matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenInternationale Mathe-Olympiadex²/(x-1)+y²/(y-1)+z²/(z-1)>=1
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Internationale Mathe-Olympiade" - x²/(x-1)+y²/(y-1)+z²/(z-1)>=1
x²/(x-1)+y²/(y-1)+z²/(z-1)>=1 < Internationale MO < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Internationale Mathe-Olympiade"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

x²/(x-1)+y²/(y-1)+z²/(z-1)>=1: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:22 So 14.12.2008
Autor: Teufel

Aufgabe
Man zeige, dass [mm] \bruch{x²}{x-1}+\bruch{y²}{y-1}+\bruch{z²}{z-1}\ge [/mm] 1 für alle x,y,z [mm] \in \IR \backslash \{1\} [/mm] und x*y*z=1 gilt.

Hi Leute!

Hier mal eine Aufgabe (zumindest der 1. Teil) der IMO aus Österreich von 2008.

Irgendwie komme ich da auf keine effiziente Lösung.
Ich weiß: Die Zahlen sind so verteilt, dass auf "jeder Seite der 1" wenigstens eine Zahl ist, also 2 Zahlen sind größer als 1 und eine kleiner, oder umgedreht, da sonst nicht x*y*z=1 gelten könnte.

Dann weiß ich, dass z.B. [mm] \bruch{x²}{x-1}\ge [/mm] 4, wenn x>1 und [mm] \bruch{x²}{x-1}\le [/mm] 0, wenn x<1.

Aber dann komme ich auf nichts vernünftiges mehr.

Wisst ihr da weiter?


        
Bezug
x²/(x-1)+y²/(y-1)+z²/(z-1)>=1: Versuch
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:46 So 14.12.2008
Autor: reverend

Hallo Teufel,

ich bin noch nicht sicher. Mir scheint es einfacher zu rechnen, wenn du ersetzt: a=x-1, b=y-1, c=z-1. Im Moment verfolge ich gerade die Frage, um wieviel die linke Seite eigentlich größer ist als die rechte, aber nicht mehr lange. Es sieht ganz gut aus, aber ich werde doch müde.

Falls Du es nicht schon selbst raus hast (oder auch jemand anders), gern morgen mehr. Die Aufgabe ist ja hübsch, wenn man solche Rechenknobeleien mag.

Grüße,
rev

Bezug
        
Bezug
x²/(x-1)+y²/(y-1)+z²/(z-1)>=1: Teillösung
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 01:09 So 14.12.2008
Autor: dr_geissler

Ich weiß nicht ob es Dir hilft, aber einen Teil kann ich Dir lösen.

Für alle x,y,z [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] \bruch{x²}{(x-1)}+\bruch{y²}{(y-1)}+\bruch{z²}{(z-1)}\ge1 [/mm]

Da x² > x-1 und y² > y-1 und z² > z-1

[mm] \Rightarrow \bruch{x²}{(x-1)} [/mm] > 1 und [mm] \bruch{y²}{(y-1)} [/mm] >1 und [mm] \bruch{z²}{(z-1)} [/mm] >1


[mm] \Rightarrow \bruch{x²}{(x-1)}+\bruch{y²}{(y-1)}+\bruch{z²}{(z-1)}>1 [/mm]


Für alle anderen positiven Zahlen gilt

x*y*z = 1 oder y*z = [mm] \bruch{1}{x} \Rightarrow x*\bruch{1}{x}=1 [/mm]

Jetzt kann ich meine x, y, z frei wählen.

Fall 1 (positive Zahlen):

Sei,

[mm] x\in(0,1) \Rightarrow \bruch{x²}{(x-1)}\begin{cases} < 0, & \\ >-1\end{cases} [/mm] (Also eigentlich so gut wie Null, jeder kleiner ich x wähle)

wenn [mm] x\in(0,1) [/mm] muss y [mm] \wedge [/mm] z >1 [mm] \Rightarrow \bruch{y²}{(y-1)}>1 \wedge \bruch{z²}{(z-1)}>1 [/mm]

Also ist [mm] \bruch{x²}{(x-1)}+\bruch{y²}{(y-1)}+\bruch{z²}{(z-1)}>1 [/mm]

Analog funktioniert das auch, wenn x [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] (0,1). Dann muss z noch größer gewählt werden damit x*y*z=1 sind. Und dann ist immer [mm] \bruch{z²}{(z-1)}>5 [/mm] weil z=x*y für x,y [mm] \in [/mm] (0,1)

Hoffe das bringt Dich weiter. Für negative Zahlen ist es mir zu spät. Probier es morgen nocheinmal.


