1. Semester Mathematik < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:17 Do 23.10.2014 | | Autor: | unfaehik |
| Aufgabe | Der stadtbekannte Fussballtrainer André B. möchte trotz des beengten Trainingsplatzes, der ihm zur Verfügung steht, möglichst individuell mit seinen Spielern trainieren. Deshalb plant er, mehrere Seile kreuz und quer über den Platz zu spannen, sodass dieser in viele Bereiche unterteilt wird. Leider sind die Seile teuer und sein Verein muss sparen. Sie können ihm jedoch helfen, indem Sie folgendes mathematisches Problem lösen:
Für eine natürliche Zahl n bezeichne R(n) die maximal mögliche Anzahl von Regionen, in die man die Ebene durch einzeichnen von n Geraden aufteilen kann. Bestimmen Sie eine Rekursionsformel für R(n) und beweisen Sie diese mit Hilfe des Prinzips der vollständigen Induktion. Leiten Sie anschließend damit eine geschlossene Formel für R(n) her. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/1-Semster-Mathematik
und
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=547365
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Zu 4: Hier hab ich nichtmal einen Ansatz für die Lösung. Ich kann diese Rekursionsformel nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:14 Do 23.10.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo unfaehik!
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> Zu 4: Hier hab ich nichtmal einen Ansatz für die Lösung.
> Ich kann diese Rekursionsformel nicht.
Die Rekursion kommt erst später. Mal dir die Situation erstmal auf. Zeichne neue Geraden jeweils so, dass möglichst viele neue "Trainingsplätze" entstehen (wie muss die neue Gerade gezeichnet werden?.
Notiere jeweils, wie viele Trainingsplätze bei n Geraden möglich sind und versuche ein Schema zu erkennen.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Do 23.10.2014 | | Autor: | unfaehik |
Wäre es so richtig beantwortet ?
IV: (n²+n+2)/2
IA: n = 0
0²+0+2 durch 2 = 1 1 Weil es ein Trainingsplatz ist.
IS: n -> n+1
(n²+n+2)/2 +n+1 = ((n+1)²+(n+1)+2)/2
dann auf beiden seiten auflösen, sodass da bei beiden am ende exakt das selbe steht.
Würde das so gehen ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Do 23.10.2014 | | Autor: | nzocker |
hi,
ich sitze grade an der selben Aufgabe.
Hast du mittlerweile einen brauchbaren Ansatz gefunden?
Ich kann mir einfach keine Gleichung herleiten die irgendwie sinn ergibt.
Ein Tipp wäre sehr hilfreich :)
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Do 23.10.2014 | | Autor: | abakus |
> hi,
>
> ich sitze grade an der selben Aufgabe.
> Hast du mittlerweile einen brauchbaren Ansatz gefunden?
> Ich kann mir einfach keine Gleichung herleiten die
> irgendwie sinn ergibt.
> Ein Tipp wäre sehr hilfreich :)
>
> danke
Hallo,
die Lösung muss man sich ERARBEITEN.
Zeichne durch das Rechteck eine Gerade.
Wie viele Teilflächen entstehen?
Zeichne eine zweite Gerade so, dass so viel wie möglich neue Teilflächen entstehen!
(Dazu sollten sich die Geraden im Inneren des Rechtecks schneiden.)
Zeichne eine dritte Gerade ein und zähle die Teilflächen!...
Man kann eine Übersicht aufstellen:
Geraden Flächen
1 2
2 4
3 7
4 ...
Ihr sollt nun eine REKURSIVE Formel für die Anzahlen der Teilflächen finden. Die Frage dazu lautet: Auf welche Weise entsteht die neue Anzahl von Teilflächen aus der bisherigen Anzahl, wenn man noch ein neues Seil dazunimmt?
Gruß Abakus
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> Wäre es so richtig beantwortet ?
Hallo,
kommt darauf an, was Du mit "es" meinst...
Die Frage nach der Rekursionsformel hast Du bisher nicht beantwortet, und daher hast Du die Rekursionsformel auch logischerweise nicht mit vollständiger Induktion bewiesen.
Du hast aber die geschlossene Formel für R(n) richtig gefunden, nämlich [mm] R(n)=\bruch{n^2+n+2}{2}.
[/mm]
Deinem Beweisversuch entnehme ich, wenn ich wohlmeinend bin, sogar, daß Du weißt, was passiert, wenn Du ein neues Seil spannst, daß Du also im Grunde die Rekursionsformel kennst.
Du mußt sie jedoch noch hinschreiben - und wie gefordert mit vollständiger Induktion beweisen.
