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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:23 Do 10.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo Leute,
habe mir mein aktuelles Übungsblatt angeschaut. Und ich
verstehe nicht mal Teile von der ersten Aufgabe. Ich weiss echt nicht
womit ich anfangen soll.
Aufgabe:
Es bezeichne [mm] $p_m \in Abb(\IR,\IR)$ [/mm] die
Potenzfunktion [mm] $p_m(x)=x^m$, [/mm] $m [mm] \in \IN$.
[/mm]
Weiter sei für $n [mm] \in \IN$ [/mm]
[mm] $B_n:=(p_0, p_1, [/mm] ..., [mm] p_n)$,
[/mm]
[mm] $V_n:=span B_n$
[/mm]
(dies ist der Raum aller reellen Polynomfunktionen vom
Grad kleiner oder gleich $n$), und
[mm] $D_n: V_n \rightarrow V_{n-1}$
[/mm]
$f [mm] \rightarrow \bruch{d}{dx}f$
[/mm]
der Ableitungshomomorphismus.
Bestimmen Sie die Matrix [mm] $M_{B_{n-1}}^{B_n} (D_n)$
[/mm]
Ich bitte um Tipps und vielleicht einen Ansatz und überhaupt;
was soll ich mir zunächst anschauen. Ich hab keine Ahnung von
den meisten Begriffen in der Aufgabe :((
Schönen Feiertag noch an Alle
nevinpol
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Hmm also mal ganz langsam:
so schwer ist das auch nicht: du muss dir einfach nochmal genau überlegen, wie man die Darstellungsmatrix findet. 1. Schirtt.: Bestimme die Bilder der Basen des Urbildraums und stelle die dann durch die Basen des Bildraums dar. In deinem Fall ist das ganz einfach, denn der Urbildraum hat einfach die Monome von [mm] x^{0} [/mm] bis [mm] x^{n} [/mm] als Basis und der Bildraum eben bis [mm] x^{n-1} [/mm] na und dann bist du auch schon fast fertig :o) musst dann nur noch die so entstandenen Gleichungen zu spalten der matrix ordnen... Alles klar? ist echt easy :o) Viel Erfolg.. Ciao Cordian
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Fr 11.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo,
eeem kann jemand mir vielleicht erklären, wie die Angaben
[mm] $B_{n-1}$ [/mm] und [mm] $B_n$ [/mm] die unten bei der MAtrixbeschreibung stehen
[mm] $M_{B_{n-1}}^{B_n} (D_n)$ [/mm] ...
sich auf die konkrete Matrix auswirken. Also was sind das für Angaben?
Ein kleiner Beispiel an einem einfacheren Matrix wäre auch super:)
Vielen Dank an Alle
nevinpol
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 Fr 11.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Es handelt sich bei
[mm] $M_{B_{n-1}}^{B_n}(D_n)$
[/mm]
um die Matrixdarstellung der linearen Abbildung
[mm] $D_n [/mm] : [mm] V_n \to V_{n-1}$
[/mm]
bezüglich der Basen [mm] $B_n$ [/mm] und [mm] $B_{n-1}$.
[/mm]
In den Spalten von [mm] $M_{B_{n-1}}^{B_n}(D_n)$ [/mm] stehen die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren (also der Elemente von [mm] $B_n$) [/mm] bezüglich der Basis [mm] $B_{n-1}$.
[/mm]
Was bedeutet das?
Bilden wir für [mm] $i=0,\ldots,n$ [/mm] ein Basiselement [mm] $p_i$ [/mm] unter [mm] $D_n$ [/mm] ab, da gilt: [mm] $D_n(p_i)\in V_{n-1}$, [/mm] d.h. es gibt [mm] $a_{0i}, a_{1i}, \ldots, a_{n-1,i} \in \IR$ [/mm] mit
[mm] $D_n(p_i) [/mm] = [mm] a_{0i} p_0 [/mm] + [mm] a_{1i} p_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_{n-1,i} p_{n-1}$.
[/mm]
Dann ist
[mm] $a_i:= \begin{pmatrix} a_{0i} \\ a_{1i} \\ \vdots \\ a_{n-i,i} \end{pmatrix}$
[/mm]
die $i+1$-te Spalte der Matrix [mm] $M_{B_{n-1}}^{B_n}(D_n)$, [/mm] wobei $i [mm] \in \{0,\ldots,n\}$.
[/mm]
(Die Verschiebung um $1$ kommt daher, dass wir bei [mm] $p_0$ [/mm] anfangen zu zählen, aber kein $0$-te, sondern eine $1$-te Spalte haben.)
