10Gym, S189, 8 < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Fr 20.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Guten Abend,
Zit.:
Zeige, dass die Tangente an den Graphen von
[mm] f(x)=x^3 [/mm]
in P[a/f(a)]
die Gleichung [mm] y=3a^2*x [/mm] - [mm] 2a^3 [/mm] hat. |
Was ich bisher angestellt habe, um diese Aufg. zu lösen:
Ich komme mit a und x durcheinander.
Soll evtl. bei
[mm] y=3a^2*x [/mm] - [mm] 2a^3
[/mm]
x=1 sein und das a entspricht dem sonst üblichen x?
Tangente des Graphen heißt: die Tangente hat die gleiche Steigung, wie der Graph in dem Pkt, in dem sie ihn berührt.
Ich habe dann Ableitung im Kopf (Ableitg. gibt Steig. an).
[mm] x^3 [/mm] abgeleitet ist niemals y=3a^2x - [mm] 2a^3
[/mm]
Dennoch gibt vielleicht y=3a^2x - [mm] 2a^3 [/mm] die genaue Lage der Tangente im Koordinat.syst. an.
Schade, dass von der Tangente nur y dasteht u. nicht
t(x) oder t(a) - das würde auch schon mal weiterhelfen.
Von diesen Vorgedanken muss doch was Brauchbares dabei sein?
Für Hilfe vielen DANK
Gruß
Sabien
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> Guten Abend,
> Zit.:
> Zeige, dass die Tangente an den Graphen von
> [mm]f(x)=x^3[/mm]
> in P[a/f(a)]
> die Gleichung [mm]y=3a^2*x[/mm] - [mm]2a^3[/mm] hat.
> Was ich bisher angestellt habe, um diese Aufg. zu lösen:
> Ich komme mit a und x durcheinander.
Hallo,
das geht vielen Schülern so.
Es hilft dann oft, die Aufgabe erstmal für ein konkretes a zu bearbeiten, etwa für a=5.
Hier wäre also zu zeigen, daß die Tangente an den Graphen von [mm] f(x)=x^3 [/mm] im Punkt P(5|125) die Gleichung
[mm] t(x)=3*5^2*x-2*5^3 [/mm] hat.
Wie kann man das zeigen?
A. Überlege Dir, daß der Punkt P des grapen, in welchem wir die Tangente betrachten, auch ein Punkt der Tangente ist.
B. Die Steigung der Tangente ist natürlich die Steigung des Graphen von f(x) an der betrachteten Stelle.
Danach kannst Du es dann für den Punkt P(a|f(a)) versuchen.
> Tangente des Graphen heißt: die Tangente hat die gleiche
> Steigung, wie der Graph in dem Pkt, in dem sie ihn
> berührt.
Genau.
> Ich habe dann Ableitung im Kopf (Ableitg. gibt Steig.
> an).
Richtig.
> [mm]x^3[/mm] abgeleitet ist niemals y=3a^2x - [mm]2a^3[/mm]
Es sagt ja auch keiner, daß y die Ableitung von f(x) ist.
Es ist die Gleichung der Tangente in P, also eine Geradengleichung.
Geradengleichungen haben die Gestalt y=mx+b, m ist die Steigung und b der y-Achsenabschnitt.
Was ist in [mm] y=3a^2x-2a^3 [/mm] die Steigung?
Und: ist das genau die Steigung von f(x) an der Stelle x=a?
> Dennoch gibt vielleicht y=3a^2x - [mm]2a^3[/mm] die genaue Lage der
> Tangente im Koordinat.syst. an.
Ja. Es ist eine Geradengleichung, und Du sollst gucken, ob es die eradengleichung ist, die zur Tangente in P(a|f(a)) gehört.
>
> Schade, dass von der Tangente nur y dasteht u. nicht
> t(x) oder t(a) - das würde auch schon mal weiterhelfen.
t(x) wäre richtig.
Das x ist die Variable.
Das a ist hier keine Variable. Es ist zwar beliebig, aber fest, so zu behandeltn als stünde dort irgendeine feste Zahl, etwa wie oben die 5.
LG Angela
>
> Von diesen Vorgedanken muss doch was Brauchbares dabei
> sein?
> Für Hilfe vielen DANK
> Gruß
> Sabien
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Fr 20.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Angela,
> > Zeige, dass die Tangente an den Graphen von
> > [mm]f(x)=x^3[/mm]
> > in P[a/f(a)]
> > die Gleichung [mm]y=3a^2*x[/mm] - [mm]2a^3[/mm] hat.
Wenn beide Fkt., etwas gemeinsam haben soll, u. das der Pkt. sein soll, in dem t(x) f(x) schneidet.
kurz u. knackig, dann
[mm] f(a)=a^3
[/mm]
[mm] t(x)=3a^2*x [/mm] - [mm] 2a^3
[/mm]
dann gleichsetz.
f(a)=t(x)
[mm] a^3=3a^2*x [/mm] - [mm] 2a^3
[/mm]
3a=3x
a=x
Dieser Tütel mit dem a und x
Klar, dass das meint a=a oder x=x
Wäre das nicht gleich, dann ist P nicht der gemeinsame Pkt. beider Fkt.