Also erstmal zu Rekursionsformel jetzt:
Es sei R(n) die maximale Anzahl von Gebieten, die entstehen kann, wenn man in einem Rechteck n Geraden zieht.
Behauptung:
Es ist R(0)=1 und es ist R(n+1)=R(n)+... für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
(Rekursion liefert einem immer eine "Bauanleitung", wie man aus bereits bekannten Gliedern das nächste bekommt.)
Beweis durch Induktion:
I.A.:
Wenn keine Gerade das Rechteck teilt, hat man ein Gebiet, also ist in der Tat R(0)=1
I.V.:
Für ein [mm] n\in \IN [/mm] sei die maximale Anzahl der Gebiete R(n)
I.S.:
Das Rechteck sein durch n Geraden in R(n) Gebiete geteilt.
Legt man die (n+1)-te Gerade so, daß sie ...,
dann entstehen ...,
also hat man R(n+1)= R(n)+...
Wenn Du die Rekursionsformel bewiesen hast, kannst Du ans Zeigen der geschlossenen Formel gehen.
Beh.:
Es ist [mm] R(n)=\bruch{n^2+n+2}{2} [/mm] für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
>
> IA: n = 0
> 0²+0+2 durch 2 = 1
=R(0).
Paßt!
I.V.
Für ein [mm] n\in \IN [/mm] gelte
[mm] R(n)=\bruch{n^2+n+2}{2}
[/mm]
>
> IS: n -> n+1
Zu zeigen [mm] R(n+1)=\bruch{(n+1)^2+(n+1)+2}{2}
[/mm]
Bew:
R(n+1)=R(n)+...
=
>
> (n²+n+2)/2 +n+1
[...]
> = ((n+1)²+(n+1)+2)/2
>
> dann auf beiden seiten auflösen, sodass da bei beiden am
> ende exakt das selbe steht.
> Würde das so gehen ?
Prinzipiell wäre es richtig, das so zu tun.
Mach es aber lieber so, wie ich es Dir angedeutet habe:
Starte mit
> (n²+n+2)/2 +n+1
und forme dies so lange um, bis Du am Ende das von Dir Gewünschte, nämlich
> = ((n+1)²+(n+1)+2)/2
dastehen hast.
Mit dieser Vorgehensweise kannst Du später auch Ungleichungen bewältigen, die Du per Induktion beweisen sollst.
Mit Äquivalenzumformungen scheitert man bei diesen nämlich meist jämmerlich.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Fr 24.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
Ich weiß nicht, ob ich gerade ein Brett vor dem Kopf habe, aber diese Aufgabe erscheint mir höchst anspruchsvoll; ich kann sie zumindest nicht lösen.
Wahrscheinlich ist eine Lösung im Stil wie du, Angela, sie vorschlägst, erwartet, aber aus meiner Sicht fehlt da noch einiges, um mich von der Korrektheit der Rekursionsformel zu überzeugen.
Zwar legen mir meine Skizzen nahe, dass die Formel für kleine $n$ stimmt, aber das ist ja kein Beweis für beliebige $n$.
(Ich sehe sogar noch nicht einmal die Endlichkeit von $R(n)$ für alle [mm] $n\in\IN$.)
[/mm]
> I.V.:
> Für ein [mm]n\in \IN[/mm] sei die maximale Anzahl der Gebiete
> R(n)
(Randbemerkung: Das ist nur die Definition von $R(n)$.
Dein Beweis der Rekursionsformel ist gar kein wirklicher Induktionsbeweis.)
> I.S.:
> Das Rechteck sein durch n Geraden in R(n) Gebiete
> geteilt.
> Legt man die (n+1)-te Gerade so, daß sie ...,
> dann entstehen ...,
1. Warum lässt sich die $n+1$-te Gerade so wählen, dass (mindestens / genau) $n+1$ neue Gebiete entstehen?
> also hat man R(n+1)= R(n)+...
Wenn es wirklich stets möglich ist, die (n+1)-te Gerade so zu legen, dass (mindestens) $n+1$ neue Gebiete entstehen, so sehe ich [mm] $R(n+1)\ge [/mm] R(n)+(n+1)$ ein.
2. Aber warum gilt auch [mm] $R(n+1)\le [/mm] R(n)+(n+1)$?
Vielleicht gibt es "geschicktere" Wahlen der (n+1)-ten Geraden?
Vielleicht muss die Einteilung des Feldes in $R(n)$ Teile durch die ersten $n$ Geraden auf eine bestimmte Weise vorgenommen werden, um die Einteilung des Feldes mit $n+1$ Geraden in $R(n+1)$ Felder zu erreichen?
