Arithmetisches Mittel, Median < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Welche der beiden mittleren absoluten Abweichungen ist stets die kleinere (sofern nicht beide gleich groß sind) |
Mittlere absolute Abweichung vom Mittelwert: [mm] \overline{d} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} |x_{i} [/mm] - [mm] \overline{x}| [/mm]
Mittlere absolute Abweichung vom Median: d ̃ = [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} |x_{i} [/mm] - x ̃ |
Ich habe hier Schwierigkeiten, d bzw. x mit Schlange drauf anzugeben, die Schlange ist leider erst hinter dem d bzw. x.
Ein Student schrieb als Antwort: Median minimiert Summe der Abstände.
Meine Frage: ist diese Antwort richtig?
Ich vermute, er schließt das aus dem Satz, den ich sehr verkürzt angebe:
Satz über Minimumseigenschaften von Median und arithmetischem Mittel
(a) ... x ̃ = Median
[mm] \summe_{i=1}^{n} |x_{i} [/mm] - x ̃ | [mm] \le \summe_{i=1}^{n} |x_{i} [/mm] - c|
(b) ... [mm] \overline{x} [/mm] = arithmetisches Mittel
[mm] \summe_{i=1}^{n} (x_{i} -\overline{x})^{2} \le \summe_{i=1}^{n} (x_{i} -c)^{2}
[/mm]
Ich kann aber nicht erkennen, wie man das aus diesem Satz schließen kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Di 08.07.2025 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mathemurmel,
ob man dies aus den Gleichungen, die Du angegeben hast, herleiten kann, da bin ich mir eben nicht darüber im klaren, zumal man dann garantiert eine Annahme über die Verteilung der zugrunde liegenden Messdaten machen muss.
Von der Logik her leuchtet jedoch die Sache sein. Existieren im Datensatz große "Ausreißer", was die Werte anbelangt, so fließen diese dadurch verursachten großen Differenzen ja voll in die Miittelwertbestimmung ein und können zu einem Mittelwert führen, der einfach nicht mehr aussagekräftig ist in Bezug auf die Gesamtverteilung der Daten.
Bei der Medianbestimmung liegen ja gleichviele Werte oberhalb wie unterhalb dieses Medianwertes und damit ist die Summe über die einzelnen Abweichungen der Datenwerte zum Medianwert im Normalfall geringer als bei der Nutzung des Mittelwertes.
P.S.: Tobiasens Beispiel zeigt, dass meine ursprüngliche Aussage zur Relation zwischen Median unde Mittelwert nicht allgemein stimmt. Was man wohl sagen kann, ist, dass der median unempfindlicher gegenüber Ausreissern ist.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 03:37 Do 10.07.2025 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Infinit,
vielleicht meinst du etwas anderes, als du schreibst, aber
> Maximal kann der Medianwert genauso groß
> werden wie das arithmetische Mittel.
stimmt natürlich nicht.
Gegenbeispiel:
$n=3, [mm] x_1=0, x_2=x_3=1$.
[/mm]
Median ist dann 1, arithmetisches Mittel [mm] $\frac{2}{3}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:30 Do 10.07.2025 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Mathemurmel,
> Ich kann aber nicht erkennen, wie man das aus diesem Satz
> schließen kann.
Die gewünschte Abschätzung ergibt sich unmittelbar aus (a) angewandt auf [mm] $c:=\overline{x}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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