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Fr 11.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo Julius,
vielen Dank für deine Hilfe !!
Also ist dann die Matrix bestimmt, wenn ich folgende Matrix
als Ergebnis habe und die Aufgabe ist gelöst?
Das war alles? :)))
[mm]
M_{B_{n-1}}^{B_n}(D_n)
= \begin{pmatrix} a_0 & a_1 & ... & ... & a_i\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
a_{00} & a_{01} & \cdots & a_{0i} \\
a_{10} & a_{11} & \cdots & a_{1i} \\
a_{20} & a_{21} & \cdots & a_{2i} \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
a_{n-1,0} & a_{n-1,1} & \cdots & a_{n-1,i} \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Schöne Grüsse
nevinpol
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Fr 11.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo
jetzt habe ich mir Ähnliches im Buch
(Lineare Algebra,Gerd Fischer, vieweg, seite 20)
angeguckt und habe folgendes ...
[mm]
M_{B_{n-1}}^{B_n}(D_n)
=\begin{pmatrix}
a_{00} \cdot x_0 & a_{01} \cdot x_1 & \cdots & a_{0n} \cdot x_n \\
a_{10} \cdot x_0 & a_{11} \cdot x_1 & \cdots & a_{1n} \cdot x_n \\
a_{20} \cdot x_0 & a_{21} \cdot x_1 & \cdots & a_{2n} \cdot x_n \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
a_{n-1,0} \cdot x_0 & a_{n-1,1} \cdot x_1 & \cdots & a_{n-1,n} \cdot x_n \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Hoffe liege damit richtig.
Gute Nacht
nevinpol
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Sa 12.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Nevin!
> [mm]
> M_{B_{n-1}}^{B_n}(D_n)
> =\begin{pmatrix}
> a_{00} \cdot x_0 & a_{01} \cdot x_1 & \cdots & a_{0n} \cdot x_n \\
> a_{10} \cdot x_0 & a_{11} \cdot x_1 & \cdots & a_{1n} \cdot x_n \\
> a_{20} \cdot x_0 & a_{21} \cdot x_1 & \cdots & a_{2n} \cdot x_n \\
> \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
> \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
> a_{n-1,0} \cdot x_0 & a_{n-1,1} \cdot x_1 & \cdots & a_{n-1,n} \cdot x_n \\
> \end{pmatrix}
> [/mm]
Nein, diese Lösung ist weit von der tatsächlichen Lösung entfernt. Aber so weit waren wir ja auch noch gar nicht.
So, jetzt geht es weiter:
Gesehen haben wir jetzt:
[mm] $V_n [/mm] = [mm] Span(\{p_0, p_1,\ldots,p_n\})$
[/mm]
mit
[mm] $p_m [/mm] : [mm] \IR \to \IR \quad [/mm] , [mm] \quad p_m(x)=x^m$ [/mm] für $x [mm] \in \IR, \quad [/mm] m [mm] \in \{0,1,\ldots,n\}$,
[/mm]
ist der Vektorraum der reellwertigen Polynomfunktionen und
[mm] $B_n:=\{p_0,p_1,\ldots,p_n\}$
[/mm]
ist eine Basis dieses Vektorraums.
Wir haben nun eine lineare Abbildung:
[mm] $D_n [/mm] : [mm] V_n \to V_{n-1}$
[/mm]
[mm] $D_n(p) [/mm] = [mm] \frac{\partial}{\partial x}p$,
[/mm]
also:
[mm] $[D_n(p)](x) [/mm] = [mm] \frac{\partial}{\partial x} [/mm] p(x)$ für alle $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Was macht also [mm] $D_n$?
[/mm]
[mm] $D_n$ [/mm] ordnet einer Polynomfunktion mit maximalem Grad $n$ eine andere Polynomfunktion zu, mit maximalem Grad $n-1$. Wie macht [mm] $D_n$ [/mm] das? Nun ja, es wird von einer Polynomfunktion $p$ einfach die Ableitung gebildet. Dadurch erniedrigt sich der Grad um eins. Das Ganze ist eine lineare Abbildung, denn:
1) Die Ableitung der Summe zweier Polynomfunktion ist die Summe der Ableitungen der Polynomfunktionen.
2) Die Ableitung eines reellen Vielfachen einer Polynomfunktion ist das Vielfache der Ableitung der Polynomfunktion.
Das sind die gewöhnlichen Ableitungsregeln, die du aus der Schule kennst.
