umgarnte Kastanie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebe Freunde,
dies ist nicht eine Frage, sondern ein Geschenk an
alle, die mich mit motiviert haben, mich mit mathe-
matischen Fragen oft auf neue Art zu beschäftigen.
Gewissermaßen als Nebenprodukt meiner Tätigkeit
im Matheraum entstehen dabei manchmal auch Grafiken,
die dazu dienen sollen, geometrische Objekte und
Sachverhalte grafisch darzustellen.
Einige Zeit habe ich mich nun damit beschäftigt,
geodätische Linien auf vielen Flächen (Ellipsoid,
Ei, beliebige Rotationskörper, implizit definierte
Flächen) darzustellen. Im hier dargestellten Bild
wurde eigentlich nur eine einzige geodätische Linie (***)
gezogen, die eine algebraische Fläche "umgarnt".
Die Fläche sieht aus wie eine "Kugel mit Stacheln"
ähnlich der Fruchtschale einer Kastanie.
Die Gleichung dieser Fläche habe ich erhalten,
indem ich die 13 Quadrate der Abstände eines Punktes
zu den Symmetrieachsen eines Würfels, je um ein
Epsilon vermehrt, miteinander multiplizierte und
dieses Produkt gleich 1 setzte. Das klingt recht
kompliziert, aber die Rechenarbeit leistet ja dann
das Programm ...
Es werden (soweit mit einfachen Mitteln möglich)
nur diejenigen Teile der Kurve gezeichnet, die auf
den sichtbaren Teilen der Oberfläche liegen (es sind
allerdings nicht alle damit verbundenen Fragen ganz
gelöst, was man bei ganz genauem Hinschauen an
einzelnen Stellen vielleicht auch erkennen kann).
Die Farben dienen nur dazu, das Bild einigermaßen
plastisch erscheinen zu lassen. Insbesondere werden
die Spitzen dadurch hervorgehoben, dass eine Farb-
komponente von der Erhebung über dem durch-
schnittlichen Kugelradius abhängig ist.
LG Al-Chwarizmi
(***) zum Begriff "geodätische Linie:
Für alle, denen der Begriff "geodätische Linie" nicht
geläufig ist: es handelt sich dabei um eine Kurve in
einer Fläche, die auf der Fläche stets "geradeaus"
verläuft, obwohl sie als Kurve im Raum auch gekrümmt
ist. Im Beispiel kann man sich vorstellen, dass man
einen Faden auf den etwas komplexen Körper so
aufwickelt, dass er nirgends seitlich abrutschen kann,
wenn er nur richtig gespannt ist. Jeder, der schon mal
Garn zu einem Knäuel gewickelt hat, weiß, wovon ich
spreche - obwohl man sich die Fläche unendlich viel
glatter als jeden Garnknäuel vorstellen muss.
Hätte man eine einfache Kugelfläche, so müsste man
den gesamten (als unendlich dünn zu denkenden)
Faden auf einem einzigen Großkreis abwickeln und
würde damit keineswegs die Kugeloberfläche bedecken.
Weil nun aber unser Körper bestachelt oder genoppt ist,
läuft fast jede geodätische Kurve an jedem beliebigen
Punkt der Oberfläche beliebig nahe vorbei bzw. trifft
ihn sogar auch exakt. Man benützt für diese Eigen-
schaft den Ausdruck, dass eine solche Kurve "ergodisch"
ist.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Durch eine kleine Abänderung (von epsilon) habe ich
die Erhebungen abgerundet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG Al
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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So nebenbei ist mir aufgefallen, dass der so kreierte Körper
die ideale Form eines Asteroiden wäre, falls eines Tages die
Schweizer des Lebens inmitten konkursreifer Nachbarn
überdrüssig werden sollten und lieber auf einen eigenen
Himmelskörper umsiedeln möchten. Hier hätte jeder (Ganz-
oder Halb-) Kanton sein eigenes Matterhorn !
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 Di 15.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
ein hübscher Planet!
> So nebenbei ist mir aufgefallen, dass der so kreierte
> Körper
> die ideale Form eines Asteroiden wäre, falls eines Tages
> die
> Schweizer des Lebens inmitten konkursreifer Nachbarn
Mit Bestürzung entnehme ich Deiner Nachricht, dass die Liechtensteiner fast pleite sind. Das hätte ich nicht gedacht. 
> überdrüssig werden sollten und lieber auf einen eigenen
> Himmelskörper umsiedeln möchten. Hier hätte jeder
> (Ganz-
> oder Halb-) Kanton sein eigenes Matterhorn !
Ich darf darauf hinweisen, dass das Matterhorn zu einem Teil auf italienischem Grund liegt (solange Umberto Bossi dem noch zustimmen mag...). Ansonsten hat Innerrhoden vielleicht andere Probleme und würde seins verleihen, wenn auch eher nicht ans Wallis, nehme ich an. Oder braucht man Berghöhlen für die Appenzeller-Herstellung? Dann wäre ein gemeinsames Matterdoppelhorn ja vielleicht ein Grund für die Wiedervereinigung der Halbkantone.
Wohin einen die Geometrie so führen kann...
Grüße
reverend
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> Hallo Al,
>
> ein hübscher Planet!
Ja, irgendwie erinnert er auch an eine ![[]](/images/popup.gif) Zeichnung im
Buch "Le petit prince" .
Dort gibt es allerdings nur Prototypen für die Berge ...
> > So nebenbei ist mir aufgefallen, dass der so kreierte
> > Körper die ideale Form eines Asteroiden wäre,
> > falls eines Tages die Schweizer des Lebens inmitten
> > konkursreifer Nachbarn überdrüssig würden ....
