Keine Ahnung von DGLs??? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Irgendwie passt meine Vorlesung nicht mit den Übungszetteln zusammen. Ich habe noch keine Ahnung von DGLs und auf meinem neuen Übungszettel sind nur Fragen dazu *grummel*
Kann mir jemand anhand der ersten Aufgabe erklären, was DGLs überhaupt sind und was ich damit anzufangen habe?
Aufgabe:
Betrachten wir die DGL [mm] \dot y (t)= \frac{1}{y(t)} [/mm]
Bestimmen sie explizit alle Lösungen. Welche Lösung ergibt sich für das AWP [mm] y(0)=1 [/mm] ?
Als ersten Schritt würde ich jetzt schreiben: [mm] \dot y (t)*y(t)=1 [/mm] und dann integrieren?
Und: Was ist das AWP?
Viele Grüße
Fetteratte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Sa 26.06.2004 | | Autor: | andreas |
hi Fetteratte
differentialgleichungen (DGL's) sind gleichungen in denen funktionen [m]y[/m], sowie deren ableitungen [m] y', y'', \hdots, y^{(n)} [/m] und freie veränderliche (variablen) vorkommen, z.b. [m] x [/m] und lassen sich stets als [m] F(x, y, y', \hdots, y^{(n)}) = 0 [/m] schreiben. das hört sich jetzt wahrscheinlich schlimmer an als es ist.
z.b. sind
[m] y + y'' = 0 [/m] oder [m] xy + \dfrac{y'}{x} = x [/m] differentialgleichungen. in der regel bist du an einer hinreichend oft stetig differnezierbaren (im ersten beispiel 2mal im zweiten beispiel 1mal stetig differenzierbaren) funktion [m] y(x) [/m] interessiert, die die dgl löst.
die differntialgleichung
[m] y(x) = y'(x) [/m] lässt sich z.b. folgendermaßen lösen:
[m] y'(x) = y(x) [/m] (sei [m] y(x) \not\equiv 0 [/m])
[m] \dfrac{y'(x)}{y(x)} = 1 [/m] (beidseitiges integrieren nach x)
[m] \int \dfrac{y'(x)}{y(x)} \text{d}x = \int 1 \text{d}x [/m]
[m] \ln|y(x)| = x + C [/m], wobei ich jetzt beide integrationskonstanten nach rechts gebracht habe
[m] \exp(\ln|y(x)|) = \exp(x + C) [/m]
[m] y(x) = \pm e^Ce^x [/m], (das [m] \pm[/m] kommt vom auflösen des betrages)
[m] y(x) = \tilde{C}e^x [/m], wobei [m] \tilde{C} \in \mathbb{R} \setminus \{0\} [/m].
setzt du jetzt noch die oben ausgeschlossene lösung [m] y(x) \equiv 0 [/m] in die differentialgleichung ein, so siehst du, das diese davon auch gelöst wird und du kannst für [m] \tilde{C} [/m] auch 0 zulassen. somit erhältst du als allgemenie lösung
[m] y(x) = ke^x \text{ mit } k \in \mathbb{R} [/m]. die lösung des awp (=anfangswertproblem) erhältstdu jetzt indem du den x- und y-wert einsetzt und damit das k bestimmst.
nun zu deinem beispiel (ich schreibe da im allgemeinen als freie variable x statt t):
[m] y'(x) = \frac{1}{y(x)} [/m] (sei [m] y(x) \not\equiv 0[/m])
[m] y'(x) \cdot y(x) = 1 [/m] (beidseitiges integrieren)
[m] \int y(x) \cdot y'(x) \text{d}x = \int 1 \text{d}x [/m]
[m] \dfrac{(y(x))^2}{2} = x + C [/m]
[m] y(x) = \pm \sqrt{2x +2C} [/m]
die oben ausgenommene funktion [m] y(x) \equiv 0 [/m] ist hier keine lösung, wie man durch einsetzen sieht, also erhält man als allgemeine lösung (mit der umbenennung [m] 2C = k \in \mathbb{R} [/m]:
[m] y(x) = \pm \sqrt{2x + k} [/m]
willst du nun das anfangswertproblem [m] y(0) = 1 [/m] lösen, so setzt du das einfach in die allgemeine lösung ein - die negative lösung fällt hier weg, da der wert im punkt null ja positiv sein soll:
[m] y(0) = \sqrt{2\cdot0 + k} \stackrel{!}{=} 1 \; \Longrightarrow \sqrt{k} \stackrel{!}{=} 1 \Longrightarrow k = 1 [/m]
also erhältst du als lösung des awp [m] y(x) = \sqrt{2x + 1} [/m], was du durch ableiten und einsetzen bei dgl immer gleich kontrolieren kannst.
das verfahren, das ich hier angewandt habe nennt sich "trennung der veränderlichen" und funktioniert bei dgl erster ordnung der form [m] y' = g(x)\cdot h(y) [/m], wobei dann alle ausdrücke mit x auf eine seite und alleausdrüche mit y auf die andere seite gebracht werden daher der name - und dann der ausdruck [m] \frac{y'}{h(y)} = g(x) [/m] beidseitig integriert wird. dabei musst du aufpassen, dass du die nullstllen [m] y_0 [/m] von [m] h(y) [/m] ausnimmst und gesondert untersuchst, da du sonst nurch nul dividieren würdest, was in der mathematik im allgemeinen zu keinen sinnvollen ergebnissen führt!
sorry, wenn die antwort etwas konfus geraten ist, ich hoffe es hilft dir für das erste trotzdem weiter. frage einfach nach, wenn irgendetwas unverständlich ist.
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 So 27.06.2004 | | Autor: | Fetteratte |
Oh vielen Dank =) das hat mir schonmal erheblich weitergeholfen. Es ist einfach doof, wenn Vorlesung und Übung nicht zusammen passen.
Viele Grüße
Bianca
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