Wie haben also eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen und sollen uns daraus eine Matrix basteln. Wie soll das gehen?
Was haben denn lineare Abbildungen mit Matrizen zu tun?
Klar, wenn ich eine $n [mm] \times [/mm] m$-Matrix $A$ habe, dann wird durch
[mm] $f_A [/mm] : [mm] \IR^m \to \IR^n$
[/mm]
[mm] $f_A(x):= A\cdot [/mm] x$,
also durch die Matrizenmultiplikation, eine lineare Abbildung vom [mm] $\IR^m$ [/mm] in den [mm] $\IR^n$ [/mm] gegeben.
Jede Matrix "ist" also eine lineare Abbildung.
Aber gilt denn auch die Umkehrung? Erhalte ich denn auch für jede lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen (und auf die beschränken wir uns jetzt mal) eine Matrix?
Wenn ja, dann müsste uns die Matrix ja eine Art Abbildungsvorschrift geben. Anhand der Matrix müsste ich sehen können, welches Element auf welches abgebildet wird. Hmmh, das gestaltet sich auf den ersten Blick schwierig, denn ein Vektorraum enthält im Allgemeinen unendlich viele Elemente. Wenn ich nun angeben wollte, welches Element auf welches abgebildet wird, hätte ich eine ziemlich umfangreiche Matrix. Ja, sie wäre unendlich groß.
Frage: Reicht es vielleicht die lineare Abbildung nur auf bestimmten Vektoren anzugeben?
Ja!
Es genügt eine lineare Abbildung auf einer Basis anzugeben. Dadurch ist die lineare Abbildung eindeutig charakterisiert!
Denn: Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler reeller Vektorraum und [mm] $B:=\{v_1,\ldots,v_n\}$ [/mm] eine Basis. Weiterhin sein $W$ eine $m$-dimensionaler reeller Vektorraum und $f: V [mm] \to [/mm] W$ eine lineare Abbildung.
Dann lässt sich jedes Element $v [mm] \in [/mm] V$ wie folgt (eindeutig!) als Linearkombination der Basiselemente [mm] $v_j$ [/mm] darstellen:
$v = [mm] a_1 v_1 [/mm] + [mm] a_2 v_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_n v_n$
[/mm]
mit eindeutig bestimmten reellen Skalaren [mm] $a_j$.
[/mm]
Auf Grund der Linearität von $f$ gilt:
$f(v) = [mm] f(a_1 v_1 [/mm] + [mm] a_2 v_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_n v_n [/mm] ) = [mm] a_1 f(v_1) [/mm] + [mm] a_2 f(v_2) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_n f(v_n)$.
[/mm]
Jetzt sieht man: Wenn man die Bilder der Basis, also die [mm] $f(v_j)$ $(j=1,\ldots,n)$ [/mm] kennt, dann kennt man die Bilder aller Vektoren $v$ aus $V$.
Es würde also rein theoretisch genügen, die [mm] $f(v_j)$ [/mm] irgendwie anzugeben.
Aber wie? Das sehen wir gleich.
Eine Tücke gibt es aber noch: Im Allgemeinen gibt es in einem reellen Vektorraum keine Basis, die besonders ausgezeichnet ist. Sprich: Wer sagt mir denn, welche Basis [mm] $B=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ [/mm] ich nun nehme, um die [mm] $f(v_j)$ [/mm] anzugeben. Es ist nicht immer so schön wie im [mm] $\IR^n$, [/mm] wo man die Standardbasis hat, die aus Vektoren besteht mit einer $1$ und sonst $0$en. Nein, im Allgemeinen gibt es eine solch "auffällig schöne" Basis leider nicht. Das heißt wir müssen uns erst auf eine Basis aus $V$ einigen. Nehmen wir mal an, wir hätten uns auf [mm] $B=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ [/mm] geeinigt. Wie geht es dann weiter?
Wir haben ja gesehen, dass es genügt die [mm] $f(v_j)$ [/mm] anzugeben. Aber wie sollen wir das tun? Die [mm] $f(v_j)$ [/mm] sind Elemente des $m$-dimensionalen reellen Vektorraumes $W$, das ist klar. Wenn wir Pech haben, dann ist $W$ aber ein recht abstrakter Vektorraum. Dann könnte es zum Beispiel sein, dass [mm] $f(v_1)$ [/mm] eine Funktion mit ganz vielen fiesen trigonometrischen Funktionen ist oder etwas ähnlich Abscheuliches. Irgendwas, was mit Geometrie zu tun hat. Brrr... so etwas will ich jedenfalls in keine Matrix reinmalen. Schön wäre es, wenn in der Matrix einfach Zahlen stünden. Ja, Zahlen mag ich, die sollen da rein. Keine Funktionen!