>
> Mit Bestürzung entnehme ich Deiner Nachricht, dass die
> Liechtensteiner fast pleite sind. Das hätte ich nicht
> gedacht.
Oh je ! An die habe ich ja gar nicht gedacht - und da verfüge
ich nicht über detaillierte Informationen ...
Notfalls würden wir die ja mitnehmen - unter der Bedingung,
dass sie uns zeigen würden, wie man 27 Punkte schön regel-
mäßig auf einer Kugel verteilt ...
> > überdrüssig werden sollten und lieber auf einen eigenen
> > Himmelskörper umsiedeln möchten. Hier hätte jeder
> > (Ganz- oder Halb-) Kanton sein eigenes Matterhorn !
> >
> Ich darf darauf hinweisen, dass das Matterhorn zu einem
> Teil auf italienischem Grund liegt (solange Umberto Bossi
> dem noch zustimmen mag...).
Da haben aber die Italiener wirklich die schlechtere Karte
gezogen. Von Cervinia aus sieht der Berg wirklich nicht so
besonders aus: Cervino . Zwar immer noch ein imposanter
Berg, aber längst nicht so fotogen wie von Zermatt aus
betrachtet.
Meine Matterhörner auf dem Asteroiden
sind bisher alle kongruent und rotationssymmetrisch.
Sie bedürften also schon noch der geeigneten lokalen
Erosion, um den jeweiligen lokalen Charakter wider-
spiegeln zu können.
> Ansonsten hat Innerrhoden
> vielleicht andere Probleme und würde seins verleihen, wenn
> auch eher nicht ans Wallis, nehme ich an. Oder braucht man
> Berghöhlen für die Appenzeller-Herstellung? Dann wäre
> ein gemeinsames Matterdoppelhorn ja vielleicht ein Grund
> für die Wiedervereinigung der Halbkantone.
>
> Wohin einen die Geometrie so führen kann...
Ich hab's ja gesagt: Geometrie macht Spass !
Und die Betrachtung der Geodäten auf einer interes-
santen Fläche zeigt: du kannst dich in fast jede
beliebige Richtung wenden und immer nur geradeaus
gehen - und du wirst (dank der zahlreichen Hindernisse
und Verlockungen, die dich von einem allzu simplen Kurs
immer wieder ablenken) fast überall hinkommen, wohin
du überhaupt hinkommen könntest ! Diese Überlegung
bezieht sich allerdings auf den Fall einer beliebig langen
Reise. Diese Voraussetzung ist für uns aber nicht gegeben.
Das einzige, was wir mit Garantie schließen können,
ist: jeder, aber wirklich jeder wird auch in einer allenfalls
kurzen Lebenszeit in Situationen kommen, die er weder
geplant hat noch sich auch nur irgendwie träumen
konnte. Und doch: was auch geschehen mag, nehmen
wir oft in einer Selbstverständlichkeit entgegen, die
eigentlich keine sein könnte. Irgendwie scheinen wir darauf
eingerichtet zu sein, auch Ereignisse zu akzeptieren,
auf die niemand vorbereitet sein konnte. Diese Fähig-
keit ist uns nicht zufällig zugekommen, sondern wohl
durch die gelebte Erfahrung von Millionen Generationen
unserer menschlichen und tierischen Vorfahren, dass
es sich nicht lohnt, mit dem Schicksal zu hadern.
Naja - da sind wir möglicherweise wieder weit weg
von der Geometrie - aber nicht allzuweit vom Reich
des kleinen Prinzen.
Lieben Gruß !
Al
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> Oder braucht man Berghöhlen für die Appenzeller-Herstellung?
> Dann wäre ein gemeinsames Matterdoppelhorn ja vielleicht ein Grund
> für die Wiedervereinigung der Halbkantone.
Ein Matter Doppelhorn gibt es tatsächlich:
Risetenhörner
Diese Formation gibt es in meiner Heimatgemeinde
Matt in der jetzt (nach Gemeindefusion) der Fläche
nach größten Gemeinde der Schweiz.
Der kleine Makel: auch diese Hörner gehören nur zur
Hälfte zu Matt, so wie das berühmte Matterhorn nur
zur Hälfte zu Zermatt gehört.
Käse wird übrigens auch auf den Alpen am Abhang
und am Fuß dieser Zwillingsberge gemacht. Der
Höhlenreifungstick ist aber, soweit ich informiert
bin, noch nicht dahin gelangt.
Mein eigener Makel: Da ich in Matt aufgewachsen bin,
hatte ich im Schachspiel nie auch nur die geringste
Chance ...
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Fr 18.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Al,
das ist wirklich ein schoenes Objekt
Da ich neugierig bin: mit welchem Programm hast du das ganze darstellen lassen?
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Fr 18.11.2011 | | Autor: | wieschoo |
auch die genaue Funktion/Quelltext würde mich interessieren.
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> auch die genaue Funktion/Quelltext würde mich
> interessieren.
siehe PM !
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:06 Mo 21.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin zusammen,
da Al mir den Quelltext auch zukommen lassen hat, habe ich mich daran versucht, diesen nach C++ zu konvertieren. Das funktionierte soweit wunderbar, und so habe ich noch ein paar Spielereien mit eingebaut. Erstmal wird die Funktion jetzt als Polynom gespeichert, dieses wird vom Programm automatisch differenziert und darauf basierend alles berechnet. Weiterhin habe ich den Test, ob ein Punkt sichtbar ist, völlig umgebaut: dazu wird eine Strecke vom Punkt in Richtung des Betrachters angeschaut und getestet, ob diese die Fläche schneidet. Das funktioniert (dank Rundungsfehlern) nicht perfekt, aber ich kann im Ergebnis nichts erkennen. Schliesslich habe ich eine Lichtquelle eingebaut, die die ganze Szene anstrahlt; bezüglich dieser hat die Fläche auch Selbstschattierungen; hierfür habe ich einfach den Sichtbarkeitstest weiterverwendet.
