100. Ableitung! < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich soll die 100. Ableitung der Funktion f(x)= sin2x bestimmen.
Habe die ersten 5. Ableitungen gebildet, woraus sich ein Schema erkennen lässt. Das ist dann allerdings kein Beweis, wie die 100. Ableitung wirklich aussieht. Es muss doch eine "elegantere" Möglichkeit geben, die 100. Ableitung zu bestimmen, etwa mit einer Formel für die n-te Ableitung für diese Funktion. Oder ist das hier nicht möglich?
Wäre nett, wenn man mir diesbezüglich hilft!
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
versuche eine Bildungsvorschrift für die n-te Ableitung zu finden. Beweise diese dann mit vollständiger Induktion und setze anschließend n=100.
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
Hab keine Ahnung, wie ich mit vollständiger Induktion beweise. Und auch die passende Bildungsvorschrift kann ich nicht aufstellen!
Wenn f(x)=sin2x. dann f'(x) = 2cos2x, f''(x)=-4sin2x, [mm] f^4(x)=-8cos2x, f^5(x)=16sin2x
[/mm]
Der Faktor vor sin bzw. cos lässt sich als [mm] 2^n [/mm] darstellen.
Habe folgende Bildungsvorschrift aufgestellt, die allerdings das ständig wechselnde Vorzeichen nicht enthält. Habe keine Ahnung wie ich das einbaue.
Bitte helft mir.
[mm] f^n(x)=
[/mm]
[mm] f^n(x)=\begin{cases} 2^n\*sin2x, & \mbox{wenn } n gerade \\ 2^n\*cos2x, & \mbox{wenn} n ungerade\end{cases}[/mm]
[/mm]
>
> versuche eine Bildungsvorschrift für die n-te Ableitung zu
> finden. Beweise diese dann mit vollständiger Induktion und
> setze anschließend n=100.
>
> Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
Hallo Morpheus!
Das sieht doch schnon ganz gut aus. Das wechselnde Vorzeichen kannst Du mittels [mm] $(-1)^n$ [/mm] einbauen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
> Hallo Morpheus!
>
> Das sieht doch schon ganz gut aus. Das wechselnde
> Vorzeichen kannst Du mittels [mm](-1)^n[/mm] einbauen.
Hallo Roadrunner,
das stimmt hier nicht ganz, denn das Vorzeichen wechselt
ja nur bei jedem zweiten Schritt !
Mein Vorschlag wäre, diese Vorzeichenakrobatik zu umgehen,
indem man die Induktionsbehauptung so formuliert:
Für alle [mm] k\in \IN [/mm] gilt:
[mm] f^{[4k]}(x)=2^{4k}*sin(2x)
[/mm]
Innerhalb eines Induktionsschrittes stecken dann halt
4 Ableitungsschritte.
Mit k=25 erreicht man dann den Wert n=4k=100 für
die 100ste Ableitung.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
