Die ältere der beiden Versionen (Version 16)
vom Do 04.11.2004, 17:55 | Die neuere der beiden Versionen (Version 17)
vom Do 04.11.2004, 17:58
Änderungen von: Marcel |
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| !!Satz ''Bernoulli-Ungleichung'' | !!Satz ''Bernoulli-Ungleichung'' |
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| Voraussetzungen und Behauptung | Voraussetzungen und Behauptung |
| Seien [mm]K[/mm] ein ((Körper|geordneter Körper)) und [mm]x \in K[/mm], [mm]x\ge-1_K[/mm] sowie [mm]n \in \IN[/mm]. | Seien [mm](K,+,*,<)[/mm] ein ((Körper|geordneter Körper)) und [mm]x \in K[/mm], [mm]x\ge-1_K[/mm] sowie [mm]n \in \IN[/mm]. |
| Dann gilt (mit [mm]1=1_K[/mm]): | Dann gilt (mit [mm]1=1_K[/mm]): |
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| [mm](1+x)^n \ge 1+n*x[/mm]. | [mm](1+x)^n \ge 1+n*x[/mm]. |
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| !!!Bemerkungen. | !!!Bemerkungen. |
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| !!!Beispiele. | !!!Beispiele. |
| Wir wählen jeweils ein [mm]n \in \IN[/mm]. Da [mm](\IR,+,*,<)[/mm] ein ((Körper|geordneter Körper)) ist, können wir obige Ungleichung dann für ein paar [mm]x[/mm]-Werte aus [mm]\IR[/mm] ''testen''. | Wir wählen jeweils ein [mm]n \in \IN[/mm]. Da [mm](\IR,+,*,<)[/mm] ein ((Körper|geordneter Körper)) ist, können wir obige Ungleichung dann für ein paar [mm]x[/mm]-Werte aus [mm]\IR[/mm] ''testen''. |
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| __1.)__ [mm]x:=2\ge-1[/mm] und [mm]n:=3 \in \IN[/mm] erfüllen die Voraussetzungen und liefern beim Einsetzen in die obige Ungkleichung: | __1.)__ [mm]x:=2\ge-1[/mm] und [mm]n:=3 \in \IN[/mm] erfüllen die Voraussetzungen und liefern beim Einsetzen in die obige Ungkleichung: |
| [mm](1+2)^3 \ge 1+3*2[/mm] | [mm](1+2)^3 \ge 1+3*2[/mm] |
| [mm]\gdw[/mm] | [mm]\gdw[/mm] |
| [mm]3^3=27 \ge 7[/mm] | [mm]3^3=27 \ge 7[/mm] |
| Da die letzte Ungleichung wahr ist, ist also auch die obere wahr. | Da die letzte Ungleichung wahr ist, ist also auch die obere wahr. |
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| __2.)__ [mm]x:=-0,5 \ge-1[/mm] und [mm]n:=2\in \IN[/mm] erfüllen die Voraussetzungen und liefern beim Einsetzen in die obige Ungkleichung: | __2.)__ [mm]x:=-0,5 \ge-1[/mm] und [mm]n:=2\in \IN[/mm] erfüllen die Voraussetzungen und liefern beim Einsetzen in die obige Ungkleichung: |
| [mm](1+(-0,5))^2 \ge 1+2*(-0,5)[/mm] | [mm](1+(-0,5))^2 \ge 1+2*(-0,5)[/mm] |
| [mm]\gdw[/mm] | [mm]\gdw[/mm] |
| [mm]0,5^2=0,25 \ge 0[/mm] | [mm]0,5^2=0,25 \ge 0[/mm] |
| Da die letzte Ungleichung wahr ist, ist also auch die obere wahr. | Da die letzte Ungleichung wahr ist, ist also auch die obere wahr. |
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| __3.)__ [mm]x:=0\ge-1[/mm] und [mm]n:=10 \in \IN[/mm] erfüllen die Voraussetzungen und liefern beim Einsetzen in die obige Ungkleichung: | __3.)__ [mm]x:=0\ge-1[/mm] und [mm]n:=10 \in \IN[/mm] erfüllen die Voraussetzungen und liefern beim Einsetzen in die obige Ungkleichung: |
| [mm](1+0)^{10} \ge 1+10*0[/mm] | [mm](1+0)^{10} \ge 1+10*0[/mm] |
| [mm]\gdw[/mm] | [mm]\gdw[/mm] |
| [mm]1^{10}=1 \ge 1[/mm]. | [mm]1^{10}=1 \ge 1[/mm]. |
| Da die letzte Ungleichung wahr ist, ist also auch die obere wahr. | Da die letzte Ungleichung wahr ist, ist also auch die obere wahr. |
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| __4.)__ [mm]x:=\left(\sqrt{7}-1\right) \ge-1[/mm] und [mm]n:=4 \in \IN[/mm] erfüllen die Voraussetzungen und liefern beim Einsetzen in die obige Ungkleichung: | __4.)__ [mm]x:=\left(\sqrt{7}-1\right) \ge-1[/mm] und [mm]n:=4 \in \IN[/mm] erfüllen die Voraussetzungen und liefern beim Einsetzen in die obige Ungkleichung: |
| [mm]\left(1+\left(\sqrt{7}-1\right)\right)^4 \ge 1+4*\left(\sqrt{7}-1\right)[/mm] | [mm]\left(1+\left(\sqrt{7}-1\right)\right)^4 \ge 1+4*\left(\sqrt{7}-1\right)[/mm] |
| [mm]\gdw[/mm] | [mm]\gdw[/mm] |
| [mm]\left(\sqrt{7}\right)^4=49 \ge -3+4*\sqrt{7}[/mm]. | [mm]\left(\sqrt{7}\right)^4=49 \ge -3+4*\sqrt{7}[/mm]. |
| Auch hier ist die letzte Ungleichung wahr (und damit auch die obere), denn: | Auch hier ist die letzte Ungleichung wahr (und damit auch die obere), denn: |
| Es gilt: [mm]\sqrt{7}\le\sqrt{9}=3[/mm] und daher folgt: | Es gilt: [mm]\sqrt{7}\le\sqrt{9}=3[/mm] und daher folgt: |
| [mm]-3+4*\sqrt{7}<4*\sqrt{7}\le4*\sqrt{9}=4*3=12\le49[/mm] | [mm]-3+4*\sqrt{7}<4*\sqrt{7}\le4*\sqrt{9}=4*3=12\le49[/mm] |
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| !!!Beweis. | !!!Beweis. |
| Per Induktion: | Per Induktion: |
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| ''Induktionsanfang:'' | ''Induktionsanfang:'' |
| [mm]m=1[/mm] [mm]\leftarrow[/mm] klar | [mm]m=1[/mm] [mm]\leftarrow[/mm] klar |
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| ''Induktionsschritt:'' | ''Induktionsschritt:'' |
| [mm]m \mapsto m+1:[/mm] | [mm]m \mapsto m+1:[/mm] |
| [mm](1+x)^{m+1}=\underbrace{(1+x)}_{\ge 0}(1+x)^m\stackrel{Ind.-Vor.}{\ge}(1+x)(1+m*x)=1+m*x+x+\underbrace{mx^2}_{\ge0}\ge 1+(m+1)*x[/mm] [mm]\Box[/mm] | [mm](1+x)^{m+1}=\underbrace{(1+x)}_{\ge 0}(1+x)^m\stackrel{Ind.-Vor.}{\ge}(1+x)(1+m*x)=1+m*x+x+\underbrace{mx^2}_{\ge0}\ge 1+(m+1)*x[/mm] [mm]\Box[/mm] |