Mein Programm spuckt PostScript-Dateien aus (deswegen musste ich mich nicht damit auseinandersetzen, wie ich möglichst unaufwändig und plattformunabhängig Grafik darstelle). Im Anhang befindet sich
a) ein ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") erzeugtes Bild (mit doppelt so vielen Iterationen wie das ursprüngliche Bild von Al; die Berechnung hat bei mir knapp über 8 Minuten veranschlagt);
b) der C++-Quelltext;
c) eine PDF-Version des Bildes (2 MB).
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG Felix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: cpp) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Hallo Felix,
die PDF-Version des Bildes möchte ich hiermit
offiziell zur Edelkastanie erklären.
Danke für deine Arbeit !
Mit dem Sichtbarkeitsalgorithmus, der mathematisch
wirklich interessant ist, habe ich mich inzwischen
auch auseinandergesetzt. Da ging dann aber schon das
Wochenende drauf, bis ich dies alles zurechtgezimmert
hatte und die bei solchen Dingen fast unvermeidlichen
anfänglichen Programmierfehler lokalisiert und ausge-
merzt hatte. Immerhin gelang es mir damit dann, wenig-
stens einen geometrisch einfacheren Körper, nämlich einen
Torus, zu umgarnen, wobei wirklich nur die sichtbaren
Teile dargestellt werden:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vor allem am zweiten Bild kann man einen interessanten
Effekt feststellen. Sie begann rechts oben (Richtung 2 Uhr)
im weißen Bereich mit einer ganz eng gewickelten Spirale.
Es ist klar, dass die Geodäte auf dem Torus nicht einfach
in diesem Stil weiter gehen kann. Die Windungen um den
"Schlauch" mit dem kleinen Radius werden allmählich lockerer,
und schließlich geht die Linie überhaupt nicht mehr durch
das "Loch" des Torus, sondern windet sich nur noch dem
"Schlauch" entlang um die Rotationsachse.
Zuerst dachte ich, dass dies an Rundungsfehlern liegen könnte,
die sich bei meinem Programm natürlich summieren.
Jetzt sehe ich das aber anders. Es gibt auf dem Torus in
sich geschlossene kreisförmige Geodäten, nämlich je einen
mit den Radien R+r ("äußerer Äquator"), R-r ("innerer Äquator")
und unendlich viele vom Radius r ("Meridiane").
Gewissermaßen im physikalischen Sinne stabil ist von diesen
Bahnen nur eine, nämlich die erste. Bei einer kleinen Ab-
weichung von dieser Bahn führt die Linie wieder dahin zurück.
Alle übrigen kreisförmigen Geodäten sind labil, das heißt, die
geringste Abweichung davon ist unwiderruflich und führt
die Geodäte auf die Länge in die Nähe der stabilen Kreisbahn.
Zunächst erschien mir dieses Verhalten paradox, und ich
fragte mich, ob nicht doch Rundungsfehler für den Effekt
verantwortlich seien. Man kann ja leicht zeigen, dass jede
Geodäte auf dem Torus zu sich selber symmetrisch sein
muss bezüglich einer Ebenenspiegelung oder eines Produktes
von zwei Ebenenspiegelungen
(eine an der Äquatorebene und eine an einer Meridianebene).
Jetzt wäre es eine interessante Aufgabe, die Menge aller
möglichen Geodäten auf dem Torus in Kongruenzklassen
einzuteilen, und zwar so, dass man von jeder möglichen
Kongruenzklasse genau einen Repräsentanten auswählt
und durch (einen oder zwei) Parameter charakterisiert.
LG Al-Chw.
Nachtrag: Korrektur ...
Ich habe mich da ein Stück weit in die Nesseln gesetzt.
Siehe den neuen Artikel !
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Mo 21.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo al
Leider schein ein Fehler in deinem Anhang, ich kann ihn nicht laden
Gruss leduarz
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> Hallo al
> Leider schein ein Fehler in deinem Anhang, ich kann ihn
> nicht laden
> Gruss leduarz
Guten Abend leduart,
habe es auch bemerkt. Dann ist leider hier die Internet-
Leitung für 2 h ausgestiegen. Jetzt lade ich das Bild nochmal
hoch.
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Mo 21.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo Al
Ichdenke, um was wirklich zu sehen, wäre es spannender ein paar kleinere Bildchen zu machen, auf denen jeweis nur ein oder 2 Geodätische sind, oder einige aber in vrerschiedenen Farben
etwa welche die den Äquatorbreitenkreis = einfachste Geodätische unter wachsendem Winkel schneiden. Am spanndsten find ich die, die sich dem inneren Kreis assymptotisch nähert.
Aber spannend sind sie auch so.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Mo 21.11.2011 | | Autor: | felixf |
Hallo leduart,
> Ichdenke, um was wirklich zu sehen, wäre es spannender
> ein paar kleinere Bildchen zu machen, auf denen jeweis nur
> ein oder 2 Geodätische sind, oder einige aber in
> vrerschiedenen Farben
auf den Bildern ist (wenn ich mich nicht taeusche) jeweils nur eine Geodaete dargestellt. Zumindest eine Kurve, von der das Programm behauptet es sei eine gute Approximation einer Geodaete.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Di 22.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo Felix
Es sind mehrere verschiedene Geodätische auf dem Torus. Eine einzige schneidet die Breitenkreise immer unter demselben Winkel.
Gruss leduart
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> Hallo Felix
> Es sind mehrere verschiedene Geodätische auf dem Torus.
> Eine einzige schneidet die Breitenkreise immer unter
> demselben Winkel.
