stet. Fkt. mit genau 2 Werten < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | zeige, dass es keine stetige Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] gibt, die jeden Wert aus ihrem Wertebereich genau zweimal annimmt. |
Nabend,
ich hab mir zu dieser Aufgabe mal das beispiel f(x) = [mm] x^{2} [/mm] angeguckt das es dem sehr nahe kommt, nur die 0 wird nicht zweimal angenommen. wenn 0 öfters angenommen wären würde, wäre die Fkt ja nicht mehr stetig denke ich. Wie beweise ich es am besten? der beweis hierfür muss ja sehr allgemein sein
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Hallo Evelyn,
man wird mir widersprechen. Ich lasse die Frage daher direkt mal halboffen.
Die Aufgabenstellung ist nicht wirklich genau. Es kommt schlicht darauf an, was hier [mm] \IR\to\IR [/mm] heißen soll.
Dein Beispiel [mm] f(x)=x^2 [/mm] ist für die eine Auffassung gut geeignet. Ganz [mm] \IR [/mm] wird auf einen Teil von [mm] \IR [/mm] abgebildet, hier [mm] \IR\ge0. [/mm] In diesem Fall zeige, dass jede stetige Funktion, die "jeden" Wert zweimal annimmt, ein globales Minimum oder Maximum haben muss, und dessen Wert nur einmal annehmen kann.
Die andere Auffassung wird vielleicht durch die folgende Funktion deutlich: [mm] f(x)=\bruch{|x*|x||}{|x|}
[/mm]
Sie ist natürlich stetig ergänzbar, aber wozu? 
Auf ihrem ganzen Definitionsbereich nimmt sie jeden Funktionswert genau zweimal an, auch ist sie auf ihrem ganzen Def.bereich stetig, aber leider nicht auf ganz [mm] \IR. [/mm] Aber war das wirklich gefordert?
Und hier setzt der Grundlagenstreit ein. Schau einfach mal in Eure Definitionen und verwende nur diese. Den metamathematischen Streit kannst Du Dir getrost für spätere Zeiten aufheben.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:39 Mi 28.12.2011 | | Autor: | donquijote |
> Hallo Evelyn,
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> man wird mir widersprechen.
ja
> Ich lasse die Frage daher
> direkt mal halboffen.
>
> Die Aufgabenstellung ist nicht wirklich genau. Es kommt
> schlicht darauf an, was hier [mm]\IR\to\IR[/mm] heißen soll.
Ich denke, das ist ziemlich eindeutig. Eine Funktion [mm] f:M\to [/mm] N ordnet jedem Element von M genau ein Element von N zu.
[mm] f:\IR\to\IR [/mm] heißt somit, dass f(x) für alle [mm] x\in\IR [/mm] definiert ist, also [mm] \IR [/mm] der Definitionsbereich ist.
Mir ist jedenfalls noch keine Definition über den Weg gelaufen, bei der [mm] f:\IR\to\IR [/mm] nicht auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert sein muss.
>
> Dein Beispiel [mm]f(x)=x^2[/mm] ist für die eine Auffassung gut
> geeignet. Ganz [mm]\IR[/mm] wird auf einen Teil von [mm]\IR[/mm] abgebildet,
> hier [mm]\IR\ge0.[/mm] In diesem Fall zeige, dass jede stetige
> Funktion, die "jeden" Wert zweimal annimmt, ein globales
> Minimum oder Maximum haben muss, und dessen Wert nur einmal
> annehmen kann.
>
> Die andere Auffassung wird vielleicht durch die folgende
> Funktion deutlich: [mm]f(x)=\bruch{|x*|x||}{|x|}[/mm]
> Sie ist natürlich stetig ergänzbar, aber wozu?
> Auf ihrem ganzen Definitionsbereich nimmt sie jeden
> Funktionswert genau zweimal an, auch ist sie auf ihrem
> ganzen Def.bereich stetig, aber leider nicht auf ganz [mm]\IR.[/mm]
> Aber war das wirklich gefordert?
