(-1)^s beweis < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:12 Fr 09.04.2010 | | Autor: | pythagora |
| Aufgabe | | Ist [mm] \pi\inS_n [/mm] dargestllbar als ein produkt (in [mm] S_n) [/mm] von s Transpositionen, so gilt [mm] sgn\pi=(-1)^{s}. [/mm] |
Hallo,
ich soll das oben genannte beweisen und zwar mit dem satz:
Die Abbildung [mm] sgn:S_n\to [/mm] { 1,-1 } ist ein Gruppenhomomorphismus, d.h. es gilt [mm] sgn(\sigma\circ\lambda)=sgn\sigma*sgn\lambda [/mm] für alle [mm] \sigma,\lambda\in S_n.
[/mm]
Ich bin mir da nicht sicher, asber da ja bei einer geraden Anzahl an Transprositionen (für s) 1 rauskommt und bei einer ungeraden Anzahl -1 habe ich das per Induktion nachgewiesen, dass für alle geraden/ungeraden 1 bzw. -1 herauskommt; ich habe das so gemacht:
I.A.:
[mm] sgn\pi=(-1)^{2}=1 [/mm] --> stimmt
I.S.:
[mm] sgn\pi=(-1)^{2n}
[/mm]
[mm] -->sgn\pi=((-1)^{2})^{n}
[/mm]
[mm] -->sgn\pi=(1)^{n}
[/mm]
[mm] -->sgn\pi=1 [/mm] für alle geraden s (eraden anzahlen an transspsitionen)
für ungerade habe ich das auch per induktion gemacht, und dabei istfür alle ungerades signum -1
nun weiß ich aber nicht, ob das so geht... oder muss/kann ich den satz [mm] sgn(\sigma\circ\lambda)=sgn\sigma*sgn\lambda [/mm] noch irgendwie (anders) miteinbeziehen, ich hab das gefühl, dass ich den gar nicht benutzt habe.. und weiß auch nicht, ob das jetzt wirklich bewiesen ist..
Kann mir jemand helfen??
Vielen Dank schonmal
Liebe Grüße
pythagora
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo!
Ich möchte dich nur auf diese Diskussion hinweisen. Meiner Meinung nach biste auf dem richtigen Weg.
Du müsstest vielleicht noch sagen, dass s = 2n und das dann verwenden.. aber der Grundgedanke sollte stimmen!
Grüsse, Amaro
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Aha, ok, danke für den hinweis mit dem anderen thread^^
Aber ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich anfange:
ich habe mir das so gedacht (in Kurzform):
Für den beweis von sgn [mm] \pi=(-1)^{s} [/mm] wird zunächst zwischen geraden un ungeraden Anzahlen an transpositionen (s) unterschieden. Daraufhin zeige ich die Gültigkeit für gerade s, sprich s=2n mit [mm] n\in \IN_{>0}:
[/mm]
"Induktionsanfang":
[mm] \pi=\sigma\circ\lambda
[/mm]
[mm] sgn\pi=sgn(\sigma\circ\lambda)=sgn\sigma*sgn\lambda=(-1)*(-1)=(-1)^2=1
[/mm]
und dann der indunktionsscritt mit
[mm] sgn\pi=(-1)^{2n}
[/mm]
...
[mm] sgn\pi=1^{n} [/mm] für alle [mm] n\in \IN_{>0}
[/mm]
geht das so?? (und stimmt das auch mit den kalmmern: muss ich bei sgn das dahinter immer in klammern setzen, denn im skript steht das bei mir [mm] so:sgn(\sigma\circ\lambda)=sgn\sigma*sgn\lambda [/mm] muss ich da noch irgendwas in klammern setzten, vllt das [mm] \pi??
[/mm]
Liebe Grüße und vielen lieben Dank, ihr seid super. Auch die lieben Leute im anderen Thread.
