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Benutzer:tobit09/Beweis-Anleitung Beispiel-Teilmenge2

Wie führe ich einen Beweis?

$ \leftarrow $ a) Teilmengenbeziehung 1 $ \uparrow $ 5. Beispiele $ \rightarrow $ c) Gleichheit von Mengen

5. Beispiele


b) Teilmengenbeziehung 2


Aufgabe:

Seien $ X $ und $ Y $ Mengen. Zeigen Sie, dass dann $ X\subseteq Y\cup(X\setminus Y) $ gilt.


Vorbereitung des Beweises:

Voraussetzungen:

Keine speziellen.

Behauptung:

$ X\subseteq Y\cup(X\setminus Y) $

Dabei ist

    $ Y\cup (X\setminus Y)=\{z\;|\;z\in Y\text{ oder }z\in X\setminus Y\} $.

und

    $ X\setminus Y=\{z\;|\;z\in X\text{ und }z\not\in Y\} $.


Rahmen des Beweises:

Zu zeigen ist also eine Teilmengenbeziehung. Punkt i) unter 3. Wie zeige ich...? verrät uns, was zu tun ist: Wir betrachten ein beliebig vorgegebenes Element $ x\in X $ und zeigen unter der zusätzlichen Voraussetzung $ x\in X $ die Aussage $ x\in Y\cup(X\setminus Y) $.

$ x\in Y\cup(X\setminus Y) $ bedeutet, dass $ z\in Y $ oder $ z\in (X\setminus Y) $. Zu zeigen ist also diese "oder"-Aussage. Punkt b) unter 3. Wie zeige ich...? verrät uns, was zu tun ist: Wir müssen eine Fallunterscheidung nach gewissen Fällen $ C $ und $ D $ durchführen, für die $ C\vee D $ als wahr bekannt ist. Dann zeigen wir, dass aus $ C $ die Aussage $ x\in Y $ und aus $ D $ die Aussage $ x\in X\setminus Y $ folgt. Letzteres bedeutet die "und"-Aussage $ x\in X $ und $ x\not\in Y $. Punkt a) unter 3. Wie zeige ich...? verrät uns, was dafür zu tun ist: Nacheinander $ x\in X $ und $ x\not\in Y $ zeigen.

Somit ergibt sich folgender Beweisrahmen:

Zu zeigen ist, dass $ X\subseteq Y\cup(X\setminus Y) $ gilt.
Sei also $ x\in X $.
Zu zeigen ist, dass $ x\in Y\cup(X\setminus Y) $ gilt, d.h. dass $ x\in Y $ oder $ x\in X\setminus Y $ gilt.
...
Hauptteil
(1. Fall: $ C $. Zeigen, dass in diesem Fall $ x\in Y $.)
(2. Fall: $ D $. Zeigen, dass in diesem Fall $ x\in X\setminus Y $, d.h. $ x\in X $ und $ x\not\in Y $.)
...
Somit gilt in jedem Fall $ x\in Y $ oder $ x\in X\setminus Y $ , also $ x\in Y\cup (X\setminus Y) $.
Da $ x\in X $ beliebig war, folgt $ X\subseteq Y\cup (X\setminus Y) $.


Hauptteil des Beweises:

Außer $ x\in X $ haben wir im Hauptteil keine besonderen Voraussetzungen zur Verfügung. Insbesondere haben wir keine Aussage der Form $ C\vee D $ als Voraussetzung, die uns eine passende Fallunterscheidung nahelegen würde. Probieren wir also mal den zweiten Vorschlag in Punkt b) unter 3. Wie zeige ich...? aus, um passende Aussagen $ C $ und $ D $ zu finden: Wir unterscheiden nach $ x\in Y $ und $ x\not\in Y $.

Im Falle $ x\in Y $ ist $ x\in Y $ zu folgern, wofür nichts zu tun ist. Im Falle $ x\not\in Y $ wollen wir auf $ x\in X $ und $ x\not\in Y $ schließen. Da wir mit der Annahme $ x\in X $ gestartet waren und nun im Fall $ x\not\in Y $ sind, gilt dies tatsächlich.


Fertiger Beweis:

Zu zeigen ist, dass $ X\subseteq Y\cup(X\setminus Y) $ gilt.
Sei also $ x\in X $.
Zu zeigen ist, dass $ x\in Y\cup(X\setminus Y) $ gilt, d.h. dass $ x\in Y $ oder $ x\in X\setminus Y $ gilt.

1. Fall: $ x\in Y $. In diesem Fall ist für $ x\in Y $ nichts zu zeigen.
2. Fall: $ x\not\in Y $. In diesem Fall haben wir $ x\in X $ und $ x\not\in Y $, also $ x\in X\setminus Y $.

Somit gilt in jedem Fall $ x\in Y $ oder $ x\in X\setminus Y $ , also $ x\in Y\cup (X\setminus Y) $.
Da $ x\in X $ beliebig war, folgt $ X\subseteq Y\cup (X\setminus Y) $.

Erstellt: Sa 10.11.2012 von tobit09
Letzte Änderung: Sa 10.11.2012 um 17:12 von tobit09
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