Dann ist das eine Funktion [mm] \IR\setminus\{0\}\to\IR, [/mm] die sich zu einer stetigen Funktion [mm] \IR\to\IR [/mm] fortsetzen lässt. Und letztere taugt dann nicht mehr als Gegenbeispiel.
>
> Und hier setzt der Grundlagenstreit ein. Schau einfach mal
> in Eure Definitionen und verwende nur diese. Den
> metamathematischen Streit kannst Du Dir getrost für
> spätere Zeiten aufheben.
>
> Grüße
> reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:08 Do 29.12.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo donquijote,
Du weißt doch viel zu viel, um diesen Streit aufzubauschen. Das jedenfalls zeigen Deine zahlreichen und guten Beiträge in diesem Forum.
Die hier aufgeworfene Frage lässt sich an einer anderen Standardfunktion viel besser zeigen:
Ist [mm] f(x)=\bruch{1}{x^2} [/mm] eine Funktion vom Typ [mm] \IR\to\IR [/mm] ? Und ist sie stetig?
Auf diese beiden Fragen gibt es zwei Antwortkombinationen: ja, nein - oder nein, ja.
Welche Kombination richtig ist, ist allein eine Definitionsfrage, und die Heranziehung des mathematischen "Usus" (Begründungstyp: habe ich noch nie gesehen) löst das Problem schlichtweg nicht.
Man muss hier nicht Gödel heranziehen, schon weil das Problem durch eine Definition aus der Welt geschafft werden kann, aber Russell und Whitehead hätten sich über die Notwendigkeit einer Definition (hier wohl kaum eines Axioms) gefreut, und Gödel hätte womöglich ein Beispiel gefunden, wie in beiden möglichen Definitionsgestalten (siehe oben) eine nicht entscheidbare Frage aufzuwerfen gewesen wäre. Die vorliegende ist es allerdings nicht.
Daher mein Hinweis auf die vor Ort verwendeten Definitionen. Danach ist die Frage zu entscheiden, und die Aufgabe weist darauf hin, dass die Antwort auf die Doppelfrage oben hier sicher "nein, ja" lauten muss.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:29 Do 29.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Hallo rev,
Zur Funktion $ [mm] f(x)=\bruch{1}{x^2} [/mm] $:
f ist vom "Typ [mm] $\IR \setminus \{0\} \to \IR$" [/mm] und f ist auf [mm] \IR \setminus \{0\} [/mm] stetig.
Mehr ist m.E. dazu nicht zu sagen.
Gruß FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Do 29.12.2011 | | Autor: | donquijote |
Hallo Reverend,
es geht nicht um einen Streit, sondern einzig um die Klärung einer Sachfrage.
Ich stimme mit dir überein, dass es einzig und allein eine Frage der Definition ist, was unter einer Funktion [mm] \IR\to\IR [/mm] genau zu verstehen ist. Und meine Begründung vom Typ "Hab ich noch nie gesehen" soll sagen, dass meines Wissens die Defintion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] zwingend voraussetzt, dass f(x) auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert ist. Wobei ich aber ich völlig ausschließend wollte, dass es irgendwo anders gehandhabt wird.
Es ist schon klar, dass es in der Mathematik grundlegende Definitionen gibt, die nicht einheitlich gehandhabt werden (wie z.B. "Ist 0 eine natürliche Zahl?" oder "Sind endliche Mengen abzählbar?").
Nur die Frage "Definiert [mm] f(x)=x^{-2} [/mm] eine Funktion [mm] \IR\to\IR [/mm] ?" gehört meines Erachtens nicht dazu, sondern kann eindeutig mit nein beantwortet werden.
