe, dass dies nun eine glatte Manigfaltigkeit ist?
Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Do 27.02.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
schon in der Aufgabenstellung ist mir eine Ungereimtheit aufgefallen:
D offene Teilmenge von [mm] $\IR^n$.
[/mm]
Also ist bei $ [mm] \tau_f=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^{n+1}: y=f(x) \} [/mm] $
$x [mm] \in \IR^n$ [/mm] und $y [mm] \in \IR^{n+1}$.
[/mm]
Wie kann dann $(x,y) [mm] \in \IR^{n+1}$ [/mm] sein?
> [mm]\psi[/mm] : [mm]\tau_f[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
> [mm]\psi(x,y)=x[/mm]
>
> [mm]\psi^{-1}[/mm] (x)=(x,f(x))
>
> Offensichtlich ist [mm]Bild(\psi^{-1})=\tau_f[/mm] und
>
> [mm]\psi(x,y)[/mm] ist ein Polynom also [mm]C^{\infty}[/mm]
>
> [mm]\tau_f[/mm] ist also eine [mm]C^{\infty}[/mm] Mannigfaltigkeit.
>
> Genügt das schon?
Mit $f:D [mm] \to \tau_f$ [/mm] hast du schon eine Karte und einen Atlas,
der aus genau dieser einen Karte besteht und der die Mannigfaltigkeit abdeckt.
Da $f [mm] \in C^\infty (D,\IR^{n+1}) [/mm] $, ist [mm] $\tau_f$ [/mm] eine glatte Mannigfaltigkeit.
Gruß
meili
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