> Gruss leduart
Hallo leduart,
beachte bitte meine Korrektur !
In den Toruszeichnungen (und den "Kastanien"-Bildern)
hatte ich wirklich jeweils nur eine einzige Kurve zeichnen
lassen, welche zwar über kurze Abschnitte eine gute
Approximation an eine Geodäte darstellt, aber mit der
Zeit mehr und mehr davon abweichen kann. Insofern
waren einzelne meiner Betrachtungen fehlerhaft.
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Mo 21.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> die PDF-Version des Bildes möchte ich
> hiermit
> offiziell zur Edelkastanie erklären.
> Danke für deine Arbeit !
Ich versuche das momentan noch zu verbessern, vor allem: zu verschnellern. Das Hauptproblem ist die Polynomauswertung, die momentan sehr ineffizient programmiert ist (sobald mehr als eine Variable vorliegt). Das wird aber vor allem an der Geschwindigkeit etwas aendern und nicht am Aussehen 
> Mit dem Sichtbarkeitsalgorithmus, der mathematisch
> wirklich interessant ist, habe ich mich inzwischen
> auch auseinandergesetzt. Da ging dann aber schon das
> Wochenende drauf, bis ich dies alles zurechtgezimmert
> hatte und die bei solchen Dingen fast unvermeidlichen
> anfänglichen Programmierfehler lokalisiert und ausge-
> merzt hatte. Immerhin gelang es mir damit dann, wenig-
> stens einen geometrisch einfacheren Körper, nämlich
> einen
> Torus, zu umgarnen, wobei wirklich nur die sichtbaren
> Teile dargestellt werden:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Vor allem am zweiten Bild kann man einen interessanten
> Effekt feststellen. Sie begann rechts oben (Richtung 2
> Uhr)
> im weißen Bereich mit einer ganz eng gewickelten Spirale.
> Es ist klar, dass die Geodäte auf dem Torus nicht einfach
> in diesem Stil weiter gehen kann. Die Windungen um den
> "Schlauch" mit dem kleinen Radius werden allmählich
> lockerer,
> und schließlich geht die Linie überhaupt nicht mehr
> durch
> das "Loch" des Torus, sondern windet sich nur noch dem
> "Schlauch" entlang um die Rotationsachse.
> Zuerst dachte ich, dass dies an Rundungsfehlern liegen
> könnte,
> die sich bei meinem Programm natürlich summieren.
Das ist nicht auszuschliessen
> Jetzt sehe ich das aber anders. Es gibt auf dem Torus in
> sich geschlossene kreisförmige Geodäten, nämlich je
> einen
> mit den Radien R+r ("äußerer Äquator"), R-r ("innerer
> Äquator")
> und unendlich viele vom Radius r ("Meridiane").
> Gewissermaßen im physikalischen Sinne stabil ist von
> diesen
> Bahnen nur eine, nämlich die erste. Bei einer kleinen
> Ab-
> weichung von dieser Bahn führt die Linie wieder dahin
> zurück.
> Alle übrigen kreisförmigen Geodäten sind labil, das
> heißt, die
> geringste Abweichung davon ist unwiderruflich und führt
> die Geodäte auf die Länge in die Nähe der stabilen
> Kreisbahn.
> Zunächst erschien mir dieses Verhalten paradox, und ich
> fragte mich, ob nicht doch Rundungsfehler für den Effekt
> verantwortlich seien. Man kann ja leicht zeigen, dass
> jede
> Geodäte auf dem Torus zu sich selber symmetrisch sein
> muss bezüglich einer Ebenenspiegelung oder eines Produktes
> von zwei Ebenenspiegelungen
> (eine an der Äquatorebene und eine an einer
> Meridianebene).
>
> Jetzt wäre es eine interessante Aufgabe, die Menge aller
> möglichen Geodäten auf dem Torus in Kongruenzklassen
> einzuteilen, und zwar so, dass man von jeder möglichen
> Kongruenzklasse genau einen Repräsentanten auswählt
> und durch (einen oder zwei) Parameter charakterisiert.
Es ist ja so, dass ein Torus homoeomorph zu [mm] $\IC/\Lambda$ [/mm] ist mit einem Gitter [mm] $\Lambda \subseteq \IC$. [/mm] Ich frage mich, ob es zu diesem Torus auch ein [mm] $\Lambda$ [/mm] gibt, so dass [mm] $\IC/\Lambda$ [/mm] und der Torus isometrisch isomorph sind. Haette man ein solches Gitter, so liessen sich die Geodaeten sehr einfach beschreiben, da sie in [mm] $\IC/\Lambda$ [/mm] dem Bild von Geraden in [mm] $\IC$ [/mm] entsprechen.
Meine Differentialgeometrie-Kenntnisse reichen leider nicht weit genug, um mich dazu qualifiziert aeussern zu koennen...
LG Felix
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> Es ist ja so, dass ein Torus homoeomorph zu [mm]\IC/\Lambda[/mm] ist
> mit einem Gitter [mm]\Lambda \subseteq \IC[/mm]. Ich frage mich, ob
> es zu diesem Torus auch ein [mm]\Lambda[/mm] gibt, so dass
> [mm]\IC/\Lambda[/mm] und der Torus isometrisch isomorph sind. Haette
> man ein solches Gitter, so liessen sich die Geodaeten sehr
> einfach beschreiben, da sie in [mm]\IC/\Lambda[/mm] dem Bild von
> Geraden in [mm]\IC[/mm] entsprechen.
Hallo Felix,
dies ist definitiv nicht der Fall !
