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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:34 Di 27.01.2015 | | Autor: | Exel84 |
| Aufgabe | Stellen Sie cos t auf ]0, [mm] \pi[ [/mm] durch eine reine Sinus-Reihe dar, indem Sie die Fourierreihe der ungeraden Fortsetzung des Cosinus auf [mm] [−\pi, \pi]
[/mm]
berechnen. |
Hallo zusammen,
kann mir jemand Tipps für die obige Aufgabe geben?
Vielen DAnk im Voraus!!
Vg
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Di 27.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
die ungerade fkt ist f(x)=-cos(x) für x<0 also auf [-^pi,0) ,dann einfach die Fourrierkoeffizienten ausrechnen.
Periode 2˜pi
Gruß keduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Di 27.01.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Exel,
> Stellen Sie cos t auf ]0, [mm]\pi[[/mm] durch eine reine Sinus-Reihe
> dar, indem Sie die Fourierreihe der ungeraden Fortsetzung
> des Cosinus auf [mm][−\pi, \pi][/mm]
> berechnen.
> Hallo zusammen,
>
> kann mir jemand Tipps für die obige Aufgabe geben?
zur Kontrolle: Ich habe
[mm] $f(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac{8*k}{\pi*(4k^2-1)}*\sin(2*k*x)$
[/mm]
erhalten.
Geholfen hat mir dabei insbesondere
![[]](/images/popup.gif) Wolfram-Alpha
(Wenn Du von Hand rechnen willst: Partielle Integration hilft.)
Kontrolle zur Visualisierung in Matlab bzw. Octave:
| 1: | x=[-6*pi:0.001:6*pi];
| | 2: | N=500; % oberer Index für Teilsumme
| | 3: | f=0;
| | 4: | for k=1:N
| | 5: | f=f+8*k/(pi*(4*k^2-1))*sin(2*k*x);
| | 6: | end
| | 7: | plot(x,f,'o'); hold on;
| | 8: | x2=x(0 < x & x < pi);
| | 9: | plot(x2,cos(x2),'r');
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Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 So 01.02.2015 | | Autor: | Exel84 |
hallo,
ich komme leider nicht auf das gleiche Ergebnis wie du.
Hier meine Rechenschritte:
[mm] b_k [/mm] = [mm] \bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{cos(t)*sin(kt)}
[/mm]
partielle Integration:
f'(t) = sin(kt), f(t) = [mm] -\bruch{1}{k}*cos(kt)
[/mm]
g(t) = cos(t), g'(t) = -sin(t)
[mm] \bruch{2}{\pi}*(-\bruch{1}{k}*cos(kt)* [/mm] cos(t)) (Grenze: 0 bis [mm] \pi) [/mm] - [mm] \integral_{0}^{\pi}{-\bruch{1}{k}*cos (kt)*(-sin(t))}
[/mm]
1. Teil wird berechnet:
I. [mm] \bruch{2}{\pi}*(-\bruch{1}{k}*cos(kt)* [/mm] cos(t)) (Grenze: 0 bis [mm] \pi)
[/mm]
= Ergebnis: [mm] \bruch{2}{\pi}*\bruch{cos(k*\pi)+1}{k}
[/mm]
2. Teil:
- [mm] \integral_{0}^{\pi}{-\bruch{1}{k}*cos (kt)*(-sin(t))}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{\pi}* (-\bruch{1}{k}) \integral_{0}^{\pi}{cos (kt)*sin(t)}
[/mm]
partielle Integration:
f'(t) = cos(kt), f(t) = [mm] \bruch{1}{k}*sin(kt)
[/mm]
g(t) = sin(t), g'(t) = cos(t)
= [mm] \bruch{2}{\pi}* (-\bruch{1}{k})(\bruch{1}{k}*sin(kt)* [/mm] sin(t)) (Grenze: 0 bis [mm] \pi) [/mm] - [mm] \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{k}*sin(kt)*(cos(t))}
[/mm]
1. Teil des Integrals wird berechnet:
I: [mm] \bruch{2}{\pi}* (-\bruch{1}{k})(\bruch{1}{k}*sin(kt)* [/mm] sin(t)) (Grenze: 0 bis [mm] \pi) [/mm] = 0
2. Teil:
II: [mm] \bruch{2}{\pi}* \bruch{1}{k} \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{k}*sin(kt)*(cos(t))}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{\pi}*\bruch{cos(\pi*k)+1}{k*(k^2-1)}
[/mm]
damit:
= [mm] \bruch{2}{\pi}*(\bruch{cos(k*\pi)+1}{k} [/mm] + [mm] \bruch{cos(\pi*k)+1}{k*(k^2-1)})
[/mm]
ich bekomme das raus, aber nicht dein bzw das richtige Ergebnis.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Mi 04.02.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo,
>
> ich komme leider nicht auf das gleiche Ergebnis wie du.
