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Lineare Algebra I/II, Vorkurs,	www.matheraum.de Lineare Algebra Aufgabenblatt 3 Abgabe: Mo 20.02.2012 10:00	13.02.2012
Die Übungsaufgaben beziehen sich auf das Buch "Lineare Algebra" von Gerd Fischer bzw. auf das Inhaltsverzeichnis, das in der Kursbeschreibung zu finden ist. Die Übungsaufgaben (i.d.R. zu immer einem neuen Kapitel im Buch) können bequem in einer Woche gelöst werden.
Für diese Serie sollten Sie mit folgenden Begriffen vertraut sein: Komplexe Zahlen, Körper, Unterkörper, Charakteristik eines Körpers, Primkörper, Polynom mit Koeffizienten in einem Körper K, Nullpolynom, Grad, Polynomring, Nullstelle, Fundamentalsatz der Algebra, Vorzeichenregel von Descartes.
Aufgabe 1
III-1: Sei K ein Körper mit Nullelement 0 und Einselement 1. U sei eine nichtleere Teilmenge. Beweisen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen: (i) U bildet mit der auf K definierten Addition und Multiplikation einen Unterkörper von K. (ii) Es sind folgende Bedingungen erfüllt: (a) U enthält mindestens 2 Elemente. (b) Für alle $u_{1},u_{2}\in$ U gilt: $u_{1}-u_{2} \in$ U (c) Für alle $u_{1}\in$ U , $u_{2}\in U\setminus \{0\}$ gilt: $u_{1}u_{2}^{-1} \in$ U
Aufgabe 2
III-2: Bezeichne p:=Char(K), p $\in \IN$ die Charakteristik eines Körpers K. (i) Begründen Sie, dass p eine Primzahl ist oder Null. (ii) Sei nun p eine Primzahl und Char(K)=p. Begründen Sie, dass K mindestens p verschiedene Elemente besitzt. (iii) Geben Sie je ein Beispiel für einen Körper mit Charakteristik 0, 2, 3 an!
Aufgabe 3
III-3: Sei K' ein Körper und K ein Unterkörper von K'. Zeigen Sie: Sind f,g $\in$ K[t], q $\in$ K'[t] mit f=q*g, so folgt bereits: $q\in$ K[t].
Aufgabe 4
III-4: Zeigen Sie: Die Menge aller komplexen Zahlen $\alpha$ + $i\beta$ mit $\alpha, \beta \in \IQ$ (!) bildet einen Körper!