Ich habe gerade gemerkt, dass wir das Thema des "flachen"
Torus und seiner Geodäten schon vor zweieinhalb Jahren
einmal hier hatten:
https://matheraum.de/read?i=536737
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:45 Mo 21.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Al,
> > Es ist ja so, dass ein Torus homoeomorph zu [mm]\IC/\Lambda[/mm] ist
> > mit einem Gitter [mm]\Lambda \subseteq \IC[/mm]. Ich frage mich, ob
> > es zu diesem Torus auch ein [mm]\Lambda[/mm] gibt, so dass
> > [mm]\IC/\Lambda[/mm] und der Torus isometrisch isomorph sind. Haette
> > man ein solches Gitter, so liessen sich die Geodaeten sehr
> > einfach beschreiben, da sie in [mm]\IC/\Lambda[/mm] dem Bild von
> > Geraden in [mm]\IC[/mm] entsprechen.
>
>
> dies ist definitiv nicht der Fall !
schade... Ich hatte sowas schon befuerchtet, aber die Hoffnung stirbt zuletzt
> Ich habe gerade gemerkt, dass wir das Thema des "flachen"
> Torus und seiner Geodäten schon vor zweieinhalb Jahren
> einmal hier hatten:
> https://matheraum.de/read?i=536737
Ah. Das hab ich damals leider nicht mitbekommen (bzw. mir zumindest nicht durchgelesen).
LG Felix
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Nachtrag: Korrektur ...
Hallo zusammen,
im obigen Artikel habe ich mich (vielleicht auch ein
wenig aufgrund der verführerischen Kraft der Bilder)
geirrt ...
Die beobachtete Unregelmäßigkeit der gezeichneten Kurve
muss wirklich auf die numerische Unvollkommenheit
des Geodäten-Algorithmus zurückzuführen sein.
Symmetrieeigenschaften der Geodäten auf dem Torus
habe ich ja oben schon erwähnt - aber dabei eine ganz
wichtige vergessen: die Periodizität. Aus der Rotations-
symmetrie des Torus und aus seiner Ebenensymmetrie
bezüglich seiner Äquatorebene kann man diese nämlich
beweisen. Jedenfalls ist dieser Beweis relativ leicht zu
führen, falls man annehmen darf, dass die Geodäte
etwa den äußeren Äquatorkreis mehrmals überquert.
Erfolgen zwei aufeinander folgende dieser Überquerungen
etwa in entgegengesetztem Sinn (einmal von Nord nach
Süd und das andere Mal von Süd nach Nord), so muss
die Mittelnormalebene zwischen diesen zwei Punkten
A und B eine Symmetrieebene des Torus sein. Sie schneidet
sich mit der Geodäten in einem Punkt M auf halbem
Weg (der Geodäten entlang) zwischen A und B. In diesem
Punkt M muss die Geodäte tangential an den Breitenkreis
in M sein. Die Bogenstücke AM und BM der Geodäte
sind zueinander kongruent (die Meridianebene in M ist
Symmetrieebene).
Nun nehmen wir den gesamten Geodätenbogen AMB und
spiegeln ihn zuerst an der Meridianebene im Punkt B.
Den entstandenen (natürlich auf dem Torus liegenden
und ebenfalls geodätischen) Bogen spiegeln wir nochmals,
nämlich an der Äquatorebene, und erhalten so als Ergeb-
nis ein geodätisches Bogenstück BNC, welches den Bogen
AMB zu einem insgesamt geodätischen sinusartigen
Bogen AMBNC ergänzt. C liegt wieder auf dem Äquator,
und in N ist wieder die Kurve tangential zum Breitenkreis.
Diese Konstruktion kann nun auf beide Seiten hin
beliebig fortgesetzt werden, und es folgt die Periodizität.
Es verbleiben ähnliche Überlegungen für den Fall, dass
man keine 2 Punkte A und B findet, wo der Äquator
in gegenläufigem Sinn überquert wird ...
Dies überlasse ich den geneigten Leserinnen und Lesern ...
Meine Überlegungen mit der physikalischen Analogie
betr. Stabilität / Labilität einer Geodäte kann man also
nicht auf die (exakten) Geodäten beziehen, welche
periodisch sind, sondern nur auf ihre numerische Appro-
ximation, wie sie im Zeichenprogramm eben benützt
wurde. Die sich aufsummierenden mikroskopischen Fehler
in den einzelnen Rechenschritten wirken sich offenbar so
aus, dass meine Quasi-Geodäten allmählich von ihrem
richtigen Weg abkommen und sich - wenn das ewig so
weitergehen würde, schließlich dem "bequemsten",
nämlich numerisch stabilen geodätischen Umlauf um
den äußeren Äquator annähern würden ...
(das wäre dann immerhin wieder periodisch ).
So gesehen ist die Torusfläche doch immerhin ein
geeignetes Objekt, um die Güte der numerischen
Approximation von Geodäten auf einer Fläche zu
prüfen.
Natürlich darf ich jetzt auch nicht mehr reinen Gewissens
behaupten, dass meine auf die "Kastanie" gewickelte
Kurve eine Geodäte sei. Sie ist es zwar auf jeweils
kleinen Abschnitten wohl mit recht hoher Präzision,
aber halt eben nicht insgesamt.
LG Al-Chwarizmi
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Tschau zäme,
in meinem früheren Artikel habe ich zwei Zeichnungen
eingefügt, die infolge einer ungenauen Extrapolationsmethode
falsch waren.
Inzwischen habe ich meinen Geodäten-Algorithmus verbessert
und damit korrekte Bilder von je einer Geodäte auf einem
Torus produziert, welche stellvertretend für die beiden Arten
nicht-trivialer (also nicht kreisförmiger) Geodäten auf dem
Torus stehen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:14 Do 01.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo al
jetzt scheinen sie wirklich perfekt!
kanst du das jetzt für viele implizite Flächen?
etwa auch sowas:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
cc=bb=0.8
das fände ich spannend
gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hallo al
> jetzt scheinen sie wirklich perfekt!
