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Transformationsmatrix
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Transformationsmatrix

Die Transformationsmatrix


Beschreibung

In einem Vektorraum V mit den Basen  C und A ist die Transformationsmatrix $ T_{A}^{C} $ diejenige Matrix, die einen Vektor v aus V, der in Basisgestalt C gegeben ist, gleich (identisch) lässt aber ihn in Basisgestalt A umwandelt.
D.H es soll Folgendes gelten:
$ C=\{c_1 , ... , c_n \} $ und $ A=\{a_1 , ... , a_n \} $ und $ v=x_1\cdot{}c_1 + ... +x_n\cdot{}c_n=y_1\cdot{}a_1 + ... +y_n\cdot{}a_n $ die Basisdarstellungen von v.
Dann: $ T_{A}^{C}\left( \vektor{x_1\\.\\.\\x_n} \right)=\vektor{y_1\\.\\.\\y_n} $


Invertierung

es gilt : $ T_{C}^{A}=(T_{A}^{C})^{-1} $
denn $ T_{C}^{A} $ soll einen Vektor bzgl A in denselben bzgl C verwandeln
und $ T_{A}^{C} $ macht gerade das Umgekehrte (inverse) dazu.
(dies ist kein ausreichender Beweis, sondern nur schlagendes Argument)


Besonderheit

Es sei eine Basis A gegeben (zum Beispiel Standardbasis)
und eine weitere Basis B sei gegeben, wobei jeder Basisvektor $ b_i $ gegeben sei als Linearkombination der Basisvektoren $ a_i $ aus A.

gesucht : $ T^B_A $
wenn man $ b_i $ reinsteckt aber bzgl B also $ e_i $ (der i-te Einheitsvektor) soll man die Darstellung bzgl A bekommen, aber die ist ja nun gerade gegeben, d.h. die Spalten sind genau die gegebenen Linearkombinationen.

Beispiel : n=3 und $ b_2=3\cdot{}a_1 -a_3 $ gegeben, dann ist die zweite Spalte von $ T^B_A $ gerade $ \vektor{3\\0\\-1} $ (anderen Spalten analog)
         
gesucht : $ T^A_B $
dies würde sich nicht so einfach direkt erkennen lassen, denn wir suchen die Basisdarstellung von A in B.
Weil wir aber gerade das umgekehrte gegeben haben, berechnet man zuerst $ T^B_A $;
und danach die Inverse zum Beispiel mit Gauß-Jordan.


Hinweis:
wenn A und C bzgl einer dritten Basis gegeben sind (z.B. Standardbasis) , dann ist die Transformationsmatrix mit $ T_{A}^{C}=T_{A}^{C}(id_V) $ eigentlich eine Koordinatentransformation und damit selbst ein Spezialfall der Transformationsformel (in diesen Fällen muss man Letztere also mehrfach anwenden um die Transformationsmatrizen zu erhalten und dann zum Schluß die eigentlich gesuchte Darstellungsmatrix).
         

einfaches Beispiel

gegeben eine Basis $ B=\{ b_1 , b_2 , b_3 \} $ und die Basis $ B'=\{ b'_1 , b'_2 , b'_3 \} $ mit $ b'_1=b_3 $, $ b'_2=b_2 $ und $ b'_3=b_1 $
(also erste und dritte Komponente vertauscht, siehe auch : Permutationsmatrix)

dann ist $ T^B'_{B}=\pmat{0&0&1\\0&1&0\\1&0&0} $, denn wenn man z.B. $ b'_1 $ bzgl $ B' $ (also $ \vektor{1\\0\\0} $) reinsteckt, soll $ b_3 $ bzgl $ B $ (also $ \vektor{0\\0\\1} $) rauskommen.


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[link]guter Artikel (MathePlanet)


Erstellt: Fr 26.08.2005 von DaMenge
Letzte Änderung: Sa 12.08.2006 um 13:27 von Marc
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