Nun, wir haben Glück: $W$ ist ja auch ein reeller Vektorraum, der Dimension $m$. Und, ja, in der Tat, auch er hat eine Basis. Er hat sogar verdammt viele Basen. (Ob er auch Vettern hat, weiß ich nicht.  ) Wir müssen uns also wieder eine aussuchen. Ich hätte gern....
...okay: [mm] $C=\{w_1,w_2,\ldots,w_m\}$.
[/mm]
Die Länge der Basis ist gleich $m$, weil ja $dim(W)=m$ war. Darf es ein bisschen mehr sein? Nein!
Nun ist ja für alle $j [mm] \in \{1,2,\ldots,n\}$: $f(v_j) \in [/mm] W$, denn $f$ war ja eine Abbildung von $V$ nach $W$. Wir haben in $W$ eine Basis, die haben wir uns vorher ausgesucht.
D.h. auch [mm] $f(v_j)$ [/mm] lässt sich wieder eindeutig als Linearkombination dieser Basiselemente ausdrücken. Es gibt also reelle Zahlen (ja, Zahlen! her damit!) [mm] $a_1, a_2,\ldots,a_m$ [/mm] mit
[mm] $f(v_j) [/mm] = [mm] a_1 w_1 [/mm] + [mm] a_2 w_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_m w_m$.
[/mm]
Okay, das kann ich jetzt für alle Basiselmente [mm] $v_i$ [/mm] machen, also für alle [mm] $i=1,2,\ldots,n$. [/mm] Dann muss ich die [mm] $a_j$'s [/mm] aber irgendwie unterscheiden können. Deswegen mache ich eine Doppelindizierung: Erst kommt ein $i$, das sich auf das [mm] $w_i$ [/mm] bezieht, dann ein $j$, das vom [mm] $v_j$ [/mm] kommt.
Sprich: Für alle $j [mm] \in \{1,2,\ldots,n\}$ [/mm] gibt es reelle Zahlen [mm] $a_{1j}, a_{2j}, \ldots, a_{mj}$ [/mm] mit
[mm] $f(v_j) [/mm] = [mm] a_{1j} w_1 [/mm] + [mm] a_{2j}w_2 [/mm] + [mm] \ldots a_{mj}w_m$.
[/mm]
Man nennte die [mm] $a_{ij}$ [/mm] die Koordinaten des Bildes [mm] $f(v_j)$ [/mm] des $j$-ten Basisvektors [mm] $f(v_j)$ [/mm] bezüglich des Basis [mm] $C=\{w_1,w_2,\ldots,w_m\}$. [/mm] (Eigentlich sind hier übrigens die Mengenklammern falsch, da es keine Menge, sondern eine geordnete Familie ist. Das wird aber häufig vernachlässigt.)
Jetzt bin ich glücklich. Jetzt genügt es nämlich diese Zahlen [mm] $a_{ij}$ [/mm] alle anzugeben. Da ich ja die [mm] $w_i$ $(i=1,\ldots,m)$ [/mm] alle kenne, weiß ich dann ganz genau, wie die [mm] $v_j$ [/mm] alle abgebildet werden. Da [mm] $B=\{v_1,\ldots,v_n\}$ [/mm] eine Basis von $V$ bildet, weiß ich dann, wie alle Elemente aus $V$ abgebildet werden.
Jetzt muss ich die [mm] $a_{ij}$ [/mm] nur noch schön übersichtlich aufschreiben. Wie mache ich das? In der Matrixform natürlich! Das $i$ ist mein Zeileneintrag, das $j$ mein Spalteneintrag. Sprich:
Gilt:
[mm] $f(v_j) [/mm] = [mm] a_{1j} w_1 [/mm] + [mm] a_{2j}w_2 [/mm] + [mm] \ldots a_{mj}w_m$,
[/mm]
dann ist
[mm] $a_i:= \begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{pmatrix}$
[/mm]
die $i$-te Spalte von
[mm] $M_{C}^B(f)$, [/mm]
wobei: [mm] $C=\{w_1,\ldots, w_m\}$ [/mm] eine fest gewählte Basis von $W$, [mm] $B=\{v_1,\ldots,v_n\}$ [/mm] eine fest gewählte Basis von $V$ und [mm] $f:V\to [/mm] W$ eine lineare Abbildung ist.