Du sagst es: sie scheinen perfekt, sind es aber in
Tat und Wahrheit immer noch nicht. Ich löse ja keine
komplexen Variationsrechnungsprobleme, sondern
hatte nur eine gute Idee, wie ich die Geodäten schritt-
weise besser fortsetzen kann, wenn ich jeweils in
den beiden zur Extrapolation benützten Punkten auch
die Normalenvektoren berechne und zur approximativen
Bestimmung des nächsten Punktes mit benütze.
Dann experimentiere ich jeweils noch etwas mit der
Schrittweite, bis es keine auffälligen Fehler mehr gibt.
Der Torus war dazu wirklich sehr geeignet als Testobjekt.
Am Ende scheint es recht einfach, aber ich habe recht
lange gesucht, und zwar nicht im Internet ... dort
habe ich zwar zunächst auch reingeguckt, aber nichts
für meine Frage brauchbares gefunden ...
> kanst du das jetzt für viele implizite Flächen?
> etwa auch sowas:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> cc=bb=0.8
> das fände ich spannend
>
> gruss leduart
Hallo leduart,
eigentlich sollte das jetzt kein großes Problem mehr
sein. Wenn ich Zeit finde, werde ich es einmal versuchen.
Mein Programm ist allerdings (mit den vielen Sichtbar-
keitstests) doch recht langsam geworden ...
Deine 3D-Rhön-Kugel scheint ja gerade danach zu
schreien, von Geodäten umschlungen zu werden !
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
LG Al
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| Aufgabe | | ... noch ein paar Bilddarstellungen... |
Interessant. Ich kann den Kasten "Aufgabenstellung" als Ersteingeber gar nicht löschen, wenn ich zu diesem Zeitpunkt eine Frage stelle. Das war mir noch gar nicht bewusst, vielleicht, weil ich so wenige Fragen stelle. Die behalte ich ja lieber für mich.
Ich würde gern noch mehr Bilder sehen; die Veranschaulichung algebraischer Flächen und ihrer Eigenschaften ist mir sehr lieb.
Leider bin ich in den letzten zwei Wochen kaum dazu gekommen, die "Kastanie" anders zu veranschaulichen, auch wenn ich das gern noch versuchen möchte. Dazu will ich die Videofunktion des Programms "surfer" nutzen, das zum Jahr der Mathematik 2008 erstmals veröffentlicht und seitdem verbessert wurde. Die aktuelle Version stürzt bei mir aber immer dann ab, wenn ich die Lichtquellen verändern will. Bisher habe ich daher keine hübsche Darstellung erzeugen können, bin aber im Kontakt mit den Programmerzeugern.
Wer weitere hübsche algebraische Flächen sucht, möge nach dem "surfer" googeln. Es gab mehrere Wettbewerbe mit diesem Programm, darunter einen von "spektrum der wissenschaft" und einen der Sparkasse Kassel (gut, da hätte man von selbst drauf kommen können...). Die Hochladefunktion der Wettbewerbe ist absichtlich nicht beendet worden, so dass sich inzwischen mehrere tausend algebraische Flächen finden lassen. Ich habe auch dazu beigetragen, ihr werdet mich wahrscheinlich ohne allzu große Mühe identifizieren können, zumal ich bei den beiden genannten Wettbewerbsvarianten einen unwesentlichen Preis gewonnen habe. Das hat mir immerhin den Besitz zweier unveräußerlicher Staubfänger beschert.
Geodäten kann das Programm aber m.W. nicht berechnen, so dass es eher darum gehen kann, die Fläche an sich erst einmal zu veranschaulichen, also wie in leduarts letztem Post zum Thema hier. Das aber gelingt sehr effektiv und schnell und mit ansehnlichen Ergebnissen.
Herzliche Grüße an alle noch am Thema Interessierten,
reverend
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| Aufgabe | | Alternative zu "surfer" für Mac ? |
Hallo reverend,
das mit dem Wettbewerb im Spektrum habe ich auch
(nachträglich) mitbekommen. Für das Programm "surfer"
zur Darstellung von Flächen hätte ich mich auch interessiert,
aber meines Wissens gibt es das nur für Windows.
Jetzt möchte ich hier fragen, ob es "surfer" mittlerweile
vielleicht doch auch für Mac gibt - oder welche Alternativen
in Frage kommen.
Meine eigenen Bilder mache ich zwar normalerweise mit
selber gemachten Programmen. Für schnelles Rendering
gibt es natürlich auf dem Markt ein großes Angebot.
Darin kenne ich mich allerdings nur wenig aus, und ich
würde mich vor allem für Freeware oder zumindest
günstige (und natürlich trotzdem gute) Software interessieren.
Vielleicht hat mir dazu jemand ein paar gute Tipps.
Die Darstellung von Geodäten auf einer Fläche war
etwas, das mich vor einiger Zeit schon interessierte.
Für die numerische Berechnung einer Geodäten (aus
Anfangspunkt und Startvektor) habe ich im Netz
eigentlich nichts passendes gefunden, weshalb ich dann
selber Algorithmen dafür gesucht habe. Der erste war
ganz einfach, aber nicht so genau. Der zweite ist mir
vor ein paar Tagen eingefallen und ist um eine Ordnung
besser als der erste. Er ist ebenfalls nicht schwierig,
und Interessierten könnte ich ihn leicht erklären.
Was für Algorithmen es zu diesem Zweck in der weiten
Welt sonst schon geben mag, weiß ich nicht ...
