pktw. konv folgt glm.konv < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 So 06.05.2018 | | Autor: | Noya |
| Aufgabe | | Sei (X,d) ein kompakter metrischer Raum und [mm] (f_n)_n [/mm] eine monoton allende Folge stetiger Funktionen mit [mm] f_n [/mm] : X [mm] \to \IR, [/mm] sodass [mm] f_n \searrow [/mm] f punktweise auf X gegen eine stetige Funktion f : X [mm] \to \IR. [/mm] Zeige, dass [mm] (f_n)_n [/mm] in diesem Fall sogar gleichmäßig gegen f konvergiert. |
Hallo ihr Lieben,
auch hier weiß ich nicht so recht wie ich vorgehen soll. Hat da jemand einen tipp, Ansatz oder ähnliches für mich?
da [mm] f_n [/mm] pktweise konvergiert :
existiert für alle x [mm] \in [/mm] X und [mm] \epsilon [/mm] >0 ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] sodass für alle [mm] n\gen_0 [/mm] gilt : [mm] |f_n(x)-f(x)| [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
zeigen wollen wir glm.konvergenz:
für alle [mm] \epsilon [/mm] >0 existiert ein [mm] n_0 \in \IN \forall n\ge n_0 \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X sodass: [mm] |f_n(x)-f(x)| [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
Wir haben eine monoton fallende Fktfolge. also [mm] f_k(x)\ge f_{k+1}(x)
[/mm]
wie könnte ich hier ansätzen?
Vielen Dank und Liebe grüße
Noya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 So 06.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> Sei (X,d) ein kompakter metrischer Raum und [mm](f_n)_n[/mm] eine
> monoton allende Folge stetiger Funktionen mit [mm]f_n[/mm] : X [mm]\to \IR,[/mm]
> sodass [mm]f_n \searrow[/mm] f punktweise auf X gegen eine stetige
> Funktion f : X [mm]\to \IR.[/mm] Zeige, dass [mm](f_n)_n[/mm] in diesem Fall
> sogar gleichmäßig gegen f konvergiert.
> Hallo ihr Lieben,
>
> auch hier weiß ich nicht so recht wie ich vorgehen soll.
> Hat da jemand einen tipp, Ansatz oder ähnliches für mich?
Da ich obiges als Übungsaufgabe für zu schwierig halte, folgender Tipp
obiges ist der Satz von Dini
Google und Du wirst fündig.
>
> da [mm]f_n[/mm] pktweise konvergiert :
> existiert für alle x [mm]\in[/mm] X und [mm]\epsilon[/mm] >0 ein [mm]n_0 \in \IN[/mm]
> sodass für alle [mm]n\gen_0[/mm] gilt : [mm]|f_n(x)-f(x)|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
>
> zeigen wollen wir glm.konvergenz:
> für alle [mm]\epsilon[/mm] >0 existiert ein [mm]n_0 \in \IN \forall n\ge n_0 \forall[/mm]
> x [mm]\in[/mm] X sodass: [mm]|f_n(x)-f(x)|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
> Wir haben eine monoton fallende Fktfolge. also [mm]f_k(x)\ge f_{k+1}(x)[/mm]
>
> wie könnte ich hier ansätzen?
>
> Vielen Dank und Liebe grüße
> Noya
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 So 06.05.2018 | | Autor: | Noya |
Vielen Dank für den Tipp mit dem Namen. Es gibt einige sehr einleuchtende Beweise.
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