matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenReelle Analysis mehrerer VeränderlichenNewtonsche Mechanik
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Newtonsche Mechanik
Newtonsche Mechanik < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Newtonsche Mechanik: E ist eine Erhaltungsgröße
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:50 Fr 16.07.2021
Autor: Andrejtrikolor

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo, ich habe Probleme mit der folgenden Aufgabe:


Die newtonsche Mechanik ist eine physikalische Theorie, die besagt, dass das Universum aus $N$ Materiepunkten (genannt Teilchen) besteht, die sich im Laufe der Zeit in einem $3$ - dimensionalen euklidischen Raum bewegen (in dem wir ein kartesisches Koordinatensystem einführen). Dabei gehorcht die position $q_{k}(t) \in \mathbb{R}^{3}$ des $k$ - Teilchens zur Zeit $t$ der Bewegungsgleichung $m_{k} \frac{d^{2} q_{k}}{dt^{2}} = \sum\limits_{j = 1, j \neq k} G m_{j} m_{k} \frac{q_{j} - q_{k}}{\vert \vert q_{j} - q_{k} \vert \vert^{3}} - \sum\limits_{j = 1, j \neq k} \frac{e_{j} e_{k}}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{j} - q_{k}}{\vert \vert q_{j} - q_{k} \vert \vert^{3}}$


Hierbei ist $\vert \vert \cdot \vert \vert$ die euklidische Norm in $\mathbb{R}^{3}, G$ und $\varepsilon_{0}$ sind Naturkonstanten und $m_{k} > 0, e_{k}$ Konstanten, genannt die Masse und die elektrische Ladung des $k$ - ten Teilchens.

Die Energie des Universums zur Zeit $t$ ist definiert als

$E(t) = \sum\limits_{k = 1}^{N} \frac{m_{k}}{2} \left \|  \frac{d q_{k}}{dt} \right \|^{2} - \sum\limits_{j,k = 1, j < k} \left ( G m_{j} m_{k} - \frac{e_{j} e_{k}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \right ) \frac{1}{\vert \vert q_{j} - q_{k} \vert \vert}$.


Zeigen Sie: $E$ ist eine Erhaltungsgröße, d.h. zeitunabhängig.

Tipp: Berechnen Sie $dE/dt$.



Mein Ansatz:


Bevor ich mit meinem Ansatz anfange, habe ich zwei kleine Fragen:


(1) Wie zeigt man eigentlich, dass eine Funktion zeitunabhängig ist? Als Tipp steht zwar ableiten, aber ich weiß nicht warum man das sollte. Könnte mir das jemand vielleicht erklären?


(2) Für ein beliebiges $k \in  \{1, \ldots, N \}$ ist $q_{k}: \mathbb{R}^{3}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, t \mapsto  \left( \begin{array}{c} q_{k}^{(1)}(t) \\\ q_{k}^{(2)}(t) \\\ q_{k}^{(3)}(t) \\\ \end{array}\right)$ eine Kurve.

Werden diese Kurven in der Physik immer als differenzierbar in jedem Punkt vorausgesetzt?



Ich habe $E(t)$ umgeschrieben:

$E(t) = \sum\limits_{k = 1}^{N} \frac{m_{k}}{2} \left \|  \frac{d q_{k}(t)}{dt} \right \|^{2} - \sum\limits_{j,k = 1, j < k} \left ( G m_{j} m_{k} - \frac{e_{j} e_{k}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \right ) \frac{1}{\vert \vert q_{j}(t) - q_{k}(t) \vert \vert}$


$= \sum\limits_{k = 1}^{N} \frac{m_{k}}{2} \sqrt{\sum\limits_{l = 1}^{3} \frac{d q_{k}^{(l)}(t)}{dt}}^{2} - \sum\limits_{j,k = 1, j < k} \left ( G m_{j} m_{k} - \frac{e_{j} e_{k}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \right ) \frac{1}{\sqrt{\sum\limits_{l = 1}^{3} \left ( q_{j}^{(l)}(t) -  q_{k}^{(l)}(t)\right )}}$


$ =  \sum\limits_{k = 1}^{N} \frac{m_{k}}{2} \sum\limits_{l = 1}^{3} \frac{d q_{k}^{(l)}(t)}{dt} - \sum\limits_{j,k = 1, j < k} \left ( G m_{j} m_{k} - \frac{e_{j} e_{k}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \right ) \frac{1}{\left ( \sum\limits_{l = 1}^{3} \left ( q_{j}^{(l)}(t) -  q_{k}^{(l)}(t)\right ) \right )^{\frac{1}{2}}}$


