matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteTransformationsmatrix
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Transformationsmatrix
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Transformationsmatrix

Die Transformationsmatrix


Beschreibung

In einem Vektorraum V mit den Basen  C und A ist die Transformationsmatrix $ T_{A}^{C} $ diejenige Matrix, die einen Vektor v aus V, der in Basisgestalt C gegeben ist, gleich (identisch) lässt aber ihn in Basisgestalt A umwandelt.
D.H es soll Folgendes gelten:
$ C=\{c_1 , ... , c_n \} $ und $ A=\{a_1 , ... , a_n \} $ und $ v=x_1\cdot{}c_1 + ... +x_n\cdot{}c_n=y_1\cdot{}a_1 + ... +y_n\cdot{}a_n $ die Basisdarstellungen von v.
Dann: $ T_{A}^{C}\left( \vektor{x_1\\.\\.\\x_n} \right)=\vektor{y_1\\.\\.\\y_n} $


Invertierung

es gilt : $ T_{C}^{A}=(T_{A}^{C})^{-1} $
denn $ T_{C}^{A} $ soll einen Vektor bzgl A in denselben bzgl C verwandeln
und $ T_{A}^{C} $ macht gerade das Umgekehrte (inverse) dazu.
(dies ist kein ausreichender Beweis, sondern nur schlagendes Argument)


Besonderheit

Es sei eine Basis A gegeben (zum Beispiel Standardbasis)
und eine weitere Basis B sei gegeben, wobei jeder Basisvektor $ b_i $ gegeben sei als Linearkombination der Basisvektoren $ a_i $ aus A.

gesucht : $ T^B_A $
wenn man $ b_i $ reinsteckt aber bzgl B also $ e_i $ (der i-te Einheitsvektor) soll man die Darstellung bzgl A bekommen, aber die ist ja nun gerade gegeben, d.h. die Spalten sind genau die gegebenen Linearkombinationen.

Beispiel : n=3 und $ b_2=3\cdot{}a_1 -a_3 $ gegeben, dann ist die zweite Spalte von $ T^B_A $ gerade $ \vektor{3\\0\\-1} $ (anderen Spalten analog)
         
gesucht : $ T^A_B $
dies würde sich nicht so einfach direkt erkennen lassen, denn wir suchen die Basisdarstellung von A in B.
Weil wir aber gerade das umgekehrte gegeben haben, berechnet man zuerst $ T^B_A $;
und danach die Inverse zum Beispiel mit Gauß-Jordan.


Hinweis:
wenn A und C bzgl einer dritten Basis gegeben sind (z.B. Standardbasis) , dann ist die Transformationsmatrix mit $ T_{A}^{C}=T_{A}^{C}(id_V) $ eigentlich eine Koordinatentransformation und damit selbst ein Spezialfall der Transformationsformel (in diesen Fällen muss man Letztere also mehrfach anwenden um die Transformationsmatrizen zu erhalten und dann zum Schluß die eigentlich gesuchte Darstellungsmatrix).
         

einfaches Beispiel

gegeben eine Basis $ B=\{ b_1 , b_2 , b_3 \} $ und die Basis $ B'=\{ b'_1 , b'_2 , b'_3 \} $ mit $ b'_1=b_3 $, $ b'_2=b_2 $ und $ b'_3=b_1 $
(also erste und dritte Komponente vertauscht, siehe auch : Permutationsmatrix)

dann ist $ T^B'_{B}=\pmat{0&0&1\\0&1&0\\1&0&0} $, denn wenn man z.B. $ b'_1 $ bzgl $ B' $ (also $ \vektor{1\\0\\0} $) reinsteckt, soll $ b_3 $ bzgl $ B $ (also $ \vektor{0\\0\\1} $) rauskommen.


Matheraum Links

[link]guter Artikel (MathePlanet)


Erstellt: Fr 26.08.2005 von DaMenge
Letzte Änderung: Sa 12.08.2006 um 13:27 von Marc
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext

^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]