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Winkelfunktion
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Winkelfunktion

Version 13 von Mo 17.01.2005 um 11:52
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Definition Sinus(-funktion), Kosinus(-funktion), Tangens(-funktion)


Schule


Definition an rechtwinkligen Dreiecken

Betrachtet man das unten stehende rechtwinklige Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei C (Bild1),
so gelten folgende Beziehungen:


{picture file=img/wiki_up//RechtwinkligesDreieck.jpg}


$ \sin \alpha = \bruch{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Hypotenuse}} $ ; $ \cos \alpha = \bruch{\mbox{Ankathete}}{\mbox{Hypotenuse}} $ ; $ \tan \alpha = \bruch{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Ankathete}} = \bruch{\sin \alpha}{\cos \alpha} $


Dabei ist die Strecke $ \overline{AC} $ die Ankathete zum Winkel $ \alpha $
und die Strecke $ \overline{BC} $ die Gegenkathete zum Winkel $ \alpha $.


Definition am Einheitskreis

Man kann diese Definition am rechtwinkligen Dreieck auf Winkel >90° erweitern, wenn man folgendes Bild2 betrachtet:


{picture file=img/wiki_up//Kos_Sin_Einheitskreis.jpg}

Durchläuft der Punkt C die Kreislinie, so kann man die zum Winkel $ \alpha $ (bei A) gehörenden Werte des Sinus $ \alpha $ und Kosinus $ \alpha $ in ein Koordinatenkreuz übertragen.


Sinusfunktion:


{picture file=img/wiki_up//sinus.jpg}


Kosinsfunktion:


{picture file=img/wiki_up//cosinus.jpg}

Man erkennt, dass sowohl der Sinus als auch der Kosinus stets Werte $ \le 1 $ ergeben.



Universität


Definition/Darstellung als Potenzreihe

Für $ x\in\IC $ (insbesondere für $ x\in\IR $) ist definiert (Taylorreihe des Sinus):
$ \sin x:=\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!} $

Für $ x\in\IC $ (insbesondere für $ x\in\IR $) ist definiert (Taylorreihe des Kosinus):
$ \cos x:=\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{x^{2k}}{(2k)!} $

Erstellt: So 05.09.2004 von Marc
Letzte Änderung: Mo 17.01.2005 um 11:52 von informix
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