1. Semester Mathematik < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:57 Do 23.10.2014 | | Autor: | unfaehik |
| Aufgabe | Prüfen Sie, ob folgende Abbildungen injektiv, surjektiv oder bijektiv sind.
f:R→R,x→ x³ |
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Zu 2: Durch´s Zeichnen seh ich das es injektiv ist, aber ich vermute stark das man es sich nicht so leicht machen kann und deshalb irgendwie schriftlich prüfen muss, nur wie weiß ich nicht wie.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/1-Semster-Mathematik
und
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=547365
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:17 Do 23.10.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo unfaehik!
> Prüfen Sie, ob folgende Abbildungen injektiv, surjektiv
> oder bijektiv sind.
>
> f:R→R,x→ x³
> ----
> Zu 2: Durch´s Zeichnen seh ich das es injektiv ist, aber
> ich vermute stark das man es sich nicht so leicht machen
> kann und deshalb irgendwie schriftlich prüfen muss, nur
> wie weiß ich nicht wie.
Richtig, Zeichnen hilft zwar immer, um die Sachlage zu begreifen, ist aber selten ein Beweis.
Um Aussagen zu beweisen, musst du Definitionen und Sätze (ggf. auch Lemmata und Propositionen) benutzen.
Also: Wie lauten die Definitionen von "injektiv", "surjektiv" und "bijektiv"? Da sollte jeweils ein "f(x)" auftauchen. Ersetze dieses hier durch [mm]x^3[/mm] und prüfe, ob du zu einem Widerspruch kommst oder nicht.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Do 23.10.2014 | | Autor: | unfaehik |
Ich hab es versucht zu machen für 3 Aufgaben:
1. f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] x²
2. f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] x³
3. f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR_+ [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] x²
Auf 1 hab ich geschrieben:
f(x) = y
x² = y
f({-x,x}) = {x²}
Auf 2 hab ich geantwortet:
f(x) = y
x³ = y
f({-x,x}) = {(-x)³,x³}
Und die letzte antwort:
f(x) = y
x² = y
f({x}) = {x²}
Wäre das so dann richtig beantwortet ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Do 23.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich hab es versucht zu machen für 3 Aufgaben:
>
> 1. f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] , x [mm]\mapsto[/mm] x²
> 2. f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] , x [mm]\mapsto[/mm] x³
> 3. f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR_+[/mm] , x [mm]\mapsto[/mm] x²
>
> Auf 1 hab ich geschrieben:
> f(x) = y
> x² = y
> f({-x,x}) = {x²}
Was soll das denn bedeuten ?
>
> Auf 2 hab ich geantwortet:
> f(x) = y
> x³ = y
> f({-x,x}) = {(-x)³,x³}
Was soll das denn bedeuten ?
>
> Und die letzte antwort:
> f(x) = y
> x² = y
> f({x}) = {x²}
Was soll das denn bedeuten ?
>
> Wäre das so dann richtig beantwortet ?
Nein. Es ist wirr-warr !
Wenn ich mich nicht täusche , so ging es um "injektiv", "surjektiv", ....
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Do 23.10.2014 | | Autor: | unfaehik |
Richtig. Und mir ist was unschönes passiert :X ich versuche es anders.
> Auf 1 hab ich geschrieben:
> f(x) = y
> x² = y
> [mm] x_1 [/mm] = y
> [mm] -x_2 [/mm] = y
> f({-x,x}) = {x²}
Soll bedeuten das es für 2 verschiedene "x" einen y-wert gibt. Also Surjektiv.
> Auf 2 hab ich geantwortet:
> f(x) = y
> x³ = y
> f({-x,x}) = {(-x)³,x³}
Soll bedeuten das wenn wir den selben x wert einmal im negativen und einmal im positiven hoch 3 nehmen, dass wir für die beiden x-werte 2 verschiedene y-werte finden. Also Injektiv.
> Und die letzte antwort:
> f(x) = y
> x² = y
> [mm] x_1 [/mm] = y
> [mm] -x_2 [/mm] = y <--- Fällt weg
> f({x}) = {x²}
Hier ist fast das selbe wie bei der ersten antwort, nur das es diesmal keinen negativen x-wert geben kann wegen: f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR_+ [/mm]
also ist es hier diesmal Injektiv.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Do 23.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo unfaehik,
> Soll bedeuten das es für 2 verschiedene "x" einen y-wert
> gibt. Also Surjektiv.
?
Du sagst wenn wir zwei verschiedene Argumente haben [mm] x\not=y [/mm] so gilt f(x)=f(y)? Das hat nichts mit der Surjektivität zu tun sondern ist die Negation, also das Gegenteil der Injektivität.
> Soll bedeuten das wenn wir den selben x wert einmal im
> negativen und einmal im positiven hoch 3 nehmen, dass wir
> für die beiden x-werte 2 verschiedene y-werte finden. Also
> Injektiv.
Das stimmt nicht. Du hast die Funktion [mm] f(x)=x^3 [/mm] nicht [mm] f(x)=x^2, [/mm] zumindest steht das in der Angabe im Anfangspost.
Und wenn du sowas finden würdest wäre es ein Bsp dafür, dass die Funktion nicht injektiv ist.
Befreie dich von deinen Aufzeichungen und beginne von Anfang;)
1)Injektivität
Wie lautet die Definition?
f:A->B ist injektiv, wenn jedes Element in der Zielmenge höchstens einmal getroffen wird. Anders gesagt wir verlangen, dass verschiedene Urbilder auch verschiedene Bilder haben:
[mm] x\not=y \in [/mm] A => f(x) [mm] \not= [/mm] f(y)
oder
f(x)=f(y) => x=y
(Die zwei Formelschreibweisen bedeuten das selbe, da wenn p=>q automatisch folgt [mm] \neg [/mm] q => [mm] \neg [/mm] p)
Hier an der Funktion [mm] f(x)=x^3, [/mm] f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
Du nimmst an f(x)=f(y)
ZuZeigen: x=y
f(x)=f(y) d.h. [mm] x^3=y^3
[/mm]
[mm] \gdw x^3-y^3=0
[/mm]
[mm] \gdw(x-y)(x^2+xy+y^2)=0
[/mm]
x-y=0 oder [mm] x^2 [/mm] + [mm] xy+y^2=0
[/mm]
Was sind die Lösungen der Gleichung? Eine Lösung siehst du sofort. Ist sie die einzige?
2)Surjektivität
Wieder, wie lautet die Definition?
LG,
sissi
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