Gruß ...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Do 29.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Reverend,
> es geht nicht um einen Streit, sondern einzig um die
> Klärung einer Sachfrage.
ehrlich gesagt entzieht sich mir hier der Sinn der ganzen von Reverend aufgeworfenen Diskussion - naja, heißt ja nicht, dass sie sinnlos ist, sondern, bei der gesamten mathematischen Literatur, die mir bisher untergekommen ist, seien es Skripte (Uni oder FH oder ...) oder Bücher (auch in anderen Naturwissenschaften) - habe ich bisher immer gelesen:
"Eine Abbildung (oder, je nach Gegebenheit, steht da auch Funktion) $f: M [mm] \to [/mm] N$ ordnet JEDEM $m [mm] \in [/mm] M$ ein Element $n [mm] \in [/mm] N$ zu, welches mit $f(m)$ bezeichnet wird, und man schreibt etwa $M [mm] \ni [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f(m)=:n [mm] \in N\,.$"
[/mm]
Manchmal wird [mm] $f\,$ [/mm] auch quasi durch Eigenschaft des Graphen beschrieben. Sowas findet man sowohl im Heuser, als auch im Amann/Escher und unzähligen weiteren Standardwerken der Analysis.
Außerdem, und das hatte mich in der Schule auch verwirrt, wird oft vergessen, zu erwähnen, dass sich die "Stetigkeitseigenschaft" [mm] (mindestens-$\epsilon$-nahe [/mm] Funktionswerte bzgl. [mm] $f(x_0)$ [/mm] sind überall in der [mm] $\delta-$nahen [/mm] Umgebung von [mm] $x_0$ [/mm] vorhanden: D.h. in der [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] ist der Abstand zwischen [mm] $f(x_0)$ [/mm] und eines jeden Funktionswertes [mm] $\le \epsilon$) [/mm] auch nur auf jene $x [mm] \in M\,,$ [/mm] also des Definitionsbereiches von [mm] $f\,,$ [/mm] bezieht. Klar wird das aber in der Definition:
"Für alle [mm] $x_0 \in [/mm] M$ und alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt es ein [mm] $\delta=\delta_{x_0,\epsilon} [/mm] > 0$ derart, dass für alle $x [mm] \in [/mm] M$ (!!!) mit [mm] $d(x,x_0) [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] folgt..."
Mit dieser Definition ist dann zum einen klar, dass jede Abbildung [mm] $\IZ \to [/mm] irgendwohin$ stetig ist [mm] ($irgendwohin\,$ [/mm] sollte ein metrischer, oder besser noch, topologischer Raum sein - man kann natürlich auch mit normierten Räumen arbeiten, die eh eine Metrik induzieren etc. pp. - das weiß man aus verschiedenen Mathematikvorlesungen oder Büchern oder oder oder...). Und dass eine Funktion
$$f: [mm] \IZ \to irgendwohin\,,$$
[/mm]
bei der man an [mm] $z_0=0$ [/mm] eine "Definitionslücke" läßt, noch nicht komplett beschrieben ist.
In diesem Sinne sehe ich es genauso wie Fred: Es ist vollkommen klar, dass
[mm] $$f(x)=1/x^2$$
[/mm]
an der Stelle [mm] $x=0\,$ [/mm] noch nicht definiert ist - man kann demnach [mm] $f\,$ [/mm] in dieser Form nicht als Abbildung $M [mm] \to [/mm] irgendwo$ betrachten, wenn $0 [mm] \in [/mm] M$ ist - und für $0 [mm] \notin [/mm] M$ ist das eine stetige Abbildung. (Strenggenommen steht in [mm] $f(x)=1/x^2$ [/mm] eh viel zu wenig Information: Darf denn etwa [mm] $x\,$ [/mm] auch ein [mm] $Apfel\,$ [/mm] sein - und was ist dann [mm] $1/Apfel^2$? [/mm] Aber es wird als selbstverständlich angenommen, dass man allgemein "höchstens" $x [mm] \in \IC \setminus \{0\}$ [/mm] in [mm] $1/x^2$ [/mm] einsetzt - jedenfalls Studenten im ersten/zweiten Semester Analysis oder sonstiges.)
Betrachtet man [mm] $f\,$ [/mm] nun mit irgendeinem Definitionsbereich [mm] $M\,$ [/mm] mit [mm] $M=M\setminus \{0\}\,,$ [/mm] der Teilmenge etwa von [mm] $\IR$ [/mm] (oder [mm] $\IC$) [/mm] ist, dann ist sicherlich [mm] $f\,$ [/mm] eine stetige Funktion. Diese kann man i.a. nicht stetig ergänzen - jedenfalls nicht ohne Einführung eines der Symbole [mm] $\pm \infty \notin \IC\,.$ [/mm] (Oder von Symbolen, die die gleichen Bedeutungen haben.)
