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an Banachella: danke dir fuer die Antwort und den Hinweis auf den Fehler des Parameters P. ich habe noch eine andere Frage und bitte um eure Hilfe.
sei [mm] (U_{\alpha}) (\alpha\in [/mm] A) irgendeine offene Ueberdeckung eines kompakten metrischen Banachraums X. Zeige, zum Beispiel durch widerspruch, dass es ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt, sodass die [mm] \varepsilon-Umgebung U_{\varepsilon}(x) [/mm] jedes Punktes [mm] x\in [/mm] X in mindestens einer Menge [mm] U_{\alpha(x)} [/mm] der Ueberdeckung [mm] U_{\alpha} (\alpha\in [/mm] A)vollstaendig enthalten ist.
mir ist es ziemlich klar, aber ich weiss nicht wie ich das aufschreiben kann! :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 Do 19.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Bitte Fragen zu völlig neuen Themenkomplexen in einen Extra-Thread stellen!
Ich verschiebe die Frage jetzt einmal...
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 Do 19.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo Julius!
Ich habs dann mal verschoben 6 Stunden nach deiner Ankündigung das zu tun. *g
Gruß Micha
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Hallo!
Nimm mal an, es gebe kein solches [mm] $\varepsilon>0$.
[/mm]
Setze zu [mm] $n\in\IN,\ \alpha\in [/mm] A$ [mm] $U_{n,\alpha}:=\bigcup\limits_{x\in X,\ U_{\bruch{1}{n}}(x)\subset U_\alpha} U_{\bruch{1}{n}}(x)$.
[/mm]
[mm] $U_{n,\alpha}$ [/mm] ist also gerade die Vereinigung all jener offenen Kugeln mit dem Radius [mm] $\bruch{1}{n}$, [/mm] die in [mm] $U_\alpha$ [/mm] liegen.
Die [mm] $U_{n,\alpha}$ [/mm] sind offen und sie überdecken $X$. Aber es gibt nach Voraussetzung keine endiche Teilüberdeckung! Denn dann gäbe es ja ein größtes $n$ für das ein [mm] $U_{n,\alpha}$ [/mm] zu dieser Überdeckung gehört.
Das ist ein Widerspruch.
Kommst du mit dem Beweis zurecht?
Gruß, banachella
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Aber es
> gibt nach Voraussetzung keine endiche Teilüberdeckung! Denn
> dann gäbe es ja ein größtes [mm]n[/mm] für das ein [mm]U_{n,\alpha}[/mm] zu
> dieser Überdeckung gehört.
> Das ist ein Widerspruch.
ich hab die antwort sehr viele male gelesen, aber hab leider nicht verstanden und keinen widerspruch gefunden. kannst du vielleicht ein bischen klarer erlaeutern!!
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Hallo!
Die Idee ist folgende: Ich konstuiere mir eine Familie von offenen Mengen. Diese überdecken $X$. Das liegt daran, weil ja jedes [mm] $x\in [/mm] X$ in einem [mm] $U_\alpha$ [/mm] liegt. Weil [mm] $U_\alpha$ [/mm] offen ist, gibt es ein [mm] $n\in\IN$, [/mm] so dass [mm] $U_{\bruch{1}{n}}(x)\subset U_\alpha$. [/mm] Also liegt $x$ (und auch [mm] $U_{\bruch{1}{n}}(x)$) [/mm] in [mm] $U_{n,\alpha}$.
[/mm]
Weil $X$ kompakt ist, muss es eine endliche Teilüberdeckung geben. Aber:
Wenn es eine endliche Teilüberdeckung [mm] $\cal{U}$ [/mm] gibt, dann gibt es ja ein größtes [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit [mm] $U_{N,\alpha}\subset U_\alpha$ [/mm] für alle [mm] $\alpha$. [/mm] Aber da das eine Überdeckung ist, liegt ja jetzt jedes [mm] $x\in\X$ [/mm] in irgendeinem [mm] $U_{N,\alpha_0}$! [/mm] Also gibt es zu jedem $x$ ein [mm] $\alpha_0$, [/mm] so dass [mm] $U_{\bruch{1}{N}}(x)\subset U_{\alpha_0}$. [/mm] Dann ist ja [mm] $\varepsilon:=\bruch{1}{N}$ [/mm] gerade das [mm] $\varepsilon$, [/mm] das es nach Voraussetzung gar nicht gibt. Also haben wir hier einen Widerspruch.
Ist es dir jetzt etwas klarer geworden?
Gruß, banachella
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 Mo 23.05.2005 | | Autor: | astro_son |
schoene dank banachella
das problem ist dass ich Ueberdeckung und teilueberdeckung nicht richtig gemacht habe.
jetzt hab ich verstanden.
danke dir nochmal
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