Pythagora
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hey
> Aha, ok, danke für den hinweis mit dem anderen thread^^
>
> Aber ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich anfange:
> ich habe mir das so gedacht (in Kurzform):
> Für den beweis von sgn [mm]\pi=(-1)^{s}[/mm] wird zunächst
> zwischen geraden un ungeraden Anzahlen an transpositionen
> (s) unterschieden. Daraufhin zeige ich die Gültigkeit für
> gerade s, sprich s=2n mit [mm]n\in \IN_{>0}:[/mm]
>
> "Induktionsanfang":
> [mm]\pi=\sigma\circ\lambda[/mm]
>
> [mm]sgn\pi=sgn(\sigma\circ\lambda)=sgn\sigma*sgn\lambda=(-1)*(-1)=(-1)^2=1[/mm]
>
> und dann der indunktionsscritt mit
> [mm]sgn\pi=(-1)^{2n}[/mm]
> ...
> [mm]sgn\pi=1^{n}[/mm] für alle [mm]n\in \IN_{>0}[/mm]
>
> geht das so?? (und stimmt das auch mit den kalmmern: muss
> ich bei sgn das dahinter immer in klammern setzen, denn im
> skript steht das bei mir
> [mm]so:sgn(\sigma\circ\lambda)=sgn\sigma*sgn\lambda[/mm] muss ich
> da noch irgendwas in klammern setzten, vllt das [mm]\pi??[/mm]
Eigentlich stimmt alles. Nur wie bereits im anderen Thread erwähnt, ein Induktionsbeweis ist hier nicht nötig, da es nur 2 Fälle, s gerade oder ungerade gibt, und wenn du s = 2n bzw. s = 2n+1 setzt, dann gilt deine Umformung für ein beliebiges n [mm] \ge [/mm] 0.
Insofern ist es schon genug, wenn du schreibst (jetzt beispielsweise für s gerade):
s gerade [mm] \Rightarrow [/mm] s = 2n für ein n [mm] \in \IN_{\ge 0}
[/mm]
[mm] sgn(\pi) [/mm] = [mm] sgn(\lambda_{1}\circ...\circ\lambda_{s}) [/mm] = [mm] sgn(\lambda_{1}\circ...\circ\lambda_{2n}) \overset{Satz:}{=} sgn(\lambda_{1})*...*sgn(\lambda_{2n}) [/mm] = [mm] (-1)^{2n} [/mm] = [mm] (-1)^{s} [/mm] = 1.
Das gleiche für s ungerade.
Hast du diese 2 Fälle aufgschrieben, bist du fertig.. :)
>
> Liebe Grüße und vielen lieben Dank, ihr seid super. Auch
> die lieben Leute im anderen Thread.
>
> Pythagora
>
Grüsse, Amaro
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Hi,
danke, dann ist es wohl eher eine Fallunterscheidung und keine Induktion, oder??
Pythagora
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Hey
> Hi,
> danke, dann ist es wohl eher eine Fallunterscheidung und
> keine Induktion, oder??
>
Ist so. Induktion wäre hier zwar richtig, aber nicht nötig.
Übrigens ist es auch nicht nötig, dass du [mm] (-1)^{2n} [/mm] = [mm] ((-1)^{2})^{n} [/mm] = [mm] 1^{n} [/mm] auseinandernimmst, da 2n sowieso gerade ist und somit ist [mm] (-1)^{2n} [/mm] = 1.
> Pythagora
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Fr 09.04.2010 | | Autor: | pythagora |
Hi,
> Ist so. Induktion wäre hier zwar richtig, aber nicht
> nötig.
ok, und da ich jetzt keinen induktionsanfang mache, sondern nur zeige, dass bei s=2n [mm] sgn(\pi)=1 [/mm] lasse ich die bezeichnugn induktion besser gweg. Ich habe jetzt geschrieben, dass ich für den beweis zwischen geraden und ungeraden anzahlen an transpositionen unterscheide und danach beweise ich die dann einzelnd
> Übrigens ist es auch nicht nötig, dass du [mm](-1)^{2n}[/mm] =
> [mm]((-1)^{2})^{n}[/mm] = [mm]1^{n}[/mm] auseinandernimmst, da 2n sowieso
> gerade ist und somit ist [mm](-1)^{2n}[/mm] = 1.
dachte ich mir schon, aber ich fand es ganz überschaulich, das nochmal bis [mm] 1^n [/mm] aufzulösen, ist doch ok, oder??
Vielen Dank.
pythagora
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