Manchmal geht die stetige Fortsetzung, nämlich etwa, wenn ich [mm] $\IR \cup \{+\infty\}$ [/mm] als Zielbereich betrachte und $f: [mm] [0,\infty) \to \IR \cup \{+\infty\}$ [/mm] betrachte:
[mm] $$f(0):=+\infty$$
[/mm]
und ansonsten [mm] $f(x)=1/x^2\,.$
[/mm]
Man sollte auch immer beachten, dass jede Funktion erst dann komplett beschrieben ist, wenn man den Definitionsbereich, den Zielbereich und eine Funktionsvorschrift mitangibt.
D.h. bei [mm] $f(x):=1/x^2$ [/mm] ($x [mm] \in (-\infty,0)$) [/mm] müßte man auch sagen, was der Zielbereich von [mm] $f\,$ [/mm] ist - woher sollte man sonst wissen, ob [mm] $f\,$ [/mm] surjektiv ist? (Der Definitionsbereich steckt oben mit drin, auch, wenn man ihn nicht nochmal explizit erwähnt.)
Betrachte ich obiges [mm] $f\,$ [/mm] als Abbildung mit dem Zielbereich [mm] $\IC\,,$ [/mm] dann ist [mm] $f\,$ [/mm] "vollständig und eindeutig erklärt" - insbesondere wohldefiniert. Schränkt man [mm] $f\,$ [/mm] ein, etwa auf [mm] $(-5,-2)\,,$ [/mm] dann ist das eigentlich eine neue Abbildung, die einen neuen Namen verdient.
Das ganze Zeugs findet man aber normalerweise bei fast jeder "Einführung in die Mathematik". Man muss es nur genau lesen. Ich fände es eher die Ausnahme oder "schlecht", wenn jmd. erzählen würde, dass man auch "Funktionen haben kann, die Definitionslücken haben". Soweit ich weiß, wird der Begriff der Definitionslücke daher auch vielleicht ein wenig anders eingeführt, wie man ihn erwarten würde. Z.B. könnte man sagen, dass man bei einer Funktion
$$f: M [mm] \to [/mm] N$$
sagt, sie habe an der Stelle [mm] $x=m\,$ [/mm] eine Definitionslücke, wenn man [mm] $f_{|M \setminus \{m\}}$ [/mm] mit einer (bereits (vollständig) bekannten) Funktion $M [mm] \setminus \{m\} \to [/mm] N$ identifizieren kann (anders gesagt: Man kennt [mm] $f\,$ [/mm] an jeder Stelle abgesehen von der "Definitionslücke" - hier könnte man prinzipiell auch die Zielbereiche der Funktion und der Einschränkung variieren in dem Sinne, dass der Zielbereich der eingeschränkten Funktion eine Teilmenge des Zielbereichs von [mm] $f\,$ [/mm] ist - aber da gibt's evtl. wieder Probleme mit der Definition des Begriffs "Einschränkung einer Funktion"). Ich finde es übrigens interessant, da es mir gerade nicht bekannt ist, ob jmd. wirklich in einem Buch/Skript den Begriff "Definitionslücke" "streng" definiert. Denn meine Definition oben ist m.E. nach auch irgendwie unbefriedigend und ich empfinde sie sogar als ein wenig "umgangssprachlich".
Meines Erachtens nach sind die oben gegebenen Definitionen der Begriffe "Funktion, Abbildung, Stetigkeit" schon sinnvoll und finden nicht ohne Grund schon seit jeher schon Verwendung. Und gerade ihre klare, unmissverständliche Definitionen, die keinen "Interpretationsspielraum" lassen, machen sie so handlich, und gerade deswegen werden sie auch seit jeher so benutzt.
Denn ein Beispiel: In der Schule wird oft gelehrt "Eine Funktion, die man zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen, heißt stetig."