Vielleicht müssen gar die ersten $n$ Geraden so gewählt werden, dass weniger als $R(n)$ Gebiete entstehen, um mit der (n+1)-ten Gerade die maximale Zahl an Gebieten zu erreichen?
Auf alle diese Fragen müsste ein "richtiger" Beweis wohl Antworten liefern...
(Aber wie gesagt: Das ist bei einer Erstsemester-Aufgabe zur Induktion wohl kaum verlangt.)
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Fr 24.10.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen!
>
>
> Ich weiß nicht, ob ich gerade ein Brett vor dem Kopf habe,
> aber diese Aufgabe erscheint mir höchst anspruchsvoll; ich
> kann sie zumindest nicht lösen.
>
> Wahrscheinlich ist eine Lösung im Stil wie du, Angela, sie
> vorschlägst, erwartet, aber aus meiner Sicht fehlt da noch
> einiges, um mich von der Korrektheit der Rekursionsformel
> zu überzeugen.
>
> Zwar legen mir meine Skizzen nahe, dass die Formel für
> kleine [mm]n[/mm] stimmt, aber das ist ja kein Beweis für beliebige
> [mm]n[/mm].
>
> (Ich sehe sogar noch nicht einmal die Endlichkeit von [mm]R(n)[/mm]
> für alle [mm]n\in\IN[/mm].)
>
>
> > I.V.:
> > Für ein [mm]n\in \IN[/mm] sei die maximale Anzahl der Gebiete
> > R(n)
> (Randbemerkung: Das ist nur die Definition von [mm]R(n)[/mm].
> Dein Beweis der Rekursionsformel ist gar kein wirklicher
> Induktionsbeweis.)
>
>
> > I.S.:
> > Das Rechteck sein durch n Geraden in R(n) Gebiete
> > geteilt.
> > Legt man die (n+1)-te Gerade so, daß sie ...,
> > dann entstehen ...,
> 1. Warum lässt sich die [mm]n+1[/mm]-te Gerade so wählen, dass
> (mindestens / genau) [mm]n+1[/mm] neue Gebiete entstehen?
Hallo,
das ist recht elementar.
Die Geraden werden prinzipiell so gelegt, dass sie sich ALLE im INNEREN des Rechtecks schneiden, damit möglichst viele Teilflächen entstehen.
(Dabei geht auch keine Gerade durch bereits vorhandene Schnittpunkte.)
n Geraden sind schon da und erzeugen Flächen.
Die Gerade Nummer n+1 schneidet in dieser Reihenfolge
- den Rand des Rechsecks
- eine erste Gerade
- eine zweite Gerade
-...
- die letzte noch nicht geschnittene (n-te) Gerade
- und noch einmal den Rand des Rechtecks.
JEDE Teilstrecke von einem der aufgezählten (n+2) Schnittpunkte zum nächsten tut was?
Sie zerteilt eine bisher bestehende Fläche in zwei Teile.
Zwischen n+2 Punkten gibt es n+1 Teilstrecken, also steigt die Anzahl der Teilflächen um n+1.
Gruß Abakus
>
>
> > also hat man R(n+1)= R(n)+...
> Wenn es wirklich stets möglich ist, die (n+1)-te Gerade
> so zu legen, dass (mindestens) [mm]n+1[/mm] neue Gebiete entstehen,
> so sehe ich [mm]R(n+1)\ge R(n)+(n+1)[/mm] ein.
>
>
> 2. Aber warum gilt auch [mm]R(n+1)\le R(n)+(n+1)[/mm]?
> Vielleicht
> gibt es "geschicktere" Wahlen der (n+1)-ten Geraden?
> Vielleicht muss die Einteilung des Feldes in [mm]R(n)[/mm] Teile
> durch die ersten [mm]n[/mm] Geraden auf eine bestimmte Weise
> vorgenommen werden, um die Einteilung des Feldes mit [mm]n+1[/mm]
> Geraden in [mm]R(n+1)[/mm] Felder zu erreichen?
> Vielleicht müssen gar die ersten [mm]n[/mm] Geraden so gewählt
> werden, dass weniger als [mm]R(n)[/mm] Gebiete entstehen, um mit der
> (n+1)-ten Gerade die maximale Zahl an Gebieten zu
> erreichen?
>
>
> Auf alle diese Fragen müsste ein "richtiger" Beweis wohl
> Antworten liefern...
> (Aber wie gesagt: Das ist bei einer Erstsemester-Aufgabe
> zur Induktion wohl kaum verlangt.)
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
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