Bezug
                
Bezug
x²/(x-1)+y²/(y-1)+z²/(z-1)>=1: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 01:36 So 14.12.2008
Autor: reverend


> Ich weiß nicht ob es Dir hilft, aber einen Teil kann ich
> Dir lösen.
>  
> Für alle x,y,z [mm]\in \IN[/mm] Die Aufgabe setzt doch [mm] \red{\IR} [/mm] voraus... gilt
> [mm]\bruch{x²}{(x-1)}+\bruch{y²}{(y-1)}+\bruch{z²}{(z-1)}\ge1[/mm]
>  
> Da x² > x-1 und y² > y-1 und z² > z-1

> [mm]\Rightarrow \bruch{x²}{(x-1)}[/mm] > 1 und [mm]\bruch{y²}{(y-1)}[/mm] >1
> und [mm]\bruch{z²}{(z-1)}[/mm] >1

Da tust Du allen x<1 aber Unrecht. Das geht in [mm] \IN, [/mm] aber nicht mehr in [mm] \IR. [/mm]
Wir wissen ja nur [mm] x\not=1, y\not=1, z\not=1. [/mm] Daraus lässt sich Deine Folgerung (in [mm] \IR) [/mm] nicht herleiten!

>
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{x²}{(x-1)}+\bruch{y²}{(y-1)}+\bruch{z²}{(z-1)}>1[/mm]

Das dann leider auch nicht.  

>
> Hoffe das bringt Dich weiter. Für alles andere ist es mir
> zu spät.

Die Idee ist trotzdem eine, die im Hinterkopf zu behalten ist. Wer weiß, ob das nicht doch noch nützlich wird.


Bezug
                        
Bezug
x²/(x-1)+y²/(y-1)+z²/(z-1)>=1: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 01:58 So 14.12.2008
Autor: dr_geissler

Schau mal. Ich hab meine Antwort schon überarbeitet.

Bezug
                
Bezug
x²/(x-1)+y²/(y-1)+z²/(z-1)>=1: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 02:40 So 14.12.2008
Autor: reverend


> Ich weiß nicht ob es Dir hilft, aber einen Teil kann ich
> Dir lösen.
>  
> Für alle x,y,z [mm]\in \IN[/mm] gilt
> [mm]\bruch{x²}{(x-1)}+\bruch{y²}{(y-1)}+\bruch{z²}{(z-1)}\ge1[/mm]
>  
> Da x² > x-1 und y² > y-1 und z² > z-1
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{x²}{(x-1)}[/mm] > 1 und [mm]\bruch{y²}{(y-1)}[/mm] >1
> und [mm]\bruch{z²}{(z-1)}[/mm] >1
>  
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{x²}{(x-1)}+\bruch{y²}{(y-1)}+\bruch{z²}{(z-1)}>1[/mm]

  
Das gilt, wie Du richtig sagst, aber auch nur in [mm] \IN. [/mm]

> Für alle anderen positiven Zahlen [red]- also jetzt offenbar in [mm] \IR^+ [/mm] ? - gilt
>  
> x*y*z = 1 oder y*z = [mm]\bruch{1}{x} \Rightarrow x*\bruch{1}{x}=1[/mm]
>  
> Jetzt kann ich meine x, y, z frei wählen.

Ich verstehe zwar nicht, warum Du das erwähnst, aber: ja, so ist es.

> Fall 1 (positive Zahlen):
>  
> Sei,
>  
> [mm]x\in(0,1) \Rightarrow \bruch{x²}{(x-1)}\begin{cases} < 0, & \\ \red{>-1}\end{cases}[/mm]
> (Also eigentlich so gut wie Null, jeder kleiner ich x
> wähle)

Es geht nicht um eine Grenzwertbetrachtung vom Typ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}, [/mm] sondern um eine Lösung mit den Vorgaben [mm] x,y,z\not=1 \wedge \a{}xyz=1 [/mm]

Daher stimmt die rot markierte Angabe nicht für alle x im angegebenen Intervall. So ist sie falsch z.B. für alle [mm] 1>x>\bruch{1}{\Phi}=\bruch{\wurzel{5}-1}{2} [/mm]

> wenn [mm] x\in(0,1)[/mm] [/mm] muss y [mm] \wedge [/mm] z >1

Nein. Woher stammt das [mm] "\wedge [/mm] "?
x=0,25, y=0,5, z=8 erfüllt doch alle Bedingungen...

> [mm] \Rightarrow \bruch{y²}{(y-1)}>1 \wedge \bruch{z²}{(z-1)}>1[/mm] [/mm]

Ebenso. Streiche das logische "und".

> Also ist
> [mm]\bruch{x²}{(x-1)}+\bruch{y²}{(y-1)}+\bruch{z²}{(z-1)}>1[/mm]

Nicht auf diesem Weg.

> Analog funktioniert das auch, wenn x [mm]\wedge[/mm] y [mm]\in[/mm] (0,1).
> Dann muss z noch größer gewählt werden damit x*y*z=1 sind.
> Und dann ist immer [mm]\bruch{z²}{(z-1)}>5[/mm] gute Güte: woher kommt denn die 5?
> weil z=x*y für x,y [mm] \in(0,1) [/mm]

Das funktioniert ganz analog auch hier nicht.

> Hoffe das bringt Dich weiter. Für negative Zahlen ist es
> mir zu spät. Probier es morgen nocheinmal.
>  

Produktiv werde ich auch erst morgen. Pardon für die vernichtende Rückmeldung, aber so stimmt es noch nicht.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Internationale Mathe-Olympiade"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]