Der Satz hat viele Probleme und ist eigentlich sogar an vielen Stellen falsch. Je nachdem, wie man den Begriff "Funktion" eingeführt hat (und in der Schule macht man das meist nicht über den Relationsbegriff), fragt man sich, wie man denn eine Funktion zeichnen können soll? (Zeichnen ist hier eh nur im Sinne von skizzieren gemeint, und meistens kann man auch nur "eine Einschränkung der Funktion" "zeichnen".) Meistens sollte der Lehrer da schon besser vom Graphen der Funktion sprechen - und sich die Zeit gönnen, den Begriff "Graph von einer Funktion $f:M [mm] \to [/mm] N$" zu definieren.
Ein weiteres Problem dieser Definition ist, dass gar nicht auf den Definitionsbereich eingegangen wird. I.a. ist es gar nicht wahr, dass man den Graphen stetiger Funktionen zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen. In der Schule sollte der Lehrer dann auch irgendwie erwähnen, dass er sich da auf Teile des Definitionsbereichs bezieht, die zusammenhängend sind (in der Schule betrachtet man ja eh meist nur Abbildungen, deren Definitionsbereiche Teilmengen von [mm] $\IR$ [/mm] sind). Die nächste Frage ist eigentlich, wie der Lehrer das nun auf Funktionen übertragen will, die nur "gewisse" Stetigkeitsstellen haben. Ich meine:
Die Abbildung [mm] $\IR \ni [/mm] x [mm] \mapsto x*1_{\IQ}(x) \in \IR$ [/mm] (letztstehendes ist die Indikatorfunktion von [mm] $\IQ$) [/mm] ist einzig und allein stetig in [mm] $x=0\,.$ [/mm] Wie erkennt man das "zeichnerich mit dem Stiftabsetzkriterium", wo doch [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt und man ständig, wenn man auf die [mm] $0\,$ [/mm] zuläuft, demnach Funktionswerte [mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $0\,$ [/mm] hat?
Das für mich in der Schule verwirrendste war aber vor allem die Behauptung: Jede Folge ist eine stetige Funktion. Mit den obigen Definitionen ist das klar. Mit dem "Stiftabsetzkitzerium" gar nicht. Alleine, weil doch zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen alle Abstand [mm] $1\,$ [/mm] haben, muss ich doch "schon immer nach rechts springen, um die Funktionswerte zu markieren".
Soviel also mal zu dem "Stiftabsetzkriterium". Ein guter Lehrer sollte wirklich aufpassen, wie er dieses formuliert - und lieber ein wenig zuviel fordern als zuwenig, wenn er Stetigkeit mit "Graphen kann man zeichnen, ohne Stift abzusetzen" charakterisieren will. Um diese Formulierung derart verwenden zu können, muss man eigentlich einen Haufen extra an den Definitionsbereich fordern.
Aber:
Ich bin mir sicher, dass die Schüler den Begriff der "Folgenstetigkeit" mindestens genauso handlich finden würden, und er würde für weniger Verwirrung sorgen. Denn dass dieser (in metrischen Räumen) äquivalent zur Stetigkeit mit [mm] $\epsilon-\delta$ [/mm] (an der Stelle [mm] $x_0$) [/mm] ist, ist ja bewiesen. Aber auch da muss der Lehrer aufpassen, dass er sagt:
"Eine Funktion $f:M [mm] \to [/mm] N$ heißt stetig an der Stelle [mm] $x_0\,,$ [/mm] wenn für jede Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in [mm] $M\,$ [/mm] (!!!) mit [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] gilt..."
Meine persönliche Meinung ist: Entfernt das "Stiftabsetzkriterium", es sorgt meist mehr für Verwirrung denn Hilfe, und arbeitet lieber mit dem Begriff der Folgenstetigkeit in der Schule. Ich denke echt, dass die meistens Schüler damit besser klarkommen, und es sorgt weniger für Verwirrung (denn oben habe ich nur zwei kleine Beispiele gegeben, wo "das Stiftabsetzkriterium" entweder gar nicht passt, oder präziser formuliert werden muss, als es die meisten Lehrer tun!)