In der $j$-ten Spalte stehen also die Koordinaten des Bildes [mm] $f(v_j)$ [/mm] des $j$-ten Basisvektors [mm] $v_j$ [/mm] bezüglich der Basis [mm] $C=\{w_1,\ldots, w_m\}$ [/mm] von $W$.
Nochmal zu deiner Aufgabe:
Wir müssen also die lineare Abbildung
[mm] $D_n [/mm] : [mm] V_n \to V_{n-1}$
[/mm]
[mm] $D_n(p) [/mm] = [mm] \frac{\partial}{\partial x}p$
[/mm]
Nur auf der Basis [mm] $B_n=\{p_0,p_1,\ldots,p_n\}$
[/mm]
berechnen, und dann die Koordinaten von [mm] $D_n(p_m)$ $(m=0,1,\ldots,n)$ [/mm] bezüglich der Basis [mm] $\{p_0,p_1,\ldots,p_{n-1}\}$ [/mm] von [mm] $V_{n-1}$ [/mm] bestimmen.
Nun gilt aber:
[mm] $[D_n(p_0)](x) [/mm] = [mm] \frac{\partial}{\partial x} x^0 [/mm] = 0 = 0 [mm] \cdot [/mm] 1 + 0 [mm] \cdot [/mm] x + 0 [mm] \cdot x^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] 0 [mm] \cdot x^{n-1}$,
[/mm]
also:
[mm] $D_n(p_0) [/mm] = 0 [mm] \cdot p_0 [/mm] + 0 [mm] \cdot p_1 [/mm] + 0 [mm] \cdot p_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] 0 [mm] \cdot p_{n-1}$.
[/mm]
Die erste Spalte von [mm] $M_{B_{n-1}}^{B_n}(D_n)$ [/mm] besteht also schon einmal aus lauter Nullen.
Wie wird das zweite Basiselement abgebildet?
[mm] $[D_n(p_1)](x) [/mm] = [mm] \frac{\partial}{\partial x} x^1 [/mm] = 1 = 1 [mm] \cdot [/mm] 1 + 0 [mm] \cdot [/mm] x + 0 [mm] \cdot x^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] 0 [mm] \cdot x^{n-1}$, [/mm]
also:
[mm] $D_n(p_1) [/mm] = 1 [mm] \cdot p_0 [/mm] + 0 [mm] \cdot p_1 [/mm] + 0 [mm] \cdot p_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] 0 [mm] \cdot p_{n-1}$.
[/mm]
Die zweite Spalte sieht also so aus:
[mm] $a_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Versuchst du die Matrix jetzt mal komplett aufzustellen?
Hast du alles verstanden? Wenn nicht, dann frage bitte nach.
Ich hoffe ich konnte dir ein wenig helfen. 
Liebe Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 So 13.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo Julius...
ich bin sprachlos... also bessere Bedingungen um diese
Aufgabe zu verstehen könnte ich ja nicht haben eigentlich
Hättest du mir direkt die Lösung gegeben, jetzt mal ganz ehrlich
unter uns, hätte ich bestimmt schon gestern mit verstehen aufgehört und
das abgeschrieben..
Deswegen finde ich es cool, dass du das anhand eines anderen Beispiels
erklärt hast... Denn nachdem ich deine Antwort zischmal vorgelesen und zweimal
per Hand abgeschrieben (bei mir dauerts eben länger) habe ich es
glaube ich angefangen zu verstehen.
Ich bin jetzt dabei dein Bespiel auf meine Aufgabe zu übertragen.
Ich werde es dann auch posten.
Vielen Dank !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
nevinpol
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 So 13.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Also ich habe dann für die weiteren Spalten folgende Ergebnisse:
Das dritte Basiselement :
[mm] $[D_n(p_2)](x) [/mm] = [mm] \frac{\partial}{\partial x} x^2 [/mm] = 1 = 2x [mm] \cdot [/mm] 1 + 0 [mm] \cdot [/mm] x + 0 [mm] \cdot x^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] 0 [mm] \cdot x^{n-1}$, [/mm]
also:
[mm] $D_n(p_2) [/mm] = 2x [mm] \cdot p_0 [/mm] + 0 [mm] \cdot p_1 [/mm] + 0 [mm] \cdot p_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] 0 [mm] \cdot p_{n-1}$. [/mm]
Die dritte Spalte sieht also so aus:
[mm] $a_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2x \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Ich habe mir das so gedacht:
[mm] $[D_n(p_2)](x) [/mm] = [mm] \frac{\partial}{\partial x} x^2 [/mm] $
Ableitung von [mm] $p_2 [/mm] = $ Ableitung von [mm] $x_2 [/mm] = 2x $
????