$ =  \sum\limits_{k = 1}^{N} \frac{m_{k}}{2} \sum\limits_{l = 1}^{3} \frac{d q_{k}^{(l)}(t)}{dt} - \sum\limits_{j,k = 1, j < k} \left ( G m_{j} m_{k} - \frac{e_{j} e_{k}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \right ) \left ( \sum\limits_{l = 1}^{3} \left ( q_{j}^{(l)}(t) -  q_{k}^{(l)}(t)\right ) \right )^{- \frac{1}{2}}$


Die Ableitung lautet dann:

$ E'(t) =  \sum\limits_{k = 1}^{N} \frac{m_{k}}{2} \sum\limits_{l = 1}^{3} \frac{d^{2} q_{k}^{(l)}(t)}{dt^{2}} - \sum\limits_{j,k = 1, j < k} \left ( G m_{j} m_{k} - \frac{e_{j} e_{k}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \right ) \cdit \left ( - \frac{1}{2} \right) \cdot  \left ( \sum\limits_{l = 1}^{3} \left ( q_{j}^{(l)}(t) -  q_{k}^{(l)}(t)\right ) \right )^{- \frac{3}{2}} \cdot \sum\limits_{l = 1}^{3} \left ( \frac{d q_{j}^{(l)}(t)}{dt} -  \frac{d q_{k}^{(l)}(t)}{dt}}\right )$


Aber ich weiß nicht, was ich mit der Ableitung machen soll. Kann mir da jemand einen Tipp geben?

Ich bedanke mich im Voraus.

gruß, Andrej

        
Bezug
Newtonsche Mechanik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:48 Fr 16.07.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> (1) Wie zeigt man eigentlich, dass eine Funktion
> zeitunabhängig ist? Als Tipp steht zwar ableiten, aber ich
> weiß nicht warum man das sollte. Könnte mir das jemand
> vielleicht erklären?

Was passiert denn mit einer Funktion, wenn du sie nach einer Variablen ableitest, von der sie gar nicht abhängt?
Also wenn du bspw. [mm] $\frac{d}{dx}f(y)$ [/mm] berechnest.

Gilt auch die Umkehrung?

> Werden diese Kurven in der Physik immer als differenzierbar in jedem Punkt vorausgesetzt?

Ja.
Die Änderung des Ortes ist die Geschwindigkeit, die Änderung der Geschwindigkeit die Beschleunigung.
Lässt sich nun ein Teilchen von jetzt auf gleich von Null auf 100 beschleunigen?
Kann ein Teilchen von jetzt auf Gleich um die Ecke fliegen, ohne dass es eine Kurve beschreiben muss?

Das ist letztendlich die Intuition dahinter, warum es sinnvoll ist, das vorauszusetzen.

> Die Ableitung lautet dann:
>  
> [mm]E'(t) = \sum\limits_{k = 1}^{N} \frac{m_{k}}{2} \sum\limits_{l = 1}^{3} \frac{d^{2} q_{k}^{(l)}(t)}{dt^{2}} - \sum\limits_{j,k = 1, j < k} \left ( G m_{j} m_{k} - \frac{e_{j} e_{k}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \right ) \cdit \left ( - \frac{1}{2} \right) \cdot \left ( \sum\limits_{l = 1}^{3} \left ( q_{j}^{(l)}(t) - q_{k}^{(l)}(t)\right ) \right )^{- \frac{3}{2}} \cdot \sum\limits_{l = 1}^{3} \left ( \frac{d q_{j}^{(l)}(t)}{dt} - \frac{d q_{k}^{(l)}(t)}{dt}}\right )[/mm]

Auch wenn das fürs Ableiten schöner war, die Norm umzuschreiben: Lass die Norm mal stehen (bzw. ersetze wieder). Dann sehen die Terme nicht so unübersichtlich aus… Grundsätzlich solltest du die Ableitung der Norm kennen, d.h. was bspw. [mm] $\frac{d}{dt} [/mm] ||x(t)||$ ist. Das spart dir einen Haufen Zeit,


> Aber ich weiß nicht, was ich mit der Ableitung machen
> soll. Kann mir da jemand einen Tipp geben?

Verwende die Bewegungsgleichung.

Gruß,
Gono

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]