1. und 2. Ableitung < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Di 16.10.2007 | | Autor: | Kiuko |
| Aufgabe | | [mm] f(x)=\bruch{x}{x²-1} [/mm] |
Hallo.
Ich bin gerade am lernen. Den Definitionsbereich habe ich raus.
Der ist D=R /{1;-1}
... aber nun geht es an die 1. Ableitung..
meiner Meinung nach würde die so aussehen:
[mm] f`(x)=\bruch{x* x²-1}{(x²-1)²}
[/mm]
Aber irgendwie stimmt da was nicht.. ich komm aber auch nicht drauf, was falsch ist......
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Di 16.10.2007 | | Autor: | Kiuko |
Hi!
Danke für die schnelle Antwort.. natürlich hast du recht.. *hautsichandenkopf* ^^
Also.. dann steht da:
[mm] \bruch{-x²-1}{(x²-1)²}
[/mm]
Und dann die 2. Ableitung:
[mm] \bruch{-2x*(x²-1)² - 2x-(-x²-1)}{(x²-1)²}
[/mm]
stimmt das nun? ^^
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Hallo,
[mm] f'(x)=\bruch{-x^{2}-1}{(x^{2}-1)^{2}}
[/mm]
[mm] u=-x^{2}-1
[/mm]
u'=2x
[mm] v=(x^{2}-1)^{2}
[/mm]
[mm] v'=2(x^{2}-1)*2x=4x*(x^{2}-1)
[/mm]
mache jetzt erneut Quotientenregel, vermutlich hast du die äußere Ableitung bei v vergessen,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Di 16.10.2007 | | Autor: | Kiuko |
$ [mm] v'=2(x^{2}-1)\cdot{}2x=4x\cdot{}(x^{2}-1) [/mm] $
Wie kommst du da drauf?
Geht die Hochzahl nun an 1. Stelle und wird mit der Klammer malgenommen?
Und zum Schluss nochmal 2x?
Ich glaub da hängt es bei mir gerade....
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Hallo, [mm] (x^{2}-1)^{2} [/mm] wird nach Kettenregel abgeleitet, du kennst ja [mm] x^{4}, [/mm] die Ableitung ist [mm] 4x^{3}, [/mm] die Klammer [mm] (x^{2}-1) [/mm] entspricht dem x, der alte Exponent wird als Faktor vorgezagen, der neue Exponent verringert sich um eins, das ist die äußere Ableitung , jetzt steht in der Klammer ja [mm] x^{2}-1, [/mm] die Ableitung davon ist 2x, die innere Ableitung,
[mm] f'(x)=2(x^{2}-1)*2x=
[/mm]
2 vor der Klammer und 2x nach der Klammer ergibt doch 4x,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Di 16.10.2007 | | Autor: | Kiuko |
Also sehe ich, dass [mm] x^4 [/mm] , weil (x²-1)² die (x²)² = [mm] x^4 [/mm] ergiebt, ja?
Und davon dann die Ableitung, eben 4x³ ...
Soweit bin ich nun auch, aber ich komme gerade echt nicht drauf, wie daraus dann 2 und x² kommt.. weil eins abgezogen wird?
tut mir echt leid, ich will dich nicht verschaukeln oder so.. ich kapier es leider wirklich nicht :(
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Hallo,
[mm] f(x)=x^{4} [/mm] ist doch nur als Beispiel gedacht, hat mit deiner Aufgabe nichts zu tun,
[mm] f'(x)=4*x^{4-1}=4*x^{3}
[/mm]
jetzt deine eigentliche Aufgabe:
[mm] v=(x^{2}-1)^{2}
[/mm]
[mm] v'=2*(x^{2}-1)^{2-1}=2*(x^{2}-1)^{1}=2(x^{2}-1) [/mm] das ist die äußere Ableitung
jetzt noch die Ableitung von [mm] x^{2}-1, [/mm] die lautet 2x, jetzt äußere Ableitung mal innere Ableitung [mm] 2(x^{2}-1) [/mm] *2x
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Di 16.10.2007 | | Autor: | Kiuko |
Achsoooooo ^^
Ok, also wenn wir dann eben meine Aufgabe nehmen (x²-1)²
und dann die Ableitung der Klammer machen 2(x²-1) <--- leuchtet ein ^^
und dann die Ableitung des Klammerinneren 2x <--- auch klar
muss ich dennoch die Klammer hinschreiben, ja?