Vielen Dank...
Grüsse
nevinpol
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo nevinpol
> Also ich habe dann für die weiteren Spalten folgende
> Ergebnisse:
>
> Das dritte Basiselement :
>
> [mm] $[D_n(p_2)](x) [/mm] = [mm] \frac{\partial}{\partial x} x^2 [/mm] = 1 = 2x
> [mm] \cdot [/mm] 1 + 0 [mm] \cdot [/mm] x + 0 [mm] \cdot x^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] 0 [mm] \cdot [/mm]
> [mm] x^{n-1}$, [/mm]
>
?? Was ist das denn das für eine $1$ zwischen den beiden Gleichheitszeichen?
> also:
>
> [mm] $D_n(p_2) [/mm] = 2x [mm] \cdot p_0 [/mm] + 0 [mm] \cdot p_1 [/mm] + 0 [mm] \cdot p_2 [/mm] +
> [mm] \ldots [/mm] 0 [mm] \cdot p_{n-1}$. [/mm]
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Suche dir bitte einen Ort, wo du dich so richtig wohlfühlst und keinesfass gestört werden kannst. Absolutes Radioverbot, auch Handys sind verpönt! Falls du männlich bist: keine Frauen! Dazu kochst du dir einen guten Schwarztee und nimmst dir mindesten eine Stunde Zeit. In dieser Atmosphäre allergröster Geborgenheit, Ruhe und innerer Ausgeglichenheit führst du dir bitte Julius' ausführlichen Erläuterungen nochmals zu Gemüte. Beachte dabei besonders, dass nur Zahlen als Matrix-Einträge in Frage kommen!
Wenn du es schaffst, alles zu durchdenken, ohne dass dabei ein Gefühl wie "WOW" oder ähnliches aufkommt, dann bist du dem Ziel doch schon viel näher gekommen. (WOW ist ein Ausdruck des Erstaunens, und wenn man in der Mathematik staunt, dann hat man, glaube ich, noch nicht so richtig alles kapiert.)
Schau mal, du hast als 1. Summanden $2x$ geschrieben. Nun ist aber doch $x$ (als Polynom) als Basisvektor vorgegeben, und zwar als [mm] $p_1$.
[/mm]
Somit ist doch eher folgende Schlussfolgerung angebracht:
[mm] $[D_n(p_2)](x) [/mm] = [mm] \frac{\partial}{\partial x} x^2 [/mm] = 2x$
Mit [mm] $x=p_1$ [/mm] folgt doch:
[mm] $2x=0*p_{0}+2*p_{1}+0*p_{2}+0*p_{3}+...0*p_{n-1}$
[/mm]
> Die dritte Spalte sieht also so aus:
>
> [mm] $a_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2x \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
> \end{pmatrix}$.
[/mm]
>
Wie gesagt: Nur Zahlen!! Also eher in der Art:
[mm] $a_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
(Wenn man die erste Spalte mit [mm] $a_0$ [/mm] bezeichnet, die zweite mit [mm] $a_1$ [/mm] etc.)
> Ich habe mir das so gedacht:
>
> [mm] $[D_n(p_2)](x) [/mm] = [mm] \frac{\partial}{\partial x} x^2 [/mm] $
>
> Ableitung von [mm] $p_2 [/mm] = $ Ableitung von [mm] $x_2 [/mm] = 2x $
>
> ????
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, das hast du dir richtig gedacht, nur die Umsetzung ist eben noch nicht wirklich geglückt!
Viel Glück beim weiteren Lösungsweg!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Fr 11.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo...
also ehrlich gesagt geht es mir mehr darum, dass ich überhaupt
verstehe was da gemacht wird. Aber ich denke, dafür muss ich mich
etwas länger damit beschäftigen. Deswegen stelle ich in diesen
Fragenbaum nur noch kleine allgemeine Fragen rein und versuche
dann damit mir etwas daraus zu basteln, denn ich habe die Hilfestellungen
auch nicht ganz verstanden... Bin nur am raten und nicht verstehen..
Okay also ich denke zunächste müsste ich mir mal klar machen, was mit
[mm] $V_n:= span(B_n)$ [/mm] gemeint ist.
Also [mm] $V_n$ [/mm] ist dann doch die Menge die alle Basen enthält???
