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Bernoulli-Ungleichung
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Bernoulli-Ungleichung

Version 7 von Do 04.11.2004 um 17:29
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Satz Bernoulli-Ungleichung

Voraussetzungen und Behauptung
Seien K ein geordneter Körper und $ x \in K $, $ x\ge-1_K $ sowie $ n \in \IN $.
Dann gilt (mit $ 1=1_K $):

$ (1+x)^n \ge 1+n\cdot{}x $.


Bemerkungen.


Beispiele.

Wir wählen jeweils ein $ n \in \IN $. Da $ \IR $ ein geordneter Körper ist, können wir obige Ungleichung dann für ein paar x-Werte aus $ \IR $ testen.

1.)  $ x:=2\ge-1 $ und $ n:=3 \in \IN $ erfüllen die Voraussetzungen und liefern:
$ (1+2)^3=3^3=27 \ge 7=1+3\cdot{}2 $.
Offenbar stimmt die Behauptung also für diesen Fall.

2.) $ x:=-0,5 \ge-1 $ und $ n:=2\in \IN $ erfüllen die Voraussetzungen und liefern:
$ (1+(-0,5))^2=0,5^2=0,25 \ge 0=1+2\cdot{}(-0|5) $.
Offenbar stimmt die Behauptung also für diesen Fall.

3.) $ x:=0\ge-1 $ und $ n:=10 \in \IN $ erfüllen die Voraussetzungen und liefern:
$ (1+0)^{10}=1^{10}=1 \ge 1=1+10\cdot{}0 $.
Offenbar stimmt die Behauptung also für diesen Fall.

4.) $ x:=\left(\sqrt{7}-1\right) \ge-1 $ und $ n:=4 \in \IN $ erfüllen die Voraussetzungen und liefern:
$ \left(1+\left(\sqrt{7}-1\right)\right)^4=\left(\sqrt{7}\right)^4=49 \ge -3+4\cdot{}sqrt{7}=1+4\cdot{}\left(\sqrt{7}-1\right) $.
Auch diese Ungleichung ist richtig, denn es gilt:
$ \sqrt{7}\le\sqrt{9=3} $ und daher:
$ -3+4\cdot{}\sqrt{7}<4\cdot{}\sqrt{7}\le4\cdot{}\sqrt{9}=4\cdot{}3=12\le49 $


Beweis.

Per Induktion:

Induktionsanfang:
m=1 $ \leftarrow $ klar

Induktionsschritt:
$ m \mapsto m+1: $
$ (1+x)^{m+1}=\underbrace{(1+x)}_{\ge 0}(1+x)^m\stackrel{Ind.-Vor.}{\ge}(1+x)(1+m\cdot{}x)=1+m\cdot{}x+x+\underbrace{mx^2}_{\ge0}\ge 1+(m+1)\cdot{}x $          $ \Box $

Erstellt: Do 04.11.2004 von Marcel
Letzte Änderung: Do 04.11.2004 um 17:29 von Marcel
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