Meines Erachtens ist das ganze also durchaus eine Sache des Lehrers/Autors, die Dinge auch sauber und unmissverständlich zu definieren und zu notieren. Meinetwegen das ganze auch noch mit Beispielen oder Gegenbeispielen zu untermauern, was gemeint und was nicht gemeint ist.
Um aber das ganze hier nun endlich mal zum Ende zu bringen:
Die Aufgabe hier ist meines Erachtens nach unmissverständlich, klar und eindeutig, formuliert (DonQuojote und Fred sehen das, soweit ich das sehe, genauso). Ich gehe dabei von "Standard-Definitionen" der Mathematik aus. Wenn Reverend oder sonst jemand, das anders sieht, so kann man höchstens den Fragenden/die Fragende bitten, zu ergänzen, wie genau sie die Begriffe "Abbildung, Funktion, Stetigkeit" definiert haben. Spätestens nach dem Ergänzen dieser Definitionen hat sich dann die ganze Problematik gelöst, und wir brauchen hier nicht weiter zu philosophieren oder herumzuraten
Viele Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:08 Fr 30.12.2011 | | Autor: | fred97 |
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> Um aber das ganze hier nun endlich mal zum Ende zu
> bringen:
> Die Aufgabe hier ist meines Erachtens nach
> unmissverständlich, klar und eindeutig, formuliert
So ist es.
> (DonQuojote und Fred sehen das, soweit ich das sehe,
> genauso).
Der Fred sieht das so.
Gruß FRED
> Ich gehe dabei von "Standard-Definitionen" der
> Mathematik aus. Wenn Reverend oder sonst jemand, das anders
> sieht, so kann man höchstens den Fragenden/die Fragende
> bitten, zu ergänzen, wie genau sie die Begriffe
> "Abbildung, Funktion, Stetigkeit" definiert haben.
> Spätestens nach dem Ergänzen dieser Definitionen hat sich
> dann die ganze Problematik gelöst, und wir brauchen hier
> nicht weiter zu philosophieren oder herumzuraten
>
> Viele Grüße,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Mi 28.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> zeige, dass es keine stetige Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] gibt,
> die jeden Wert aus ihrem Wertebereich genau zweimal
> annimmt.
nimm' mal an, es gäbe doch eine solche Funktion. Sei $y [mm] \in \IR$ [/mm] irgendeine reelle Zahl, und seien [mm] $x_1,\; x_2 \in \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x_1)=f(x_2)=y$ [/mm] die einzigen Urbilder von [mm] $y\,.$ [/mm] Dann kannst Du ohne Einschränkung annehmen, dass [mm] $x_1 [/mm] < [mm] x_2$ [/mm] ist (andernfalls vertausche die Rollen von [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$).
[/mm]
Betrachte die Einschränkung von [mm] $f\,$ [/mm] auf das Kompaktum [mm] $[x_1,x_2]\,:$
[/mm]
[mm] $$f_{|[x_1,\;x_2]}:[x_1,\;x_2] \to \IR$$
[/mm]
mit
[mm] $$f_{|[x_1,\;x_2]}(x):=f(x)\;\;\;\text{ für alle }x \in [x_1,\;x_2]\,.$$
[/mm]
Was weißt Du über stetige Funktionen auf kompakten Mengen? Was hat das nun mit einer lokalen Extremstelle von [mm] $f\,$ [/mm] zu tun? (Oder allgemeiner: Wie sieht's mit Maximum und Minimum aus?) Überlege Dir mal, wie der Graph von [mm] $f\,$ [/mm] verlaufen müßte (bzgl. Anzahl Extremstellen), wenn der Funktionswert der eben erkannten Extremstelle nochmal angenommen werden müßte. Das so erstmal als Idee. Wichtig ist auf jeden Fall, das ganze sauber aufzuschreiben und griffige Argumente zu benutzen, für alles, was man dann "behauptet"!
