x²/(x-1)+y²/(y-1)+z²/(z-1)>=1 < Internationale MO < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:22 So 14.12.2008 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | | Man zeige, dass [mm] \bruch{x²}{x-1}+\bruch{y²}{y-1}+\bruch{z²}{z-1}\ge [/mm] 1 für alle x,y,z [mm] \in \IR \backslash \{1\} [/mm] und x*y*z=1 gilt. |
Hi Leute!
Hier mal eine Aufgabe (zumindest der 1. Teil) der IMO aus Österreich von 2008.
Irgendwie komme ich da auf keine effiziente Lösung.
Ich weiß: Die Zahlen sind so verteilt, dass auf "jeder Seite der 1" wenigstens eine Zahl ist, also 2 Zahlen sind größer als 1 und eine kleiner, oder umgedreht, da sonst nicht x*y*z=1 gelten könnte.
Dann weiß ich, dass z.B. [mm] \bruch{x²}{x-1}\ge [/mm] 4, wenn x>1 und [mm] \bruch{x²}{x-1}\le [/mm] 0, wenn x<1.
Aber dann komme ich auf nichts vernünftiges mehr.
Wisst ihr da weiter?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:46 So 14.12.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo Teufel,
ich bin noch nicht sicher. Mir scheint es einfacher zu rechnen, wenn du ersetzt: a=x-1, b=y-1, c=z-1. Im Moment verfolge ich gerade die Frage, um wieviel die linke Seite eigentlich größer ist als die rechte, aber nicht mehr lange. Es sieht ganz gut aus, aber ich werde doch müde.
Falls Du es nicht schon selbst raus hast (oder auch jemand anders), gern morgen mehr. Die Aufgabe ist ja hübsch, wenn man solche Rechenknobeleien mag.
Grüße,
rev
|
|
|
| |
|
Ich weiß nicht ob es Dir hilft, aber einen Teil kann ich Dir lösen.
Für alle x,y,z [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] \bruch{x²}{(x-1)}+\bruch{y²}{(y-1)}+\bruch{z²}{(z-1)}\ge1
[/mm]
Da x² > x-1 und y² > y-1 und z² > z-1
[mm] \Rightarrow \bruch{x²}{(x-1)} [/mm] > 1 und [mm] \bruch{y²}{(y-1)} [/mm] >1 und [mm] \bruch{z²}{(z-1)} [/mm] >1
[mm] \Rightarrow \bruch{x²}{(x-1)}+\bruch{y²}{(y-1)}+\bruch{z²}{(z-1)}>1
[/mm]
Für alle anderen positiven Zahlen gilt
x*y*z = 1 oder y*z = [mm] \bruch{1}{x} \Rightarrow x*\bruch{1}{x}=1
[/mm]
Jetzt kann ich meine x, y, z frei wählen.
Fall 1 (positive Zahlen):
Sei,
[mm] x\in(0,1) \Rightarrow \bruch{x²}{(x-1)}\begin{cases} < 0, & \\ >-1\end{cases} [/mm] (Also eigentlich so gut wie Null, jeder kleiner ich x wähle)
wenn [mm] x\in(0,1) [/mm] muss y [mm] \wedge [/mm] z >1 [mm] \Rightarrow \bruch{y²}{(y-1)}>1 \wedge \bruch{z²}{(z-1)}>1
[/mm]
Also ist [mm] \bruch{x²}{(x-1)}+\bruch{y²}{(y-1)}+\bruch{z²}{(z-1)}>1
[/mm]
Analog funktioniert das auch, wenn x [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] (0,1). Dann muss z noch größer gewählt werden damit x*y*z=1 sind. Und dann ist immer [mm] \bruch{z²}{(z-1)}>5 [/mm] weil z=x*y für x,y [mm] \in [/mm] (0,1)
Hoffe das bringt Dich weiter. Für negative Zahlen ist es mir zu spät. Probier es morgen nocheinmal.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 01:36 So 14.12.2008 | | Autor: | reverend |
> Ich weiß nicht ob es Dir hilft, aber einen Teil kann ich
> Dir lösen.
>
> Für alle x,y,z [mm]\in \IN[/mm] Die Aufgabe setzt doch [mm] \red{\IR} [/mm] voraus... gilt
> [mm]\bruch{x²}{(x-1)}+\bruch{y²}{(y-1)}+\bruch{z²}{(z-1)}\ge1[/mm]
>
> Da x² > x-1 und y² > y-1 und z² > z-1
> [mm]\Rightarrow \bruch{x²}{(x-1)}[/mm] > 1 und [mm]\bruch{y²}{(y-1)}[/mm] >1
> und [mm]\bruch{z²}{(z-1)}[/mm] >1
Da tust Du allen x<1 aber Unrecht. Das geht in [mm] \IN, [/mm] aber nicht mehr in [mm] \IR.