>
> Hier meine Rechenschritte:
>
>
> [mm]b_k[/mm] = [mm]\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{cos(t)*sin(kt)}[/mm]
>
> partielle Integration:
>
> f'(t) = sin(kt), f(t) = [mm]-\bruch{1}{k}*cos(kt)[/mm]
>
> g(t) = cos(t), g'(t) = -sin(t)
>
> [mm]\bruch{2}{\pi}*(-\bruch{1}{k}*cos(kt)*[/mm] cos(t)) (Grenze: 0
> bis [mm]\pi)[/mm] - [mm]\integral_{0}^{\pi}{-\bruch{1}{k}*cos (kt)*(-sin(t))}[/mm]
>
> 1. Teil wird berechnet:
>
> I. [mm]\bruch{2}{\pi}*(-\bruch{1}{k}*cos(kt)*[/mm] cos(t)) (Grenze:
> 0 bis [mm]\pi)[/mm]
>
> = Ergebnis: [mm]\bruch{2}{\pi}*\bruch{cos(k*\pi)+1}{k}[/mm]
>
> 2. Teil:
>
> - [mm]\integral_{0}^{\pi}{-\bruch{1}{k}*cos (kt)*(-sin(t))}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{2}{\pi}* (-\bruch{1}{k}) \integral_{0}^{\pi}{cos (kt)*sin(t)}[/mm]
>
> partielle Integration:
>
> f'(t) = cos(kt), f(t) = [mm]\bruch{1}{k}*sin(kt)[/mm]
>
> g(t) = sin(t), g'(t) = cos(t)
>
> = [mm]\bruch{2}{\pi}* (-\bruch{1}{k})(\bruch{1}{k}*sin(kt)*[/mm]
> sin(t)) (Grenze: 0 bis [mm]\pi)[/mm] -
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{k}*sin(kt)*(cos(t))}[/mm]
>
> 1. Teil des Integrals wird berechnet:
>
> I: [mm]\bruch{2}{\pi}* (-\bruch{1}{k})(\bruch{1}{k}*sin(kt)*[/mm]
> sin(t)) (Grenze: 0 bis [mm]\pi)[/mm] = 0
>
> 2. Teil:
>
> II: [mm]\bruch{2}{\pi}* \bruch{1}{k} \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{k}*sin(kt)*(cos(t))}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{2}{\pi}*\bruch{cos(\pi*k)+1}{k*(k^2-1)}[/mm]
>
> damit:
>
> = [mm]\bruch{2}{\pi}*(\bruch{cos(k*\pi)+1}{k}[/mm] +
> [mm]\bruch{cos(\pi*k)+1}{k*(k^2-1)})[/mm]
>
> ich bekomme das raus, aber nicht dein bzw das richtige
> Ergebnis.
ich dachte eigentlich, dass ich Dir mit Wolfram-AlphaEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ein gutes
Werkzeug in die Hand gelegt habe, mit dem Du Deine Rechnungen (insbesondere
die Zwischenschritte) nochmal kontrollieren kannst. (Dort kann man ja auch
symbolisch rechnen!).