LG Al-Chwarizmi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:12 Do 01.12.2011 | | Autor: | felixf |
Hallo Al,
vielen Dank fuer die neuen Bilder, ich habe grad nicht so viel Zeit, werde sie mir aber nachher genauer anschauen
> Alternative zu "surfer" für Mac ?
> Hallo reverend,
>
> das mit dem Wettbewerb im Spektrum habe ich auch
> (nachträglich) mitbekommen. Für das Programm "surfer"
> zur Darstellung von Flächen hätte ich mich auch
> interessiert,
> aber meines Wissens gibt es das nur für Windows.
> Jetzt möchte ich hier fragen, ob es "surfer"
> mittlerweile
> vielleicht doch auch für Mac gibt - oder welche
> Alternativen
> in Frage kommen.
Laut der Homepage gibt es surfer auch fuer OSX (zumindest bei Intel-CPUs?), etwa ueber das fink-Projekt (ueber das man ziemlich viele Linux/Unix-Programme fuer OSX bekommen kann).
(Das Programm benoetigt dann moeglicherweise den X-Server und laeuft darin, was nicht super-komfortabel ist, aber es funktioniert dann :) )
> Meine eigenen Bilder mache ich zwar normalerweise mit
> selber gemachten Programmen. Für schnelles Rendering
> gibt es natürlich auf dem Markt ein großes Angebot.
> Darin kenne ich mich allerdings nur wenig aus, und ich
> würde mich vor allem für Freeware oder zumindest
> günstige (und natürlich trotzdem gute) Software
> interessieren.
Es gibt auch noch surf (auch fuer fink), allerdings ist das sozusagen der Vorgaenger von surfer :)
> Vielleicht hat mir dazu jemand ein paar gute Tipps.
> Die Darstellung von Geodäten auf einer Fläche war
> etwas, das mich vor einiger Zeit schon interessierte.
> Für die numerische Berechnung einer Geodäten (aus
> Anfangspunkt und Startvektor) habe ich im Netz
> eigentlich nichts passendes gefunden, weshalb ich dann
> selber Algorithmen dafür gesucht habe.
Ein Programm, welches Geodaeten darstellt, ist mir nicht bekannt (ausser das was hier im Thread genutzt wurde um die Bilder darzustellen ).
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Do 01.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo Al
Ich mache meine Bildchen mit dem bisher nur für mac ausführlichen Programm 3D-XplorMath
3D-XplorMath
das erlaubt, "user defined" Flächen aller Art zu erstellen.
(aber keine Geodätischen) vielleicht probieerst dus mal aus(es st übrigens auch in pascal geschrieben, der sourcecode offen)
Gruss leduart
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Hallo leduart,
danke Dir und auch Felix für die Tipps. Mein Mac, der inzwischen
in die Jahre gekommen ist, ist für surfer und surf nicht mehr
uptodate, aber 3D-XplorMath sollte passen.
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 Do 01.12.2011 | | Autor: | wieschoo |
Hi,
Nach der Suche auch die eigene Oberflächen zu umgarnen kam ich auf eine Seite die beschreibt, wie man mit Maple diese Geodäten auch darstellen kann.
Hatte leider noch keine Zeit mich genauer damit auseinander zusetzen. Vielleicht hat ja jemand interesse.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:20 Sa 10.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Hallo al
> jetzt scheinen sie wirklich perfekt!
> kannst du das jetzt für viele implizite Flächen?
> etwa auch sowas:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
> cc=bb=0.8
> das fände ich spannend
>
> gruss leduart
Guten Abend leduart,
endlich habe ich auch den Sichtbarkeitsalgorithmus (mit
den Sturm-Ketten) richtig im Griff, nachdem ich ein paar
lästige Fehler eliminiert habe.
Der angegebene Parameterwert ff=0.075 führt zu einem
Körper, der nur 6 (anstatt 14) Öffnungen hat (erstes Bild).
Man hat dann quasi ein gut gepolstertes Würfelkantengerüst
mit leichten Dellen an den Würfelecken.
Der Wert ff=0.0075 führt zum zweiten Bild. In deiner obigen
Darstellung hat ff einen Wert irgendwo dazwischen.
Danke nochmal für deine Anregung. Mit dem Programm
macht es nun Spass, eigene weitere Flächen zu kreieren.
Mein Programm braucht dabei nicht einmal wirklich einen
Flächendarstellungsalgorithmus (mit Parameterdarstellung,
Triangulation oder Splines etc.), da ich ja nur eine einzige
Linie oder z.B. eine Linie pro Zusammenhangsteil der
Fläche darstelle. Nebst der "Rhön-Kugel" füge ich noch
eine weitere interessante Fläche hinzu. Um sie zu definieren,
brauchte ich nur die Abstände eines Punktes von drei paar-
weise windschiefen und zu einander senkrechten Geraden.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 Di 06.12.2011 | | Autor: | pi-roland |
Hallo Al,
ich bin beeindruckt - sehr schöne Grafiken sind da heraus gekommen. Aber irgendwie erinnert mich dein Problem an eine Planetebahn-Simulation. Zumindest so wie ich deinen Ansatz zur Ermittlung der Geodäten-Bahn verstanden habe, ähnelt dein Algorithmus meinen Algorithmen zur Himmelskörperbewegung. Dort bedient man sich einfach eines Runge-Kutta-Verfahrens höherer Ordnung, um bessere Ergebnisse zu erzielen. Ist das bei dir nicht auch möglich?
Leider muss ich zugeben, dass meine Programmierungen einige Jahre zurück liegen. Wie man es schafft mit einer implizit gegebenen Funktion zu arbeiten ist mir absolut schleierhaft, daher kann meine Idee auch vollkommen sinnlos sein. Doch dein ursprüngliches Anliegen, die Leserschaft mit ein paar schönen Bildern zu beglücken ist dir gelungen. Vielen Dank und weiterhin frohes Schaffen,
[mm] \pi\mathrm{Roland}.