Also dann 2(x²-1)*2x
Also MUSS die Klammer auf jedenfall dann da stehen, auch wenn wir die Ableitungen gemacht haben, ja?
Anderes Beispiel:
(x³-2)²= 2(x-2)*3x <--- wobei man dann in der Klammer ja wieder x² hätte...
aber das Prinzip mein ich nun?
.. also wenn (x²-3)³ da stehen WÜRDE, wäre es 3(x²-3)*2x ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Di 16.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
> Achsoooooo ^^
>
> Ok, also wenn wir dann eben meine Aufgabe nehmen (x²-1)²
> und dann die Ableitung der Klammer machen 2(x²-1) <---
> leuchtet ein ^^
> und dann die Ableitung des Klammerinneren 2x <--- auch
> klar
> muss ich dennoch die Klammer hinschreiben, ja?
Ja, ganz wichtig. Ausmultiplizieren und vereinfachen kannst du immer noch.
>
> Also dann 2(x²-1)*2x
>
> Also MUSS die Klammer auf jedenfall dann da stehen, auch
> wenn wir die Ableitungen gemacht haben, ja?
>
Siehe oben
> Anderes Beispiel:
>
> (x³-2)²= 2(x-2)*3x <--- wobei man dann in der Klammer ja
> wieder x² hätte...
Hier ist ein kleiner Schreibfehler:
f(x)=(x³-2)²
[mm] f'(x)=2(x³-2)*3x\red{²}
[/mm]
> aber das Prinzip mein ich nun?
> .. also wenn (x²-3)³ da stehen WÜRDE, wäre es 3(x²-3)*2x
> ???
Yep.
Noch eine, zur Kontolle: (x²-x+1)³ (Jetzt solltest du auch sehen, warum die Klammern so wichtig sind)
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Di 16.10.2007 | | Autor: | Kiuko |
Da habe ich nun 3(x²-x+1)*2x raus..
hoffe mal, dass das stimmt...
Wie würde denn das fertig aussehen? also auch vereinfacht und so weiter? ^^
würde das erstmal mit der 2x mal nehmen und dann mit der 3? (immerhin ist ja beides * Klammer.. oder verrenne ich mich da ganz in was...
und bevor ich es vergesse...
bei den gebrochenrationalen funktionen..... ist die vorgehnsweise genau dieselbe wie bei den ganzrationalen funktionen? Also
Ableitung, Symetrie, schnittpunkte, Hoch und Tiefpunkt, Wendepunkt, verhalten im unendlichen...
und rechne ich das auch so wie bei den normalen funktionen?
Sprich: setze das dann auch so in die ableitungen ein???
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Hallo, du bist leider zu ungenau:
1. Fehler: der neue Exponent ist 3-1= ...
2. Fehler: die Ableitung von -x ist -1, also lautet die innere Ableitung 2x-1
vereinfachen ist möglich durch ausmultiplizieren,
die Vorgehensweise ist identisch,
Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Di 16.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ich weiß auch nicht, was mit mir los ist :(
>
> Also.. nochmals in aller Ruhe 
>
> (x²-x+1)³
> =
>
> 2(2x-1)*2x
>
> Stimmt das nun?
Nein:
[mm] f'(x)=\underbrace{3(x²-x+1)²}_{\text{äussere Abl.}}*\underbrace{(2x-1)}_{\text{innere Abl.}}
[/mm]
(und jetzt siehst du, warum die Klammern so wichtig sind)
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Di 16.10.2007 | | Autor: | Kiuko |
Achsoo...
die muss ich dann nochmals * nehmen... ok...
ich danke dir!
Also haben wir bei der Aufgabe von mir:
[mm] \bruch{-x²-1}{(x²-1)²}
[/mm]
[mm] \bruch{-2x(x²-1)²-(-x²-1)*2(x²-1)*2x}{(x²-1)^4}
[/mm]
richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Di 16.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
> Achsoo...
> die muss ich dann nochmals * nehmen... ok...
> ich danke dir!
