-sup(A)=Inf(-A) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Do 02.05.2013 | | Autor: | Hero991 |
| Aufgabe | Seien A [mm] \IR [/mm] beschränkte eine nicht-leere Teilmenge. Es wird definiert:
-A := [mm] \{-a | a \in A \}
[/mm]
Beweisen Sie:
-sup(A) = inf(-A) |
Hallo,
ich bin noch nicht ganz Fit, etwas zu Beweisen und bitte um Korrektur.
Beweis durch Widerspruch:
Behauptung: -sup(A) [mm] \not= [/mm] Inf(-A)
Sei 0 < a [mm] \in [/mm] A [mm] \le [/mm] x [mm] \in \IR \Rightarrow [/mm] sup(A)= x , inf(A)=0
Bei -A gilt dann folgendes, für sup: -x [mm] \le [/mm] -a < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] -sup(A) = -x, denn -(sup(A))= -(x) [mm] \gdw [/mm] -sup(A) = -x
Bei -A gilt dann folgendes, für Inf: Inf(A) =0 [mm] \Rightarrow [/mm] Inf(-A) = -x
[mm] \Rightarrow [/mm] -sup(A) = Inf(-A) - Widerspruch!
Ist, dass so richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Do 02.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Seien A [mm]\IR[/mm] beschränkte eine nicht-leere Teilmenge. Es
> wird definiert:
> -A := [mm]\{-a | a \in A \}[/mm]
>
> Beweisen Sie:
> -sup(A) = inf(-A)
> Hallo,
> ich bin noch nicht ganz Fit, etwas zu Beweisen und bitte
> um Korrektur.
> Beweis durch Widerspruch:
>
> Behauptung: -sup(A) [mm]\not=[/mm] Inf(-A)
> Sei 0 < a [mm]\in[/mm] A [mm]\le[/mm] x [mm]\in \IR \Rightarrow[/mm] sup(A)= x ,
> inf(A)=0
> Bei -A gilt dann folgendes, für sup: -x [mm]\le[/mm] -a < 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] -sup(A) = -x, denn -(sup(A))= -(x) [mm]\gdw[/mm]
> -sup(A) = -x
>
> Bei -A gilt dann folgendes, für Inf: Inf(A) =0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> Inf(-A) = -x
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] -sup(A) = Inf(-A) - Widerspruch!
>
>
> Ist, dass so richtig?
Nein. Es ist ein völliges Chaos, das man nicht kommentieren kann !
Wir setzen s:= sup(A). Dann gilt: a [mm] \le [/mm] s für alle a [mm] \in [/mm] A, also
-s [mm] \le [/mm] -a für alle a [mm] \in [/mm] A.
Damit ist -s eine untere Schranke von -A.
Jetzt mußt Du nur noch zeigen: -s ist die größte untere Schranke von -A.
FRED
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