matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegralrechnungsummenformel
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Integralrechnung" - summenformel
summenformel < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

summenformel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 Mi 06.09.2006
Autor: Bit2_Gosu

Hallo !!!

Um den Flächeninhalt unter der allgemeinen Funktion f(x)= [mm] x^b [/mm] auszurechnen,

brauche ich die Summenformel  [mm] \summe_{i=1}^{n} i^b [/mm] .

Ich hab schon viel rumgefragt, aber keiner wusste was davon.

Wäre echt toll, wenn ihr sie mir sagen könntet !!!

        
Bezug
summenformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:10 Mi 06.09.2006
Autor: Event_Horizon

ich denke, du möchtest eine Formel für die Unter- und Obersummen, korrekt?

Folgendes:

Du zeichnest Rechtecke Seite an Seite unter deine Funktion, sodaß jedes auf der x-AChse steht, und seine linke obere Ecke die Funktion berührt.

Du willst die Fläche erstmal zwischen den x-Werten 0 und a berechnen

Die Anzahl deiner Rechtecke ist n





Nun, die Breite eines Rechtecks ist nun [mm] $b=\bruch{a}{n}$ [/mm]

Die höhe eines Rechtecks ist der Funktionswert oben links am Rechteck

Also f(0) für das erste Rechteck, f(s) für das zweite, f(2s) für das dritte und so weiter.

Um die Fläche des jeweiligen Rechtecks zu berechnen, mußt du Breite und Höhe multiplizieren:

$A= s*f(0)+s*f(s)+s*f(2s)+...$


[mm] $A=\summe_{i=0}^{n-1} [/mm] s*f(i*b)$

Beachte: das letzte rechteck hat als Funktionswert nicht $f(n*b)$, sondern$f((n-1)*b)$, weil linke obere Ecke!

und da b immer gleich ist:


[mm] $A=b*\summe_{i=0}^{n-1} [/mm] f(i*b)$


Anschließend setzt man die Funktion ein, und versucht, für die Summe einen Term zu finden, sodaß das Summenzeichen weg kann. Danach verrechnet man den neuen Ausdruck mit dem Faktor b. der da noch steht, und setzt

[mm] $b=\bruch{a}{n}$ [/mm]

ein.

Jetzt macht man eine Grenzwertbetrachtung n -> oo, also unendlich viele Rechtecke. Gibt es den Grenzwert, ist das deine gesuchte Fläche.



Das Problem ist allerdings, die Ersatzformel zu finden, für lineare und quadratische Funktionen ist das kein Problem, danach wirds kritisch.


Bezug
                
Bezug
summenformel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:23 Mi 06.09.2006
Autor: Bit2_Gosu

ich weiß schon wie man normalerweise den Flächeninhalt unter zb [mm] x^2 [/mm] ausrechnet.

zu den ersatzformeln. kein problem ich könnte theoretisch eine für jede einzelne potenz nach dem pascalschen dreieck erstellen, hur allgemein weiß ich des net ;)

Deshalb wäre es echt cool, wenn mir jemand helfen könnte !!!

Bezug
                        
Bezug
summenformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:37 Mi 06.09.2006
Autor: Zwerglein

Hi, Bit2_Gosu,

> ich weiß schon wie man normalerweise den Flächeninhalt
> unter zb [mm]x^2[/mm] ausrechnet.
>  
> zu den ersatzformeln. kein problem ich könnte theoretisch
> eine für jede einzelne potenz nach dem pascalschen dreieck
> erstellen, hur allgemein weiß ich des net ;)
>  
> Deshalb wäre es echt cool, wenn mir jemand helfen könnte
> !!!

Kann mir nicht vorstellen, dass es sowas gibt!
Hab' hier
[]http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel2.htm
ein "paar" Formeln gefunden, aber die werden gegen Ende hin (mit steigendem Exponenten) so unhandlich, dass ich es kaum für möglich halte, dass es sozusagen eine "universelle" Formel gibt!

mfG!
Zwerglein

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]