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runden in Binärdarstellung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:50 Sa 10.10.2015
Autor: sissile

Aufgabe
Die Menge der darstellbaren Zahlen in einer Maschiene ist endlich.

Jeden ist die Rundung im Dezimaldarstellung geläufig auf t Stellen:
Sei [mm] x=10^e [/mm] * [mm] 0,x_1 x_2 x_3 [/mm] ...  eine Zahl mit [mm] x_1 \not= [/mm] 0
So kann man x runden auf t Dezimalstellen: x'= [mm] \begin{cases} 10^e * 0,x_1 x_2 x_3 ..x_t, & \mbox{für } 0 \le x_{t+1} \le 4\\ 10^e * 0,x_1 x_2 x_3 ..x_t+10^{-t}, & \mbox{für } x_{t+1} \ge 5 \end{cases} [/mm]
D.h. man erhöht [mm] x_t [/mm] um 1, falls die (t+1)-te Ziffer [mm] x_{t+1} \ge [/mm] 5 ist und schneidet nach der t-en Ziffer ab.

Frage:
Wie funktioniert die Rundung im Binärsystem?(2-adische Darstellung)

Im Buch steht(https://books.google.at/books?id=-NOsBgAAQBAJ&pg=PA103&hl=de&source=gbs_selected_pages&cad=3#v=onepage&q&f=false) (S.5, die normalisierte Darstellung ist da anders definiert)

Wir nehmen die normalisierte Darstellung d.h.:
[mm] x=2^e [/mm] * [mm] 1,f_1 f_2 f_3 f_4 [/mm] ... mit [mm] f_i \in \{0,1\} [/mm]
Zur Erklärung:  [mm] (1,f_1 f_2 f_3 f_4 ...)_2 [/mm] =(1+ [mm] \sum_{i=0}^\infty f_i 2^{-i})_{10} [/mm]
x'= [mm] \begin{cases} 2^e * 1,f_1 f_2 f_3 ..f_t, & \mbox{für } f_{t+1}=0\\ 2^e * 1,f_1 f_2 f_3 ..f_t+2^{-t}, & \mbox{für } f_{t+1} =1 \end{cases} [/mm]
Was passiert hier wenn [mm] f_{t+1}=0 [/mm] ? Ist  [mm] f_t+2^{-t} [/mm] nicht falsch aufgeschrieben ? Wenn [mm] f_t=0 [/mm] wird es dann zu 1 und wenn [mm] f_t=1 [/mm] wird es zu 0 oder wie?


LG,
sissi

        
Bezug
runden in Binärdarstellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:53 Sa 10.10.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> Die Menge der darstellbaren Zahlen in einer Maschine ist
> endlich.
>  
> Jeden ist die Rundung im Dezimaldarstellung geläufig auf t
> Stellen:
>  Sei [mm]x=10^e[/mm] * [mm]0,x_1 x_2 x_3[/mm] ...  eine Zahl mit [mm]x_1 \not=[/mm] 0
>  So kann man x runden auf t Dezimalstellen: x'=
> [mm]\begin{cases} 10^e * 0,x_1 x_2 x_3 ..x_t, & \mbox{für } 0 \le x_{t+1} \le 4\\ 10^e * 0,x_1 x_2 x_3 ..x_t+10^{-t}, & \mbox{für } x_{t+1} \ge 5 \end{cases}[/mm]
>  
> D.h. man erhöht [mm]x_t[/mm] um 1, falls die (t+1)-te Ziffer
> [mm]x_{t+1} \ge[/mm] 5 ist und schneidet nach der t-en Ziffer ab.
>  
> Frage:
>  Wie funktioniert die Rundung im Binärsystem?(2-adische
> Darstellung)
>  Im Buch
> steht(https://books.google.at/books?id=-NOsBgAAQBAJ&pg=PA103&hl=de&source=gbs_selected_pages&cad=3#v=onepage&q&f=false)
> (S.5, die normalisierte Darstellung ist da anders
> definiert)
>  
> Wir nehmen die normalisierte Darstellung d.h.:
>  [mm]x=2^e[/mm] * [mm]1,f_1 f_2 f_3 f_4[/mm] ... mit [mm]f_i \in \{0,1\}[/mm]
>  Zur
> Erklärung:  [mm](1,f_1 f_2 f_3 f_4 ...)_2[/mm] =(1+
> [mm]\sum_{i=0}^\infty f_i 2^{-i})_{10}[/mm]
>  x'= [mm]\begin{cases} 2^e * 1,f_1 f_2 f_3 ..f_t, & \mbox{für } f_{t+1}=0\\ 2^e * 1,f_1 f_2 f_3 ..f_t+2^{-t}, & \mbox{für } f_{t+1} =1 \end{cases}[/mm]
>  
> Was passiert hier wenn [mm]f_{t+1}=0[/mm] ? Ist  [mm]f_t+2^{-t}[/mm] nicht
> falsch aufgeschrieben ? Wenn [mm]f_t=0[/mm] wird es dann zu 1 und
> wenn [mm]f_t=1[/mm] wird es zu 0 oder wie?