>
>
> Also haben wir bei der Aufgabe von mir:
> [mm]\bruch{-x²-1}{(x²-1)²}[/mm]
>
> [mm]\bruch{-2x(x²-1)²-(-x²-1)*2(x²-1)*2x}{(x²-1)^4}[/mm]
>
> richtig?
Das sieht gut aus.Ach ja: Ich habe mal (als Moderator kann ich das) deinen Quellcode verbessert, du hattest eine Klammer vergessen.
Und nun:
[mm] \bruch{-2x(x²-1)²-(-x²-1)*2(x²-1)*2x}{(x²-1)^4}
[/mm]
[mm] =\bruch{(x²-1)[-2x(x²-1)-2(-x²-1)*2*2x]}{(x²-1)^4}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2x(x²-1)-(-x²-1)*8x}{(x²-1)³}
[/mm]
=...
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Di 16.10.2007 | | Autor: | Kiuko |
Gehen wir mal nur vom Zähler aus:
2x³+6x habe ich da raus...
dann davon die 3 ableitung wieder... also [mm] \bruch{2x³+6x}{x²-1}
[/mm]
=
[mm] \bruch{6x²+6*(x²-1)³-(2x³+6x)* 3(x²-1)²*2x*2x}{(x²-1)^6}
[/mm]
Stimmt das denn so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Mi 17.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
> Gehen wir mal nur vom Zähler aus:
> 2x³+6x habe ich da raus...
>
> dann davon die 3 ableitung wieder... also
> [mm]\bruch{2x³+6x}{x²-1}[/mm]
Da hat du die³ im Nenner vergessen, aber im nächsten SChritt korrekterweise bedacht.
> =
> [mm]\bruch{6x²+6*(x²-1)³-(2x³+6x)*3(x²-1)²*2x*2x}{(x²-1)^6}[/mm]
>
Ist richtig, ausser dass Klammern fehlen.
[mm] \bruch{\red{(}6x²+6\red{)}*(x²-1)³-(2x³+6x)*3(x²-1)²*2x*2x}{(x²-1)^6}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Di 16.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Bevor du die 2.te Ableitung bildest, denk dran, [mm] f'(x)=\bruch{1\cdot{}(x^{2}-1)-x\cdot{}2x}{(x^{2}-1)^{2}}
[/mm]
Noch zu vereinfachen
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Di 16.10.2007 | | Autor: | Kiuko |
Hallo ! :)
Ja, vereinfacht habe ich bereits... leider sehe ich in meinen Unterlagen, welche mich echt ein wenig schockieren, dass ich eine 2 vergessen habe.. warum auch immer.. :(
Ich kapiere es in der Regel schon..
zuerst die erste ableitung bilden, wie man eben eine ableitung bildet. Anschließend dann den Nenner mal-nehmen. Dann ein - und die Nennerableitung hinschreiben und mit dem oberen einfach * nehmen,
Den eigendlichen Nenner mit ² hinschreiben.. fertig..
aber irgendwas stimmt nicht,...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Di 16.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich glaube, ich habe deinen Fehler entdeckt.
[mm] f(x)=\bruch{\overbrace{x}^{u}}{\underbrace{x²-1}_{v}}
[/mm]
Also:
[mm] f'(x)=\bruch{\overbrace{1}^{u'}\overbrace{(x²-1)}^{v}-\overbrace{x}^{u}\overbrace{2x}^{v'}}{\underbrace{(x²-1)²}_{v²}}
[/mm]
[mm] =\bruch{x²-1-2x²}{(x²-1)²}
[/mm]
[mm] =\bruch{-x²-1}{(x²-1)²}
[/mm]
[mm] =\bruch{-(x²+1)}{(x²-1)²}
[/mm]
[mm] =-\bruch{(x²+1)}{(x²-1)²}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Di 16.10.2007 | | Autor: | Kiuko |
Ja, das habe ich nun auch so raus...
Aber bei der 2. Ableitung (habe ich auch oben mit Sarah gerade), komme ich nicht drauf, wie man (x²-1)² ableiten soll....
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Hallo, schau mal bitte in den anderen Post von mir, Steffi
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Richtig 
, deine Ableitung ist falsch.
