1-Form auf Halbebene exakt? < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
Ich habe folgende 1-Form gegeben:
[mm]\omega = \frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy[/mm]
diese soll auf der Halbebene:
[mm]H:= \{(x,y): x > 0\}[/mm] exakt sein.
Im Script wird gesagt, dass [mm]\omega[/mm] exakt ist, falls es eine (k-1)-Form [mm]\alpha[/mm] gibt mit [mm]\omega = d\alpha[/mm]
Heißt das ich muss nun [mm]\omega[/mm] in eine (k-1)-Form bringen?
Aber wie mache ich das?
Danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 So 18.04.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
bei deiner Differentialform [mm] $\omega$ [/mm] handelt es sich doch um eine $1$-Form. D.h. du musst eine $0$-Form [mm] $\alpha$ [/mm] finden, die [mm] $\mathrm{d}\alpha [/mm] = [mm] \omega$ [/mm] erfuellt. Weist du, was eine $0$-Form ist?
Wenn du das weist, dann solltest du in Richtung 'totales Differential' denken bzw in Richtung Stammfunktion.
LG
Kroni
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Hi,
Die 0-Form kann man doch so schreiben:
[mm]\alpha = f_{1}dx^1[/mm]
Ich muss nun also eine Funktion [mm]f_{1}[/mm] finden die abgeleitet nach [mm]dx^1[/mm] genau [mm]\omega[/mm] ausspukt??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 So 18.04.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
fast. Du hast ja in deiner Form noch ein [mm] $\mathrm{d}$ [/mm] stehen...Das waere dann nach Defnition wieder eine $1$-Form. Eine $0$-Form ist eine 'normale' Funktion. Diese wird dann wovon abhaengen? Was muss dann gelten?
LG
Kroni
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Hi,
Die 0-Form ist also nur eine Standard-Funktion.
Nun macht das ganze wieder Sinn, vor allem wenn man deinen Tipp "totales Differential" berücksichtigt, weil ich kann ja [mm]d\alpha[/mm] schreiben als:
[mm]d\alpha = \frac{\partial \alpha}{\partial x}dx+\frac{\partial \alpha}{\partial y} dy[/mm]
Ich suche nun die Funktion [mm]\alpha[/mm], die abgeleitet nach den Komponenten die entsprechenden Faktoren von [mm]\omega[/mm] ausspukt:
[mm]\alpha = -arctan(\frac{x}{y})[/mm]
erfüllt dies.
Wie beziehe ich das ganze nun noch auf die Halbebene, die habe ich ja noch gar nicht berücksichtigt.
Wie kann ich dann später zeigen (eine weitere Aufgabe), dass [mm]\omega[/mm] auf ganz [mm]\IR^2\ \{(0,0)\}[/mm] nicht exakt ist?
LG
Matze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 So 18.04.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Matze!
> Die 0-Form ist also nur eine Standard-Funktion.
>
> Nun macht das ganze wieder Sinn, vor allem wenn man deinen
> Tipp "totales Differential" berücksichtigt, weil ich kann
> ja [mm]d\alpha[/mm] schreiben als:
>
> [mm]d\alpha = \frac{\partial \alpha}{\partial x}dx+\frac{\partial \alpha}{\partial y} dy[/mm]
>
> Ich suche nun die Funktion [mm]\alpha[/mm], die abgeleitet nach den
> Komponenten die entsprechenden Faktoren von [mm]\omega[/mm]
> ausspukt:
>
> [mm]\alpha = -arctan(\frac{x}{y})[/mm]
>
> erfüllt dies.
Nimm lieber [mm] $\arctan(\frac{y}{x})$.
[/mm]
> Wie beziehe ich das ganze nun noch auf die Halbebene, die
> habe ich ja noch gar nicht berücksichtigt.
Na, fuer $y = 0$ (bei meiner Funktion jetzt) ist die Funktion doch gar nicht definiert. Aber wenn du dich auf $y > 0$ beschraenkst, passt alles.
Deine Funktion funktioniert dagegen nur fuer $x [mm] \neq [/mm] 0$, also nicht gerade auf der oberen Halbebene.
> Wie kann ich dann später zeigen (eine weitere Aufgabe),
> dass [mm]\omega[/mm] auf ganz [mm]\IR^2\ \{(0,0)\}[/mm] nicht exakt ist?
Ueberlege dir, dass du keine Funktion auf ganz [mm] $\IR^2 \setminus \{ (0, 0) \}$ [/mm] finden kannst, deren Ableitung [mm] $\omega$ [/mm] ist. So eine Funktion ist ja bis auf eine additive Konstante eindeutig. Und wenn du sie etwa auf die obere, die untere, die linke oder rechte Halbebene einschraenkst bekommst du da durch Ableiten dieselbe $1$-Form.
Und wie die Funktion dort aussehen muss (bis auf eine additive Konstante) hast du ja oben schon bestimmt. Also kannst du jetzt schauen, ob du die einzelnden Funktionen passend zusammenkleben kannst.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 So 18.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> So eine Funktion
> ist ja bis auf eine additive Konstante eindeutig. Und wenn
> du sie etwa auf die obere, die untere, die linke oder
> rechte Halbebene einschraenkst bekommst du da durch
> Ableiten dieselbe [mm]1[/mm]-Form.
Anderer Standardtrick: integriere die 1-Form über den Einheits-Kreis (oder eine andere glatte Kurve ohne die 0) - falls dies nicht 0 ist, so ist die 1-Form auch nicht exakt (satz von stokes).
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 So 18.04.2010 | | Autor: | felixf |
Moin SEcki,
> > So eine Funktion
> > ist ja bis auf eine additive Konstante eindeutig. Und wenn
> > du sie etwa auf die obere, die untere, die linke oder
> > rechte Halbebene einschraenkst bekommst du da durch
> > Ableiten dieselbe [mm]1[/mm]-Form.
>
> Anderer Standardtrick: integriere die 1-Form über den
> Einheits-Kreis (oder eine andere glatte Kurve ohne die 0) -
> falls dies nicht 0 ist, so ist die 1-Form auch nicht exakt
> (satz von stokes).
ja, das geht auch wunderbar, aber da man hier die einzelnden Stammfunktionen auf den vier Halbebenen schon geschenkt bekommt, und sehr einfach die additive Konstante zwischen ihnen bestimmen kann, kommt man so mit deutlich weniger Rechenaufwand zum Ziel 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 So 18.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> ja, das geht auch wunderbar, aber da man hier die
> einzelnden Stammfunktionen auf den vier Halbebenen schon
> geschenkt bekommt, und sehr einfach die additive Konstante
> zwischen ihnen bestimmen kann, kommt man so mit deutlich
> weniger Rechenaufwand zum Ziel
Hm, wie mann's nimmt - ich kann das Integral über [m](\cos(t),\sin(t))[/m] im Kopf zu [m]2*\pi[/m] berechnen für den Einheistkreis. Ist ja schließlich auch die "Volumenform" ("Linienelement") des Kreises. Gut, wenn man das andere schon berechnet hat, kann man das so machen - aber das hab ich mir einfach nicht überlegt =)
SEcki
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