+c bestimmen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Sa 15.10.2011 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion [mm] y=2x-x^2. [/mm] Diese Funktion schließt zwischen ihren Nullstellen mit der x-Achse eine endliche Fläche ein. Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers der entsteht, wenn diese Fläche um die x-Achse rotiert. |
Hallo,
ich habe leider immer wieder Schwierigkeiten, bei derartigen Aufgaben, +c herauszufinden, sofern dieses nicht angegeben ist.
Zunächst mal die Funktion
[mm] f(x)=2x-x^2
[/mm]
Mit Ableitungen
f'(x)=2x-2
f''(x)=2
Wie finde ich nun heraus, welchen Wert "c" hat.
In weiterer Folge müsste ich als nächsten Schritt ja dann die Nullstellen ausrechnen, bevor ich entsprechend integriere.
Besten Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Sa 15.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist die Funktion [mm]y=2x-x^2.[/mm] Diese Funktion schließt
> zwischen ihren Nullstellen mit der x-Achse eine endliche
> Fläche ein. Berechnen Sie das Volumen des
> Rotationskörpers der entsteht, wenn diese Fläche um die
> x-Achse rotiert.
> Hallo,
>
>
> ich habe leider immer wieder Schwierigkeiten, bei
> derartigen Aufgaben, +c herauszufinden, sofern dieses nicht
> angegeben ist.
>
> Zunächst mal die Funktion
> [mm]f(x)=2x-x^2[/mm]
>
> Mit Ableitungen
> f'(x)=2x-2
>
> f''(x)=2
>
> Wie finde ich nun heraus, welchen Wert "c" hat.
> In weiterer Folge müsste ich als nächsten Schritt ja dann
> die Nullstellen ausrechnen, bevor ich entsprechend
> integriere.
>
>
> Besten Dank
>
Hallo,
du brauchst hier überhaupt kein "+c".
Es rotiert eine gegebene Funktion, und die ist konkret gegeben (ohne ein noch zu ermittelndes "plus c". (Zum Vergleich: in einer deiner letzten Aufgaben hattest du nur die Ableitung einer Funktion gegeben; da konnte die Funktion natürlich ein "plus c" besitzen).
Damit hat sie auch konkret ermittelbare Nullstellen, womit deine Integrationsgrenzen eindeutig bestimmt sind.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Sa 15.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke, das klingt logisch, okay ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Ich erhalte jedoch für [mm] V=\pi*\integral_{0}^{2}{x^4-4x^3+4x^2 dx}=\bruch{4}{3}\pi. [/mm] Wenn ich mir dass aber mit dem Grapher plotte und das Volumen ausrechnen lasse, bekomme ich dort 3,351 als Lösung.
Welcher Wert stimmt nun?
Danke und beste Grüße
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Hallo drahmas,
> Hallo,
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> danke, das klingt logisch, okay .
>
> Ich erhalte jedoch für
> [mm]V=\pi*\integral_{0}^{2}{x^4-4x^3+4x^2 dx}=\bruch{4}{3}\pi.[/mm]
> Wenn ich mir dass aber mit dem Grapher plotte und das
> Volumen ausrechnen lasse, bekomme ich dort 3,351 als
> Lösung.
>
> Welcher Wert stimmt nun?
>
Das vom Grapher angegebene Volumen stimmt.
> Danke und beste Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Sa 15.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
hm, was mache ich denn dann verkehrt?
Da erkenn ich nämlich leider auf den ersten Blick nichts. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Besten Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Sa 15.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Fehler gefunden. ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Sa 15.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
jetzt bin ich gänzlich verwirrt.
Bei der anderen Aufgabe, habe ich falsch integriert und zunächst nicht den richtigen Wert erhalten.
Hier aber scheint die Integration zu stimmen.
Ich habe [mm] f(x)=-3x^2+3
[/mm]
Das ergibt mit der Binomischen Formel: [mm] 9x^4+18x^2+9
[/mm]
Wenn ich das dann integriere erhalte ich
[mm] V=2*\pi*\integral_{0}^{1}{9x^4+18x^2+9x dx}=2*\pi*(9*\bruch{x^5}{5}+18*\bruch{x^3}{3}+9x=105,56
[/mm]
Der Computer sagt jedoch 30,16?
Wie kommt das?
Besten Dank
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Hallo drahmas,
> jetzt bin ich gänzlich verwirrt.
> Bei der anderen Aufgabe, habe ich falsch integriert und
> zunächst nicht den richtigen Wert erhalten.
>
> Hier aber scheint die Integration zu stimmen.
> Ich habe [mm]f(x)=-3x^2+3[/mm]
>
> Das ergibt mit der Binomischen Formel: [mm]9x^4+18x^2+9[/mm]
Nein. Richtig wäre [mm] 9x^4\blue{-}18x^2+9
[/mm]
>
> Wenn ich das dann integriere erhalte ich
>
> [mm]V=2*\pi*\integral_{0}^{1}{9x^4+18x^2+9x dx}=2*\pi*(9*\bruch{x^5}{5}+18*\bruch{x^3}{3}+9x=105,56[/mm]
Was macht das x vor dem dx da?
> Der Computer sagt jedoch 30,16?
>
> Wie kommt das?
Mit dem Minus müsstest Du das auch herausbekommen: 30,1592895
Grüße
reverend
>
> Besten Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Sa 15.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke schön für die Antwort.
Das x war ein Tippfehler, gerechnet hab ich ohne x vor dx.
[mm] V=2*\pi*\integral_{0}^{1}{9x^4+18x^2+9 dx}=2*\pi*(9*\bruch{x^5}{5}+18*\bruch{x^3}{3}+9x)=105,56
[/mm]
Daher wundert mich auch das Ergebnis. Da das doch symmetrisch ist, brauche ich doch [mm] \pi*\integral_{-1}^{0}{9x^4+18x^2+9 dx} [/mm] gar nicht ausrechnen, oder? Das ist ja vom Volumen gleich und es müsste genügen nur mit [mm] 2*\pi [/mm] zu multiplizieren, wie oben.
Warum gibt mir mein Taschenrechner da einen so stark abweichenden Wert aus?
Beste Grüße
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Hallo, du hast den Hinweis von reverend nicht beachtet, [mm] 9x^4-18x^2+9
[/mm]
deine Stammfunktion [mm] \bruch{9}{5}x^{5}-6x^{3}+9x [/mm] jetzt F(1)-F(0)=4,8
vor dem Integral steht noch [mm] 2\pi, [/mm] der Faktor 2 entsteht durch die Symmetrie, ergibt also [mm] 9,6\pi
[/mm]
alternativ kannst du berechnen [mm] \pi\integral_{-1}^{1}{(-3x^2+3)^2 dx}
[/mm]
Steffi
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