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poisoon verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Sa 26.06.2004
Autor: blutdaemon

moin kann mir mal jemand genau erklären wie ich auf die gleichung der poisson verteilung beweistechnisch komme, wofür und warum jede variable und zahl genau an dieser stelle steht und wofür man diese verteilung nochmal genau braucht. ich habe alle bücher studiert aber dort konnte ich mir diese Fragen leider nicht beantworten.
mfg

        
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poisoon verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 So 27.06.2004
Autor: Mephi

Die Poisoon-Verteilung ist eine besondere Form der Binominial-Verteilung.
Sie wird angewendet für besonders unwahrscheinliche Elementarereignisse
also wenn viele Versuche mit geringer Erfolgswahrscheinlichkeit herschen
z.B.: das ein bestimmter kunde in einer großen Telefonzentrale anruft, oder die Anzahl der Hausbrände in ganz Deutschland für ein Jahr

man geht also von der Binominialverteilung aus:

[mm] B_{n,\bruch{\lambda}{n}}(\{k \})= \vektor{n \\ k} \left(\bruch{ \lambda}{n}\right)^{k} (1-\bruch{\lambda}{n})^{n-k} [/mm]

= [mm] \bruch{n!}{(n-k)!k!} \bruch{\lambda^k}{n^k} (1-\bruch{\lambda}{n})^n (1-\bruch{\lambda}{n})^{-k} [/mm]
= [mm] \bruch{\lambda^k}{k!}\bruch{n(n-1)*\dots*(n-k+1)}{ \underbrace{n*\dots*n}_{k-mal}}(1-\bruch{\lambda}{n})^n (1-\bruch{\lambda}{n})^{-k} [/mm]
[mm] \to_{n \to \infty} \bruch{\lambda^k}{k!} [/mm] * 1 * [mm] e^{-\lambda} [/mm] *1
= [mm] \bruch{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} [/mm]
[mm] \Box [/mm]

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poisoon verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:11 Mo 28.06.2004
Autor: blutdaemon

danke aber ich will noch mal wissen wie ich auf die anfangsfunktion komme da ich dort nichts von einer binominalverteilung erkennen kann.


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poisoon verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:11 Di 29.06.2004
Autor: Brigitte

Hallo!

> danke aber ich will noch mal wissen wie ich auf die
> anfangsfunktion komme da ich dort nichts von einer
> binominalverteilung erkennen kann.

Vielleicht schaust Du noch mal ins letzte Posting. Ich habe zwei kleine Tippfehlerchen korrigiert. Man sollte nun erkennen können, dass es sich um eine Binomialverteilung mit Parameter $n$ und [mm] $p=\frac{\lambda}{n}$ [/mm] handelt.

Gruß
Brigitte

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poisoon verteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:27 Di 29.06.2004
Autor: Mephi

Danke für die Korrektur
Finger wieder n bissl zu fix gewesen ;P

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poisoon verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:29 Do 01.07.2004
Autor: blutdaemon

also ja das ist ja schön danke schon mal aber wie komme ich auf das hoch k und so ich verstehe leider nicht wie ich auf die erste gleichung komme.
ich bitte nochmal auf rückmeldung
gruss blutdaemon

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poisoon verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:28 Fr 02.07.2004
Autor: Brigitte

Hallo nochmal!

Also ist Dein Problem, dass Du nicht weißt, was die Binomialverteilung ist?

Eine Zufallsvariable $X$, die binomialverteilt mit Parametern $n$ und $p$ ist (kurz: [mm] $X\sim [/mm] B(n,p)$) beschreibt die Anzahl von Erfolgen in $n$ Versuchen ein- und desselben Zufallsexperiments, bei dem die Erfolgswahrscheinlichkeit jeweils $p$ ist. Die Versuche sind dabei stochastisch unabhängig.
Beispiel: zehnfacher Wurf einer fairen Münze; $X$ zählt, wie oft Kopf kommt. Dann ist [mm] $X\sim B(10,\frac{1}{2})$. [/mm]

Die Verteilung einer $B(n,p)$-verteilten Zufallsvariable lautet

[mm]P(X=k)={n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}[/mm].

Das kann man sich aus oben angegebenen Voraussetzungen wie folgt herleiten:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $n$ Versuchen genau $k$ erfolgreich sind, und zwar bestimmen wir sie zunächst mal für den Fall, dass genau die ersten $k$ Versuche erfolgfreich sind, beträgt [mm] $p^k(1-p)^{n-k}$, [/mm] weil gleichzeitig die letzten $n-k$ Versuche nicht erfolgreich sind. Berücksichtigt man nun noch, dass ja nicht vorgegeben ist, an welcher Stelle unter den $n$ Versuchen die $k$ erfolgreichen liegen, erhält man als Faktor den Binomialkoeffizienten ${n [mm] \choose [/mm] k}$, das ist nämlich die Anzahl an Möglichkeiten, aus einer $n$-elementigen  Menge eine $k$-elementige Teilmenge auszuwählen.

Jetzt alles klar?

Viele Grüße
Brigitte

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poisoon verteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:43 Fr 02.07.2004
Autor: blutdaemon

danke das habe ich nun verstanden und kann dies auch gut einsetzen.
herzlcihen danke blutdaemon

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