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irreduzibel, Q[X]: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:54 Fr 07.10.2016
Autor: impliziteFunktion

Aufgabe
a) Man zeige, dass [mm] $g=X^{p-1}+\binom{p}{1}X^{p-2}+\dotso+\binom{p}{p-1}\in\mathbb{Q}[X]$ [/mm] irreduzibel ist.

b) Man zeige, dass [mm] $f=X^{p-1}+X^{p-2}+\dotso+1\in\mathbb{Q}[X]$ [/mm] irreduzibel ist.

c) Man zerlege [mm] X^p-1 [/mm] in irreduzible Faktoren in [mm] $\mathbb{Q}[X]$. [/mm]


Hi,

ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Insbesondere der b).

a) und c) sind einfach.

zu a):

Nach Eisenstein ist $g$ irreduzibel über [mm] $\mathbb{Q}[X]$, [/mm] denn p (ich gehe davon aus, dass p eine Primzahl sein soll) teilt die auftauchenden Binomialkoeffizienten, aber [mm] $p^2$ [/mm] teilt nicht [mm] $\binom{p}{p-1}=p$. [/mm]

zu c):

Wenn man b) voraussetzt, dann ist [mm] $X^p-1=(X-1)f$, [/mm] und (X-1) sowie f sind irreduzibel.

zu b):

Dies ist mir bisher nicht gelungen.
Kann ich diese Aufgabe benutzen?
https://matheraum.de/read?t=1079525

Vielen Dank im voraus.

        
Bezug
irreduzibel, Q[X]: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:32 Sa 08.10.2016
Autor: Teufel

Hi!

Zeige mal:
$f(X)$ ist irreduzibel [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] $f(X+1)$ ist irreduzibel.

Das kannst du dann für deine Aufgabe verwenden.

Bezug
                
Bezug
irreduzibel, Q[X]: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 Sa 08.10.2016
Autor: impliziteFunktion


> Zeige mal:
> $ f(X) $ ist irreduzibel $ [mm] \Leftrightarrow [/mm] $ $ f(X+1) $ ist irreduzibel.

Sei $f(X)$ irreduzibel über $K[X]$, dann ist $f(X)=g(X)h(X)$, mit [mm] $g(X)\in K^{\times}[X]$ [/mm] ($g(X)$ ist Einheit). Also ist [mm] $g(X)\in\mathbb{K}$ [/mm] und damit konstant. Daher $g(X)=a$

Dann ist $f(X+1)=g(X+1)h(X+1)=ah(X+1)$ und somit ist $f(X+1)$ irreduzibel.

Die Rückrichtung geht analog.

Zur eigentlichen Aufgabe:

[mm] $f(X+1)=(X+1)^{p-1}+(X+1)^{p-2}+\dotso+ [/mm] 1$

Nun ja, ich weiß, dass

[mm] $(X-1)f(X)=X^p-1$, [/mm] also

[mm] $Xf(X+1)=(X+1)^p-1$ [/mm]

Weiter komme ich nicht...
mod p wäre das ganze

[mm] $Xf(X+1)=X^p$ [/mm]

[mm] $f(X+1)=X^{p-1}$ [/mm]

Bezug
                        
Bezug
irreduzibel, Q[X]: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 Sa 08.10.2016
Autor: hippias


> > Zeige mal:
> > [mm]f(X)[/mm] ist irreduzibel [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]f(X+1)[/mm] ist
> irreduzibel.
>
> Sei [mm]f(X)[/mm] irreduzibel über [mm]K[X][/mm], dann ist [mm]f(X)=g(X)h(X)[/mm],
> mit [mm]g(X)\in K^{\times}[X][/mm] ([mm]g(X)[/mm] ist Einheit). Also ist
> [mm]g(X)\in\mathbb{K}[/mm] und damit konstant. Daher [mm]g(X)=a[/mm]
>  
> Dann ist [mm]f(X+1)=g(X+1)h(X+1)=ah(X+1)[/mm] und somit ist [mm]f(X+1)[/mm]
> irreduzibel.
>  
> Die Rückrichtung geht analog.
>  
> Zur eigentlichen Aufgabe:
>  
> [mm]f(X+1)=(X+1)^{p-1}+(X+1)^{p-2}+\dotso+ 1[/mm]

Also da könnte man einmal die Klammern auflössen und neu sortieren; auch die Summenformel für die geometrische Reihe bietet sich an.

>  
> Nun ja, ich weiß, dass
>
> [mm](X-1)f(X)=X^p-1[/mm], also
>  
> [mm]Xf(X+1)=(X+1)^p-1[/mm]
>  
> Weiter komme ich nicht...
>  mod p wäre das ganze
>
> [mm]Xf(X+1)=X^p[/mm]
>  
> [mm]f(X+1)=X^{p-1}[/mm]


Bezug
                                
Bezug
irreduzibel, Q[X]: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Sa 08.10.2016
Autor: impliziteFunktion


> Also da könnte man einmal die Klammern auflössen und neu sortieren; auch die Summenformel für die geometrische Reihe bietet sich an.

Die Klammern auflösen, mittels binomischen Lehrsatz, erscheint mir etwas aufwendig.
Mit der Summenformel für die geometrische Reihe, erhalte ich

[mm] $f(X+1)=\frac{(X+1)^p-1}{X}$ [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
irreduzibel, Q[X]: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:28 Sa 08.10.2016
Autor: hippias

Ich bleibe dabei: wenn ich den Term, in den vom Aufgabenteil b umformen möchte, dann muss ich die Klammer auflösen.

Bezug
                                                
Bezug
irreduzibel, Q[X]: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:48 Sa 08.10.2016
Autor: impliziteFunktion

[mm] $(X+1)^{p-1}+(X+1)^{p-2}+\dotso+1$ [/mm]

[mm] $=\sum_{i=0}^{p-1} \binom{p-1}{i}X^i+\sum_{i=0}^{p-2} \binom{p-2}{i}X^i+\dotso+1$ [/mm]

[mm] $=X^{p-1}+\left(\binom{p-1}{p-2}+1\right)X^{p-2}+\left(\binom{p-1}{p-3}+\binom{p-2}{p-3}+1\right)X^{p-3}+\dotso+p$ [/mm]

Wegen [mm] $f(X+1)=\frac{(X+1)^p-1}{X}=\frac{X^p}{X}=X^{p-1}\mod [/mm] p$

Sind alle Koeffizienten durch $p$ teilbar, außer der Koeffizient von [mm] $X^{p-1}$ [/mm] natürlich.
Aber [mm] $p^2$ [/mm] teilt nicht $p$, und deshalb ist $f(X+1)$ nach Eisenstein irreduzibel, und somit auch $f(X)$.

Bezug
                                                        
Bezug
irreduzibel, Q[X]: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:24 Mo 10.10.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                        
Bezug
irreduzibel, Q[X]: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Sa 08.10.2016
Autor: Teufel

Hi!

Genau so kann man es machen. Einmal den binomischen Lehrsatz anwenden liefert genau die Funktion aus a).

Bezug
                                                
Bezug
irreduzibel, Q[X]: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:31 Sa 08.10.2016
Autor: impliziteFunktion

War dies als Antwort auf die offene Frage gedacht?


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