Und wenn das so wäre wie wirkt sich diese [mm] $V_n \rightarrow V_{n-1}$
[/mm]
auf die [mm] $B_n$ [/mm] aus?
etwa so dass es dann heisst: Aus [mm] $B_n$ [/mm] folgt [mm] $B_{n-1}$
[/mm]
und das wirkt sich dann auf
[mm] $B_n:=(p_0,p_1,...,p_n) \rightarrow B_{n-1}:=(p_0,p_1,...,p_{n-1})$ [/mm] ??
Vielleicht kann mir jemand auch allgemein was zu
Basen und dieses span sagen?
Vielen Dank, ich weiss es sind echt viele Fragen
Grüsse
nevinpol
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Fr 11.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Tut mir leid, ich dachte du wärest mit deinem Verständnis schon wesentlich weiter. Jetzt muss ich leider feststellen, dass du es überhaupt nicht verstanden hast. Das macht aber nichts, dafür sind wir ja da diese Schwächen zu beseitigen.
Also, [mm] $B_n$ [/mm] ist eine Menge von Funktionen in [mm] $Abb(\IR,\IR)$, [/mm] und zwar
[mm] $B_n=\{p_0,p_1,\ldots,p_n\}$,
[/mm]
wobei
[mm] $p_m(x) [/mm] = [mm] x^m$.
[/mm]
Verstehst du das?
Nun ist
[mm] $V_n [/mm] = [mm] Span(B_n)$,
[/mm]
also die Menge aller Abbildungen von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$, [/mm] die sich als Linearkombination der Elemente von [mm] $B_n$ [/mm] schreiben lassen (das sind gerade, überlege dir das bitte, alle Polynomfunktionen mit einem Grad, der maximal gleich $n$ ist).
Nach Definition ist demnach [mm] $B_n$ [/mm] ein Erzeugendensystem von [mm] $V_n$ [/mm] (so ist [mm] $V_n$ [/mm] "gerade gemacht").
Da die Elemente aus [mm] $B_n$ [/mm] linear unabhängig sind, ist also [mm] $B_n$ [/mm] eine Basis von [mm] $V_n$.
[/mm]
Erst einmal bis dahin:
Ist das jetzt hundertprozentig klar? Sonst frage bitte nach.
Ohne dieses Verständnis wirst du auch mit dem Rest Schwierigkeiten haben.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Fr 11.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo Julius,
>Hallo!
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>Tut mir leid, ich dachte du wärest mit deinem Verständnis
>schon wesentlich weiter. Jetzt muss ich leider feststellen,
>dass du es überhaupt nicht verstanden hast. Das macht aber
>nichts, dafür sind wir ja da diese Schwächen zu beseitigen.
Danke ! Freut mich sehr und macht mir Hoffnung LA doch noch
zu begreifen und nicht nur bei Übungsaufgaben zu Punkten !
Denn irgendwann muss ich es ja drauf haben !
>Also, [mm] $B_n$ [/mm] ist eine Menge von Funktionen in [mm] $Abb(\IR,\IR)$, [/mm] und zwar
[mm] >$B_n=\{p_0,p_1,\ldots,p_n\}$, [/mm]
>wobei
[mm] >$p_m(x) [/mm] = [mm] x^m$. [/mm]
>Verstehst du das?
Okay das habe ich verstanden.
Also könnte ich dann nach den obigen
Definitionen auch folgendes hinschreiben?
[mm] $B_n=\{x^0,x^1,\ldots,x^n\}$
[/mm]
oder wäre das falsch, weil es dann keine Funktionen bzw.
Abbildungen mehr sind?
>Nun ist
[mm] >$V_n [/mm] = [mm] Span(B_n)$, [/mm]
>also die Menge aller Abbildungen von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$, [/mm]
>die sich als Linearkombination der Elemente von [mm] $B_n$ [/mm]
>schreiben lassen (das sind gerade, überlege dir das bitte,
>alle Polynomfunktionen mit einem Grad, der maximal gleich $n$ ist).
Also könnte ich hier folgendes annehmen?
[mm] $V_n [/mm] = [mm] Span(B_n) [/mm] = [mm] Span({p_0,p_1,\ldots,p_n\})$ [/mm]
Könntest mir hier vielleicht ein Beispiel für einen oder zwei dieser
Abbildungen von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] schreiben, die sich als LK der Elemente
[mm] $B_n$ [/mm] schreiben lassen ...