[/mm]
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> Hallo Al,
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> ich bin beeindruckt - sehr schöne Grafiken sind da heraus
> gekommen. Aber irgendwie erinnert mich dein Problem an eine
> Planetebahn-Simulation. Zumindest so wie ich deinen Ansatz
> zur Ermittlung der Geodäten-Bahn verstanden habe, ähnelt
> dein Algorithmus meinen Algorithmen zur
> Himmelskörperbewegung. Dort bedient man sich einfach eines
> Runge-Kutta-Verfahrens höherer Ordnung, um bessere
> Ergebnisse zu erzielen. Ist das bei dir nicht auch
> möglich?
> Leider muss ich zugeben, dass meine Programmierungen
> einige Jahre zurück liegen. Wie man es schafft mit einer
> implizit gegebenen Funktion zu arbeiten ist mir absolut
> schleierhaft, daher kann meine Idee auch vollkommen sinnlos
> sein. Doch dein ursprüngliches Anliegen, die Leserschaft
> mit ein paar schönen Bildern zu beglücken ist dir
> gelungen. Vielen Dank und weiterhin frohes Schaffen,
>
> [mm]\pi\mathrm{Roland}.[/mm]
Hallo π-Roland,
eigentlich wollte ich mich bei der Frage gar nicht mit Diffe-
rentialgleichungssystemen befassen. Deshalb ging ich von
einem ganz einfachen Ansatz aus, den man vielleicht mit
dem Eulerverfahren vergleichen könnte. Als ich dann insbe-
sondere am Torus feststellen musste, dass das nicht meinen
Ansprüchen entsprach, suchte ich nach einer geometrischen
Idee, um die Methode zu verbessern. Die fand ich dann auch,
nachdem ich verschiedene Ideen ausprobiert hatte. Mit
Ableitungen und Differentialgleichungen muss ich mich
dabei eigentlich kaum beschäftigen - die waren nur im
Hintergrund als Idee vorhanden.
An der Genauigkeit gemessen entspricht diese geometrische
Methode möglicherweise einem einfachen Runge-Kutta-
Verfahren. Ob es auch eine formale Übereinstimmung gibt,
habe ich nicht geprüft. Was ich im Programm an Mitteln
brauche, ist eigentlich nur lineare Extrapolation und eine
Methode, einen nahe an der Fläche liegenden Punkt appro-
ximativ auf diese zu projizieren. Zu diesem Zweck brauche
ich natürlich den Gradienten der Funktion F, von welcher die
Fläche eine Niveaufläche ist, also erste Ableitungen.
Auch beim Sichtbarkeitsalgorithmus mittels Sturmscher
Ketten brauche ich nochmal die Ableitung eines Polynoms.
Ferner habe ich eine Schrittweitensteuerung eingebaut,
um rasch über fast ebene Teile der Fläche zu kommen,
aber doch nicht aus der Bahn geschleudert zu werden,
wenn stärkere Krümmungen auftreten.
LG Al-Chw.
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> Moin Al,
>
> das ist wirklich ein schoenes Objekt
>
> Da ich neugierig bin: mit welchem Programm hast du das
> ganze darstellen lassen?
Es handelt sich nicht um ein (irgendwo erhältliches)
Programm, sondern um ein ad hoc erstelltes Programm
aus meiner eigenen Küche.
Die benützte Programmierumgebung: Pascal (genauer:
TopPascal), so wie fast immer, wenn ich solche
Sachen programmiere.
Für das Programm habe ich mir "from scratch" überlegt,
wie ich für eine implizit gegebene Fläche mit F(x,y,z)=0
ausgehend von zwei (durch Zufall ermittelten)
benachbarten Punkten auf der Fläche die dadurch
bestimmte Geodäte in genügend guter Approximation
berechnen kann. Das war eine nette Übung in
Extrapolation ...
Wer mir also eine interessante zusammenhängende
und (außer ev. in einigen Spitzen) differenzier-
bare Fläche durch eine (nicht allzu komplizierte)
Gleichung der Form F(x,y,z)=0 angibt, dem kann ich
eine oder mehrere geodätische Linien darauf legen ...
Für das dargestellte Beispiel war allerdings schon
wegen der schieren Länge der zu berechnenden Kurve
einiges an Rechenzeit erforderlich - aber da bin ich
aus früheren Zeiten (z.B. auf einem Commodore
oder Apple II) noch an ganz andere Geduldsübungen
gewöhnt ...
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mi 30.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo Felix,
du hast mich mit deinem Hinweis zur Methode mit
den Sturmschen Ketten (mit welcher man die
Anzahl der Nullstellen eines Polynoms in einem
gegebenen Intervall [a..b] berechnen kann) dazu
angespornt, weitere Flächen im [mm] \IR^3 [/mm] , welche man
durch polynomiale Gleichungen beschreiben kann,
mit Geodäten zu "umgarnen" und damit auch darzu-
stellen. Dabei habe ich wieder selber Gleichungen
von Flächen entwickelt, bei welchen insbesondere
die Sichtbarkeitsfragen im Zentrum standen.
Hier nun für dich und für alle anderen Interessierten
ein paar neue Grafiken:
[Dateianhang nicht öffentlich] [Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich] [Dateianhang nicht öffentlich]
LG Al
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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![[]](http://2.bp.blogspot.com/-MquBFMb5wwA/Tf4XNgkdheI/AAAAAAAAB_Q/VxYxDUD9Kzk/s1600/al_st_exupery07_le_petit_prince5a%255B1%255D+%25282%2529.jpg){kind=small}
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Cervino![[]](http://img.fotocommunity.com/photos/11600966.jpg){kind=small}
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