[/mm]
Wir wissen ja nur [mm] x\not=1, y\not=1, z\not=1. [/mm] Daraus lässt sich Deine Folgerung (in [mm] \IR) [/mm] nicht herleiten!
>
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{x²}{(x-1)}+\bruch{y²}{(y-1)}+\bruch{z²}{(z-1)}>1[/mm]
Das dann leider auch nicht.
>
> Hoffe das bringt Dich weiter. Für alles andere ist es mir
> zu spät.
Die Idee ist trotzdem eine, die im Hinterkopf zu behalten ist. Wer weiß, ob das nicht doch noch nützlich wird.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 01:58 So 14.12.2008 | | Autor: | dr_geissler |
Schau mal. Ich hab meine Antwort schon überarbeitet.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 02:40 So 14.12.2008 | | Autor: | reverend |
> Ich weiß nicht ob es Dir hilft, aber einen Teil kann ich
> Dir lösen.
>
> Für alle x,y,z [mm]\in \IN[/mm] gilt
> [mm]\bruch{x²}{(x-1)}+\bruch{y²}{(y-1)}+\bruch{z²}{(z-1)}\ge1[/mm]
>
> Da x² > x-1 und y² > y-1 und z² > z-1
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{x²}{(x-1)}[/mm] > 1 und [mm]\bruch{y²}{(y-1)}[/mm] >1
> und [mm]\bruch{z²}{(z-1)}[/mm] >1
>
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{x²}{(x-1)}+\bruch{y²}{(y-1)}+\bruch{z²}{(z-1)}>1[/mm]
Das gilt, wie Du richtig sagst, aber auch nur in [mm] \IN.
[/mm]
> Für alle anderen positiven Zahlen [red]- also jetzt offenbar in [mm] \IR^+ [/mm] ? - gilt
>
> x*y*z = 1 oder y*z = [mm]\bruch{1}{x} \Rightarrow x*\bruch{1}{x}=1[/mm]
>
> Jetzt kann ich meine x, y, z frei wählen.
Ich verstehe zwar nicht, warum Du das erwähnst, aber: ja, so ist es.
> Fall 1 (positive Zahlen):
>
> Sei,
>
> [mm]x\in(0,1) \Rightarrow \bruch{x²}{(x-1)}\begin{cases} < 0, & \\ \red{>-1}\end{cases}[/mm]
> (Also eigentlich so gut wie Null, jeder kleiner ich x
> wähle)
Es geht nicht um eine Grenzwertbetrachtung vom Typ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}, [/mm] sondern um eine Lösung mit den Vorgaben [mm] x,y,z\not=1 \wedge \a{}xyz=1
[/mm]
Daher stimmt die rot markierte Angabe nicht für alle x im angegebenen Intervall. So ist sie falsch z.B. für alle [mm] 1>x>\bruch{1}{\Phi}=\bruch{\wurzel{5}-1}{2}
[/mm]
> wenn [mm] x\in(0,1)[/mm] [/mm] muss y [mm] \wedge [/mm] z >1
Nein. Woher stammt das [mm] "\wedge [/mm] "?
x=0,25, y=0,5, z=8 erfüllt doch alle Bedingungen...
> [mm] \Rightarrow \bruch{y²}{(y-1)}>1 \wedge \bruch{z²}{(z-1)}>1[/mm]
[/mm]
Ebenso. Streiche das logische "und".
> Also ist
> [mm]\bruch{x²}{(x-1)}+\bruch{y²}{(y-1)}+\bruch{z²}{(z-1)}>1[/mm]
Nicht auf diesem Weg.
> Analog funktioniert das auch, wenn x [mm]\wedge[/mm] y [mm]\in[/mm] (0,1).
> Dann muss z noch größer gewählt werden damit x*y*z=1 sind.
> Und dann ist immer [mm]\bruch{z²}{(z-1)}>5[/mm] gute Güte: woher kommt denn die 5?
> weil z=x*y für x,y [mm] \in(0,1)
[/mm]
Das funktioniert ganz analog auch hier nicht.
> Hoffe das bringt Dich weiter. Für negative Zahlen ist es
> mir zu spät. Probier es morgen nocheinmal.
>
Produktiv werde ich auch erst morgen. Pardon für die vernichtende Rückmeldung, aber so stimmt es noch nicht.
|
|
|
|
