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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - stereographische Projektion
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stereographische Projektion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 Fr 08.06.2007
Autor: Ron85

Hallo Leute.

Die Sphäre [mm] S^{2} \subset \IR^{3} [/mm] , gegeben durch
[mm] x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1 [/mm] kann durch stereogr. Projektion fast vollständig auf die Ebene abgebildet werden. Sei also
[mm] \pi_{1}: S^{2} [/mm] --> [mm] \IR^{2} [/mm] diese Projektion, die einen Punkt p=(x,y,z) der Sphäre [mm] S^{2} [/mm] ohne den Nordpol N=(0,0,2) auf den Schnittpunkt der xy-Ebene mit der Geraden , die N und p verbindet, abbildet.

Wie sieht mein [mm] \pi_{1} [/mm] aus ? Wie erhalte ich es?

        
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stereographische Projektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:33 Fr 08.06.2007
Autor: leduart

Hallo
Zeichne das doch mal in der x-z Ebene auf.
ein Kreis [mm] x^2+(z-1)^2=1 [/mm] dann vom Nordpol (also x=0,z=2) eine Gerade durch irgendeinen Punkt. Schnitt mit der x-Achse gibt die projizierte x koordinate, (Punkt auf dem Äquator, z=x=1, ergibt x=2, da das Ganze Drehsym zur z-Achse, werden alle Punkte auf dem Äquator auf den Kreis [mm] x^2+y^2=2^2 [/mm] projiziert. Alle Breitenkreise werden auf Kreise abgebildet, Längenkreise auf Geraden durch 0,0 den Rest aus der Zeichnung mit Strahlensatz ablesen.
Gruss leduart

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stereographische Projektion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:45 Fr 08.06.2007
Autor: Ron85

Sorry, aber das versteh ich nicht ganz.
Kann ich [mm] \pi_{1} [/mm] nicht einfach aus den Angaben erhalten?

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stereographische Projektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:01 Fr 08.06.2007
Autor: Christian

Hallo.

Natürlich kannst Du. Du mußt einfach die entsprechende Geradengleichung aufstellen, dann z=0 setzen, nach deinem Parameter auflösen und daraus dann den Projektionspunkt ausrechnen.

Gruß,
Christian

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stereographische Projektion: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:21 Fr 08.06.2007
Autor: Ron85

Wie sieht mein [mm] \pi_{1} [/mm] dann aus?

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stereographische Projektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 Fr 08.06.2007
Autor: leduart

Hallo
Was ist die Schwierigkeit mit der Gleichung die Christian geschrieben hat. Gerade durch 2 Pkt. kannst du doch sicher?
Gruss leduart

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