1050 Zahl bei 2000 Wurf < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Eine faire Münze werde 2000 mal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass maximal 1050 mal "Zahl" fällt. |
Hab mir das so überlegt: Insgesamt gibt es 2^2000 mögliche Ausgänge, davon sind folgende "schlecht", also ungünstig: wenn 2000 mal Zahl kommt, wenn 1999 mal Zahl kommt, ... wenn 1051 mal Zahl kommt.
Für 2000 mal Zahl gibt es [mm] \binom{2000}{2000} [/mm] Möglichkeiten, für 1999 mal Zahl [mm] \binom{2000}{1999} [/mm] usw., also müsste die Zahl der ungünstigen Fälle [mm] \sum\limits_{k=1051}^{2000}{2000 \choose k} [/mm] sein.
Dann würde die gesuchte Wahrscheinlichkeit [mm] 1-\frac{\sum\limits_{k=1051}^{2000}{2000 \choose k}}{2^{2000}} [/mm] sein.
Nur wie rechne ich dies aus?
|
|
| |
|
Hallo,
so weit ich das sehe, ist dein Ansatz richtig, obwohl man ihn sicherlich mittels Binomialverteilung hätte einfacher darstellen können.
Aber: die kumulierte Binomialverteilung kann man i.a. nicht geschlossen darstellen, daher ja auch die Tabellenwerke aus früheren Tagen ohne CAS. In diesem Fall war es daher geschickt, den Weg über die Wahrscheinlichkeit des Komplements zu gehen. Vielleicht hilft dir folgende Summenformel, dein Problem zu lösen:
[mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\
k}=2^n [/mm]
Das kann man hier verwenden, um die Summe im Zähler exakt zu berechnen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hmm. Mir würde dazu nur einfallen, weil der Binomialkoeffizient symmetrisch ist, dass [mm] \binom{2000}{0}+\cdots +\binom{2000}{999}=\binom{2000}{1001}+\cdots +\binom{2000}{2000} [/mm] ist.
[mm] 2^{2000}=\sum\limits_{k=0}^{999}{\binom{2000}{k}}+\binom{2000}{1000}+\sum\limits_{k=0}^{1001}{\binom{2000}{k}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2^{1999}=\sum\limits_{k=1001}^{2000}{\binom{2000}{k}}+\frac{\binom{2000}{1000}}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2^{1999}-\sum\limits_{k=1001}^{1050}{\binom{2000}{k}}-\frac{\binom{2000}{1000}}{2}=\sum\limits_{k=1051}^{2000}{\binom{2000}{k}}, [/mm] somit hätte ich eine kleinere Summe
glaube aber nicht dass das mir hilft, das ist wohl immer noch zu viel...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:21 So 08.04.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> glaube aber nicht dass das mir hilft, das ist wohl immer
> noch zu viel...
ja, da muss ich mich entschuldigen. Mir ist ein Denkfehler unterlaufen, mein Tipp ist also nicht zielführend.
Aber die Frage ist tatsächlich, ob man das geschlossen dargestellt bekommt. Es ist ein binomialverteiltes Problem, und die einzige 'Vereinfachung' ist die Tatsache, dass
[mm] p=1-p=\bruch{1}{2}
[/mm]
ist.
Aber das hast du ja selbst schon genutzt.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
wie ist denn die Aufgabe zu verstehen, schon, dass es eine exakte Rechnung sein soll, keine Approximation?
Immerhin könntest du dir hier die Symmetrie der Binomialverteilung insofern zunutze machen, als man die Wahrscheinlichkeit für maximal 1000-mal 'Zahl' sehr leicht angeben kann. Somit ließe sich die Anzahl der Summanden immerhin auf einen Schlag um 1000 auf 50 redutieren, aber mehr fällt mir momenatn auch nicht ein.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Es handelt sich um eine alte Prüfungsangabe, daher denke ich auch, dass man sie auch ohne Verwendung von Taschenrechnern, Computern etc. lösen können sollte (und ich bezweifle daher auch, dass man 50 Summanden benötigt).
In der Angabe steht auch nichts, was auf approximieren etc. hindeuten würde. Könnte man hier irgendwie gut approximieren? (mit der Stirlingschen Formel komme ich zu keinem Ziel)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 So 08.04.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
approximieren kannst Du aber auch mit der Normalverteilung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:04 Mo 09.04.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
du kannst so etwas muehelos in R ausrechnen:
| 1: | pbinom(1051,2000,0.5)
| | 2: | [1] 0.9893764
|
Die angesprochene Approximation ueber die Normalverteilung liefert
| 1: | pnorm((1051+0.5-2000*0.5)/sqrt(2000*0.25))
| | 2: | [1] 0.9893648
|
vg Luis
|
|
|
| |
|
Ah okay, Normalverteilung kenne ich noch nicht.
Gibt es vllt. irgendeine andere Möglichkeit, sowas händisch wirklich zu berechnen (also nicht zu approximieren)?
Danke auf jedenfall für eure Hinweise!
lg Herr von Omikron
|
|
|
| |
|
Hallo,
nein, das mit dem händischen Berechnen kommt bei den meisten diskreten Verteilungen ganz schnell an seine Grenzen: die Binomialverteilung kann man nicht geschlossen (ohne Summenzeichen) darstellen, von daher bleibt i.d.R. nichts anderes übrig, als alle Summanden einzeln zu addieren.
Das ist im übrigen auch die wesentliche Motivation für stetige Verteilungen wie die Normalverteilung. In den allermeisten Fällen verwendet man sie in den Anwendungen nämlich gerade dazu: um binomialverteilte Probleme zu approximieren.
Vielleicht könntest du einmal noch recherchieren, in welchem Zusammenhang diese Aufgabe gestellt wurde und welche Hilfsmittel zugelassen waren.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
