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Forum "Differentiation" - lokale Extrema von x^x
lokale Extrema von x^x < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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lokale Extrema von x^x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 Mo 06.12.2010
Autor: celeste16

Aufgabe
Für die Funktion [mm] f:(0,\infty)->(o,\infty), f(x)=x^x [/mm] bestimme man alle lokalen Extrema

Das letzte mal als ich das gemacht habe, war in der Schule, also seeeehr lang her.
da hab ich einfach mal meine erste Ableitung bestimmt und diese 0 setzen wollen, mit einem interessanten Ergebnis

[mm] f'(x)=\bruch{x^x}{ln(x+1)} [/mm]

hm. versuche ich da den Grenzwert zu bilden? (bei x->0 bietet sich ja L'hopital an, der macht aber alles nur noch schlimmer) wie verfahre ich weiter?

        
Bezug
lokale Extrema von x^x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:09 Mo 06.12.2010
Autor: leduart

Hallo
Deine Ableitung ist falsch.
bei der  richtigen ist  der Extremwert leicht zu bestimmen.
Gruss leduart


Bezug
                
Bezug
lokale Extrema von x^x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:04 Mo 06.12.2010
Autor: celeste16

-.- ähem

[mm] f'(x)=x^x*(lnx+1) [/mm]
[mm] x^x*lnx=-x^x [/mm]  l durch [mm] x^x [/mm]
lnx=-1
[mm] x=e^{-1} [/mm]

[mm] f''(x)=\bruch{x^x}{x}+x^x*(lnx+1)+x^x(lnx+1)^2 [/mm]
[mm] f''(e^{-1})>0 [/mm]

Wir haben ein lokales Minimum an der Stelle [mm] e^{-1}. [/mm]

Gäbe es eine Lösung, wenn man die Ableitung von vorhin raus hätte?

Bezug
                        
Bezug
lokale Extrema von x^x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:22 Mo 06.12.2010
Autor: leduart

Hallo
nein, [mm] x^x/ln(x+1) [/mm] hat keine nullstelle nur für x gegen [mm] \infty [/mm] und x gegen 0 wird es beliebig gross.
Gruss leduart


Bezug
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