Also ich dachte jetzt an eine solche LK, aber ich weiss nicht ob du das
damit meinst:
[mm] $x_0 \cdot p_o [/mm] + [mm] x_1 \cdot p_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \x_n \cdot p_n [/mm] = 0$
Also ich frag mal erstmal bis hierhin, weil das weitere hängt ja wieder von
den obigen ab...
Vielen Dank für deine Mühe und Zeit
Grüsse
nevinpol
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Fr 11.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Nevin!
> Hallo Julius,
>
> >Hallo!
> >
> >Tut mir leid, ich dachte du wärest mit deinem Verständnis
>
> >schon wesentlich weiter. Jetzt muss ich leider
> feststellen,
> >dass du es überhaupt nicht verstanden hast. Das macht aber
>
> >nichts, dafür sind wir ja da diese Schwächen zu
> beseitigen.
>
> Danke ! Freut mich sehr und macht mir Hoffnung LA doch noch
>
> zu begreifen und nicht nur bei Übungsaufgaben zu Punkten
> !
Es freut mich, dass du meinen Kommentar nicht negativ aufgefasst hast. Er war nämlich so gemeint, wie du ihn jetzt zum Glück auch verstanden hast.
> Denn irgendwann muss ich es ja drauf haben !
Deine Einstellung gefällt mir!
> >Also, [mm] $B_n$ [/mm] ist eine Menge von Funktionen in
> [mm] $Abb(\IR,\IR)$, [/mm] und zwar
> [mm] >$B_n=\{p_0,p_1,\ldots,p_n\}$, [/mm]
> >wobei
> [mm] >$p_m(x) [/mm] = [mm] x^m$. [/mm]
> >Verstehst du das?
>
> Okay das habe ich verstanden.
> Also könnte ich dann nach den obigen
> Definitionen auch folgendes hinschreiben?
>
>
> [mm] $B_n=\{x^0,x^1,\ldots,x^n\}$
[/mm]
> oder wäre das falsch, weil es dann keine Funktionen bzw.
> Abbildungen mehr sind?
Strenggenommen ja, dürfte man das nicht so schreiben. Wenn man aber unterstellt, dass der Leser unter [mm] $x^m$ [/mm] die Funktion $x [mm] \mapsto x^m$ [/mm] versteht, dann könnte man es doch wiederum so schreiben. Besser und eindeutiger ist auf jeden Fall die obere Variante!
> >Nun ist
> [mm] >$V_n [/mm] = [mm] Span(B_n)$, [/mm]
> >also die Menge aller Abbildungen von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$, [/mm]
>
> >die sich als Linearkombination der Elemente von [mm] $B_n$ [/mm]
>
> >schreiben lassen (das sind gerade, überlege dir das bitte,
>
> >alle Polynomfunktionen mit einem Grad, der maximal gleich
> $n$ ist).
>
> Also könnte ich hier folgendes annehmen?
>
> [mm] $V_n [/mm] = [mm] Span(B_n) [/mm] = [mm] Span({p_0,p_1,\ldots,p_n\})$ [/mm]
> Könntest mir hier vielleicht ein Beispiel für einen oder
> zwei dieser
> Abbildungen von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] schreiben, die sich als
> LK der Elemente
> [mm] $B_n$ [/mm] schreiben lassen ...
Wie gesagt, jede Polynomfunktion, die einen Grad hat, der höchstens gleich $n$ ist.
Sei etwa $n=4$.
Dann sind $p$, $q$, $r$ mit
[mm] $p(x)=45x^3 [/mm] - 78x + 3$,
$q(x)= [mm] \pi x^4 [/mm] - 4711$,
$r(x) = [mm] ex^2 [/mm] + 9.99999x - 45$
solche Linearkombinationen.
Ist allgemein [mm] $V_n [/mm] = [mm] Span(B_n) [/mm] = [mm] Span({p_0,p_1,\ldots,p_n\})$, [/mm] dann folgt:
$p [mm] \in V_n$
[/mm]
mit
$p(x) = [mm] a_0 [/mm] + a_1x + [mm] a_2x^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_nx^n$,
[/mm]
wobei die [mm] $a_i$'s [/mm] reelle Zahlen sind.
> Also ich dachte jetzt an eine solche LK, aber ich weiss
> nicht ob du das
> damit meinst:
>
> [mm] $x_0 \cdot p_o [/mm] + [mm] x_1 \cdot p_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \x_n \cdot p_n [/mm] = 0$
Ja, aber warum dieses "=0" am Ende?
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.
Ich muss jetzt Schluss machen, aber es hilft dir sicherlich jemand anders weiter.
Liebe Grüße
Julius
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