Hallo  sissi ,

voraus eine kleine Bemerkung zum Unterschied der Bedeutung
von t in den beiden Darstellungen.
Im Fall des Dezimalsystems ist mit t die Anzahl der signifi-
kanten Dezimalstellen insgesamt gemeint, weil ja vor dem
Dezimalkomma eine Null stehen soll.
In der angegebenen Darstellung für das Binärsystem steht
t für die Anzahl der signifikanten Nachkomma-Binärstellen.
Insgesamt haben wir dann (wegen der obligatorischen
führenden 1 vor dem Komma) eigentlich  (t+1) signifikante
Binärstellen !

Im Übrigen ist die angegebene Rundungsmethode im Binär-
system schon in Ordnung.
Ist  $\ [mm] f_{t+1}\,=\,0$ [/mm] , so wird einfach der ganze "Schwanz" $\ [mm] f_{t+1}\, f_{t+2}\, f_{t+3}\,.....$ [/mm]
weggelassen.
Andernfalls nimmt man als (auf-) gerundeten Wert
$\ [mm] (1,f_{1}\, f_{2}\, f_{3}\,.....\, f_{t})\,+\,2^{-t} [/mm] $ .
(Klammern für Deutlichkeit gesetzt !)
War  $\ [mm] f_t\,=\,1$ [/mm] , so führt dies dann zu einer Addition mit
(sich ev. nach vorne fortsetzenden) Überträgen.

Beispiele mit Runden auf insgesamt 5 signifikante Binär-
stellen (also t = 4 !):

    1,101101....   [mm] \to [/mm]   1,1011

    1,101110....   [mm] \to [/mm]   1,1011+0,0001 = 1,1100
    

LG ,   Al-Chwarizmi


Bezug
                
Bezug
runden in Binärdarstellung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:29 Sa 10.10.2015
Autor: sissile

Hallo,
Danke für deine schnelle Antwort!

Wie ist das im Fall: t=2 für 1,111 ?
1,111 [mm] \rightarrow [/mm] 1,11 + 0,01= 10,00 = [mm] 1,00*2^{1} [/mm]
Würde das so passen?

LG,
sissi

Bezug
                        
Bezug
runden in Binärdarstellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:34 Sa 10.10.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> Wie ist das im Fall: t=2 für 1,111 ?
>  1,111 [mm]\rightarrow[/mm] 1,11 + 0,01= 10,00 = [mm]1,00*2^{1}[/mm]
>  Würde das so passen?

[daumenhoch]   Genau !


Bezug
                                
Bezug
runden in Binärdarstellung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:58 Sa 10.10.2015
Autor: sissile

Gut, dann hab ich es verstanden!
Danke und liebe Grüße,
sissi

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