Gruß,
Marcel
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huhu,
dein beispiel ist mir durchaus sehr gut erklärt und auch weiß ich dass mit der stetigkeit auf kompakten mengen durch weierstraß, nur du hast als beispiel ja ein intervervall, was mich irritiert, da ich ja mit der Aufgabenstellung kein intervall betrachte.
Ne frage zu weierstraß: "...stetige Funktion nimmt ein globales Minimum und Maximum an" . Heisst das dann das das Min und max nur EINMAL angenommen werden kann?
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Hallo,
> dein beispiel ist mir durchaus sehr gut erklärt und auch
> weiß ich dass mit der stetigkeit auf kompakten mengen
> durch weierstraß, nur du hast als beispiel ja ein
> intervervall, was mich irritiert, da ich ja mit der
> Aufgabenstellung kein intervall betrachte.
Du erhältst mit Marcels Argumentation ein [mm] \xi\in(x_1,x_2) [/mm] mit der Eigenschaft, dass [mm] f(\xi) [/mm] Maximum/Minimum von f auf dem kompakten [mm] [x_1,x_2] [/mm] ist. Sei o. E. [mm] f(\xi)>f(x_1)=f(x_2), [/mm] sonst -f betrachten.
Die Annahme, es gäbe noch ein [mm] \eta\neq\xi [/mm] mit [mm] f(\eta)=f(\xi), [/mm] soll nun zum Widerspruch geführt werden.
Dazu wird es wohl nötig sein, ein paar Fallunterscheidungen zu machen.
1. [mm] \eta\in(x_1,x_2)
[/mm]
2. [mm] \eta\notin(x_1,x_2)
[/mm]
Der Zwischenwertsatz ist behilflich.
>
> Ne frage zu weierstraß: "...stetige Funktion nimmt ein
> globales Minimum und Maximum an" . Heisst das dann das das
> Min und max nur EINMAL angenommen werden kann?
Nein.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 Do 29.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> > dein beispiel ist mir durchaus sehr gut erklärt und
> auch
> > weiß ich dass mit der stetigkeit auf kompakten mengen
> > durch weierstraß, nur du hast als beispiel ja ein
> > intervervall, was mich irritiert, da ich ja mit der
> > Aufgabenstellung kein intervall betrachte.
> Du erhältst mit Marcels Argumentation ein [mm]\xi\in(x_1,x_2)[/mm]
> mit der Eigenschaft, dass [mm]f(\xi)[/mm] Maximum/Minimum von f auf
> dem kompakten [mm][x_1,x_2][/mm] ist.
> Sei o. E.
> [mm]f(\xi)>f(x_1)=f(x_2),[/mm] sonst -f betrachten.
noch ein kleine Ergänzung zum letzten Satz: Man beachte, dass [mm] $f(\xi) \not=f(x_1)$ [/mm] sein muss, weil sonst [mm] $f(x_1)$ [/mm] schon mindestens an drei verschiedenen Stellen angenommen werden würde!
> Die Annahme, es gäbe noch ein [mm]\eta\neq\xi[/mm] mit
> [mm]f(\eta)=f(\xi),[/mm] soll nun zum Widerspruch geführt werden.
>
> Dazu wird es wohl nötig sein, ein paar
> Fallunterscheidungen zu machen.
>
> 1. [mm]\eta\in(x_1,x_2)[/mm]
>
> 2. [mm]\eta\notin(x_1,x_2)[/mm]
Ob von Nöten weiß ich gerade nicht, aber man kann die Fallunterscheidungen noch ein wenig "präzisieren":
1. Fall: [mm] $\eta \in (x_1, x_2)$
[/mm]
2. Fall. [mm] $\eta \in \IR \setminus [x_1,x_2]\,.$
[/mm]
Denn wir wissen ja, dass [mm] $f(x_1)=f(x_2) [/mm] < [mm] f(\xi)$ [/mm] ist. Somit kann nur [mm] $\eta \notin \{x_1,\;x_2\}$ [/mm] sein! Aber das nur nebenbei - man kann das natürlich auch nochmal in Deinen Fallunterscheidungen mitreinnehmen bzw. erwähnen. Ich mach's halt lieber "so schnell wie möglich".
Gruß,
Marcel
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