Berechnungen am Tetraeder < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | regelmäßiger Tetraeder mit der Kantenlänge a,
eine Kante liege auf der x-Achse und die Grundfläche in der x-y-Ebene.
1) für alle Seitenflächen sind die Ebenengleichungen aufzustellen |
| Aufgabe 2 | 2) mit den Mitteln der Vektorrechnung beweisen das,
a) der Winkel zwischen 2 benachbarten Seitenflächen ~70,5° beträgt
b) der Winkel zwischen einer Kante und der gegenüberliegenden Seitenfläche ~54,7°beträgt
c) die Winkel zwischen 2 vom Tetraedermittelpunkt zu jeweils 2 Ecken abgehenden Geraden ~109,5° beträgt |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=436696]
für die Seiten, Kanten=Vktrn. habe ich den Betrag 1 gewählt.
(Ist es notwendig einen Betrag zu wählen oder kann man die Aufgabe auch allgemein ohne Zahlenwerte lösen?)
A ist (0,0,0), B (1,0,0) und Punkt C (1/2,wurzel{3},0)
Punkt A und B habe ich wie gefordert auf die x-Achse gelegt und mithilfe der Höhe des gleichseitigen Dreiecks C ermittelt
Nun könnte ich die Ebenengleichung der Grundfläche aufstellen oder ?
Wie ich zu den anderen Gleichungen komme weiß ich leider nicht weshalb ich um Tipps zur Lösung dieser Aufgaben bitte.
Ich hoffe ich habe bei meinem ersten Post alles richtig gemacht aber sollte ich doch einen Fehler gemacht haben würde ich mich freuen wenn man mich freundlich auf diesen aufmerksam macht.
MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:35 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Pappus |
> regelmäßiger Tetraeder mit der Kantenlänge a,
> eine Kante liege auf der x-Achse und die Grundfläche in
> der x-y-Ebene.
>
> 1) für alle Seitenflächen sind die Ebenengleichungen
> aufzustellen
> 2) mit den Mitteln der Vektorrechnung beweisen das,
>
> a) der Winkel zwischen 2 benachbarten Seitenflächen
> ~70,5° beträgt
> b) der Winkel zwischen einer Kante und der
> gegenüberliegenden Seitenfläche ~54,7°beträgt
> c) die Winkel zwischen 2 vom Tetraedermittelpunkt zu
> jeweils 2 Ecken abgehenden Geraden ~109,5° beträgt
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> [http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=436696]
>
>
> für die Seiten, Kanten=Vktrn. habe ich den Betrag 1
> gewählt.
> (Ist es notwendig einen Betrag zu wählen oder kann man
> die Aufgabe auch allgemein ohne Zahlenwerte lösen?)
Ja. Dann hätte Deine Punkt B die Koordinaten B(a,0,0), etc.
>
> A ist (0,0,0), B (1,0,0) und Punkt C (1/2,wurzel{3},0) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Punkt A und B habe ich wie gefordert auf die x-Achse
> gelegt und mithilfe der Höhe des gleichseitigen Dreiecks C
> ermittelt
> Nun könnte ich die Ebenengleichung der Grundfläche
> aufstellen oder ?
Na ja, die Gleichung der x-y-Ebene sollte Dir eigentlich geläufig sein.
> Wie ich zu den anderen Gleichungen komme weiß ich leider
> nicht weshalb ich um Tipps zur Lösung dieser Aufgaben
> bitte.
>
...
>
In der angehängten Skizze bezeichnet die Strecke k eine Seitenhalbierende des gleichseitigen Dreiecks.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Position der "Spitze" D des Tetraeders wird aus den eingezeichneten Strecken deutlich.
a, h und [mm] $\frac23 [/mm] k$ sind die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.
Salve
Pappus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Mi 01.12.2010 | | Autor: | EmkaUltra |
Ersteinmal danke für die anschauliche Skizze.
Ich habe jetzt den Mittelpunkt der Grundfläche rechnerisch mit H [mm] (\bruch{1}{2},\bruch{\wurzel{3}}{6}, [/mm] 0) ermittelt und komme nun leider nicht bei der Berechnung von h weiter.
bisher bin ich bei [mm] h=\wurzel{(\bruch{2}{3}*\bruch{\wurzel{3}}{2})^{2}+1^{2}}und [/mm] weiß nicht wie ich die klammer unter der wurzel so vereinfachen kann damit ich ein "schönes" Ergebnis bekomme.
mfG Emka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:13 Do 02.12.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Tag!
> Ersteinmal danke für die anschauliche Skizze.
> Ich habe jetzt den Mittelpunkt der Grundfläche
> rechnerisch mit H [mm](\bruch{1}{2},\bruch{\wurzel{3}}{6},[/mm] 0)
> ermittelt
und komme nun leider nicht bei der Berechnung von
> h weiter.
>
> bisher bin ich bei
> [mm]h=\wurzel{(\bruch{2}{3}*\bruch{\wurzel{3}}{2})^{2}+1^{2}}und[/mm]
> weiß nicht wie ich die klammer unter der wurzel so
> vereinfachen kann damit ich ein "schönes" Ergebnis
> bekomme.
>
> mfG Emka
1. Der rechte Winkel in dem Dreieck aus a, h und [mm] $\frac23 [/mm] k$ befindet sich gegenüber der Kante a (und die hat bei Dir die Länge 1). Deine Gleichung müsste also lauten:
[mm]h=\wurzel{1^2 - \left(\bruch{2}{3}*\bruch{\wurzel{3}}{2}\right)^{2}}[/mm]
2. Vor dem Weiterrechnen erst einmal die beiden Brüche unter der Wurzel zusammenfassen und dann erst quadrieren. Das Ergebnis ist von überwältigender Schlichtheit.
Salve
Pappus
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