Da mir die Kontrolle aller Zwischenschritte Deiner Rechnung gerade zu
mühsam ist, rechne ich es einfach mal selbst so vor, wie ich es rechnen
würde:
$\red{\frac{\pi}{2}b_k=\int_0^\pi \cos(t)\sin(kt)dt}=\left[\cos(t)*\frac{-1}{k}\cos(kt)\right]_{t=0}^{t=\pi}-\int_0^\pi (-\sin(t))*\frac{-1}{k}\cos(kt)dt$
$=\left[\cos(t)*\frac{-1}{k}\cos(kt)\right]_{t=0}^{t=\pi}-\frac{1}{k}\int_0^\pi \sin(t)*\cos(kt)dt$
Auf das letzte Integral wenden wir nochmal p.I. an:
$\red{\frac{\pi}{2}b_k}=\left[\cos(t)*\frac{-1}{k}\cos(kt)\right]_{t=0}^{t=\pi}-\frac{1}{k}\left\{\left[\sin(t)*\frac{1}{k}\sin(kt)\right]_{t=0}^{t=\pi}-\frac{1}{k}\red{\int_0^\pi \cos(t)\sin(kt)dt}\right\}$
Zur Abkürzung setzen wir $A_k:=\red{\pi/2b_k},$ dann
$A_k=\frac{-1}{k}\left[\cos(t)*\cos(kt)\right]_{t=0}^{t=\pi}-\frac{1}{k^2}\left\{\left[\sin(t)*\sin(kt)\right]_{t=0}^{t=\pi}-A_k}\right\}$
Wegen $\cos(0)=1,$ $\cos(\pi)=-1,$ $\cos(k \pi)=(-1)^k$ und $\sin(k\pi)=0$ für alle $k \in \IZ$ also
$A_k=\frac{-1}{k}*[(-1)*(-1)^k-1*1]-\frac{1}{k^2}\{[0*0-0*0]-A_k\}$
und damit (beachte $(-1)^{k+2}=(-1)^k*(-1)^2=(-1)^k*1=(-1)^k$)
$A_k=\frac{1}{k}*((-1)^k+1)+\frac{1}{k^2}A_k.$
Wir lösen das nach $A_k$ auf: Zunächst folgt
$k^2A_k-A_k=k*((-1)^k+1)$
und sodann
$(k^2-1)A_k=k*((-1)^k+1)$
und für $|k| \not=1$ sodann
$A_k=\frac{k}{k^2-1}*((-1)^k+1)\,.$
Mit $A_k=(\pi/2)*b_k$ bekommst Du somit alle $b_k$ mit $|k| \not=1$ berechnet.
Du musst Dir jetzt nur noch den Fall $|k|=1$ angucken, also
$\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \cos(t) \sin(t)\,dt$
etwa nochmal selbst ausrechnen, oder aber gucken, bis wohin man eventuell
die obigen Umformungen hier gebrauchen kann und an welcher Stelle man
beim weiteren Vorgehen aufpassen muss.
Man kann auch einfach bei
$\int \cos(t)\sin(t)dt$
mal $u=u(t)=\sin(t)$ substituieren und dann
$du/dt=\cos(t)$
verwenden:
$\int \cos(t)\sin(t)dt=\int \sin(t) \cos(t)dt=\int u du=\frac{1}{2}u^2=\frac{1}{2}\sin^2(t)$
Jetzt ist offensichtlich, dass $\int_0^\pi \cos(t)\sin(t)dt=0$ sein wird...
Tipp: Spaßeshalber kannst Du zur Kontrolle auch mal
$\frac{1}{2}\sin^2(t)$
ableiten.
Bemerkung bzw. noch was zum Kurzdrübernachdenken: Warum darf
Wolfram-Alpha
$\int \cos(t)\sin(t)dt=-\frac{1}{2}\cos^2(t)$ (+ const)
ohne Weiteres sagen, obwohl
$\frac{-1}{2}\cos^2(t) \not\equiv \frac{1}{2}\sin^2(t)$
gilt?
(Hierbei sollte das Symbol $\int f(x)dx$ nur für (irgend-)eine Stammfunktion von
$f$ stehen!)
Gruß,
Marcel
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