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Dipl. math. Felix Fontein Dipl. math. Dieter Osterholz	www.matheraum.de Algebra-Training 2006 Aufgabenblatt 1 Abgabe: Fr 08.09.2006 12:00	01.09.2006
Aufgabe 1
Sei G ein Monoid. Wir betrachten die folgenden Bedingungen: (i) G ist eine Gruppe. (ii) Sind $a, x, y \in G$ mit a x = a y oder x a = y a, dann gilt x = y. Die Implikation '' $(i) \Rightarrow (ii)$ '' gilt immer. Zeige, dass die andere Implikation '' $(ii) \Rightarrow (i)$ '' für endliche Monoide auch immer gilt. Gib weiterhin ein Beispiel für einen unendlichen Monoid an, wo sie nicht gilt.
Aufgabe 2
Sei X eine Menge und $Y \subseteq X$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Gruppe S(Y) auf kanonische Weise als Untergruppe von S(X) aufgefasst werden kann. Hinweis: Bei dieser Aufgabe geht es auch daraum, ueber das Wort 'kanonisch' nachzudenken Falls euch das Wort nicht vertraut ist, schaut mal hier.
Aufgabe 3
Sei G eine endliche abelsche Gruppe (multiplikativ geschrieben). Dann gilt $\prod_{g\in G} g^2 = 1$ .
Aufgabe 4
Sei G eine Gruppe mit der Eigenschaft, dass für jedes Element $g \in G$ gilt (dabei sei 1 das neutrale Element der Gruppe). Zeige, dass G abelsch ist.
Aufgabe 5
Sei G eine Gruppe und seien $H_i \subseteq G$ , i = 1, 2 Untergruppen. Zeige, dass folgende beiden Aussagen äquivalent sind: (i) $H_1 \cup H_2$ ist eine Untergruppe von G; (ii) $H_1 \subseteq H_2$ oder $H_2 \subseteq H_1$ .