Ach so, wenn man sich an die Bezeichnungen der Aufg. hielte, dann lässt sich der ax-Tütel vielleicht vermeiden:
f(a)=y
[mm] a^3=3a^2*x [/mm] - [mm] 2a^3
[/mm]
a=x
Wenn a=x, dann [mm] t(a)=3a^2*a-2a^3=a^3
[/mm]
Und da haben wir es doch: unsere [mm] f(a)=a^3
[/mm]
Ja, diesen Pkt. haben sie gemeinsam
Fühlt sich gut an, aber wirkl. sicher bin ich mir nicht.
Aber wie soll es sonst sein?
Stimmt oder stimmt nicht?
Für Bestätigung vielen DANK
Gute Nacht
Sabine
P.S.: Eigentl. muss der Tütel noch weg. Es ist nicht egal, ob x oder a.
a ist irgendeine Zahl u. x die Variable. Oder doch nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Fr 20.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
mach es wirklich erstmal für den Punkt [mm] (5,5^3) [/mm]
1. welche Steigung hat die funktion da?
jetz such eine gerade, die durch (5,125) geht und diese Steigung hat.
nächster Schritt: Punkt [mm] (a,a^3) [/mm] welche Steigung hat y oder f(x) da? suche eine Gerade die durch [mm] (a,a^3) [/mm] geht und diese Steigung hat. diese Gerade muss dann deine gegebene Formel habenhaben.
Dein Weg:
Du hast gezeigt, dass die gegebene Gerade durch den Punkt [mm] (a,a^3) [/mm] geht dann musst du noch zeigen, dass sie dort die Steigung von f(x) hat. Das geht auch, aber der obere Weg ist besser, weil du dann siehst, wie man auf die gleichung kommt, und nicht nur zeigst, dass die fertige Formel die Tangente liefert.
3. Weg: schneide f(x) mit der gegebenen geraden, und zeige, dass dabei genau nur der eine Punkt [mm] (a,a^3) [/mm] rauskommt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo ihr zwei,
ich werde jetzt sauer! Ich habe mich heute morgen mit der Aufg. befasst. Jetzt wieder u. ich werde wahnsinnig mit dem x und dem a.
Wenn
(a/f(a)) eingesetzt in [mm] f(x)=x^3, [/mm] für z.B. a=5
u. leduart schreibt: [mm] (5/5^3)
[/mm]
demnach x=a
Ich weiß nicht wieviele Seiten ich schon voll habe u. Versuche unternommen.....
Das kann nicht so schwer sein, ich fühle dass ich nah dran bin, aber ich schaff es nicht. Doch, aber dann dauert es noch einen weiteren Tag (od. noch einen), dabei wollte ich noch andere Aufg.....
Könnt Ihr mir vielleicht bitte die Aufg. so formulieren, dass der Tütel mit dem a und x raus ist?
Das wäre wunderbar.
Wenn das geht - vielen vielen DANK!
Gruß
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:27 So 22.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
da ist der Graph der fkt [mm] f(x)=x^3 [/mm] auf dem liegen viele Punkte! bei x=5 ist der Punkt auf dem Graph (5,125) bei x=3 ist er (3,27) bei x=a [mm] (a,a^3) [/mm] inzwischen musst du doch gewohnt sein, dass man etwas nicht nacheinander für x=3, x=5, x=5.7 usw beweist sondern ein für alle mal für den Punkt [mm] (a,a^3) [/mm] dann kann man am ende für a jede Zahl einsetzen.
und jetzt suchst du also die Tangente am Punkt [mm] (a,a^3) [/mm] statt nacheinander bei (1,1) (2,8) (3,27) und millonen weiteren Punkten.
Also löse erst mal wirklich das Problem: gib die Tangente an der Stelle x=3 an die kurve [mm] y=x^3 [/mm] an. dann ist doch klar, dass die Tangente durch den punkt (3,27) muss und die Steigung [mm] f'(3)=3*3^2 [/mm] also 27 hat.
danach mach es für die tangente bei x=2 die muss durch (2,8) gehen und dort die Stigung [mm] 3*2^2=12 [/mm] haben. Wenn du es jetzt nicht noch für 1000 weitere x Werte ausrechnen willst nimm statt 3 oder 3 eben a, dann muss die Tangente durch [mm] (a,a^3) [/mm] gehen und die Steigung [mm] 3*a^2 [/mm] haben. und da ist zwischen x und a so wenig Tütelei wie zwischen x und 2 oder x und 3. Auf der Geraden "läuft" x, a ist ein fester Wert, eben der Wert bei dessen x Koordinate du dei Tangente hast
Eine Tangente hat ein festes a, eine andere Tangente hat auch ein anderes a wie eben zB 2 oder 3 oder 1237 .
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 So 22.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo leduart,
die Probleme sind vielfältiger, als nur dieser eine Tütel, ich kann nicht alles schildern. Nur mal den letzten Anlauf von heut mittag "vorgestellt":
>Zeige, dass Tangente an [mm] f(x)=x^3 [/mm] in [mm] (5/5^3) [/mm] die Gleichung
[mm] >t(x)=3a^2*x [/mm] - [mm] 2a^3 [/mm] hat.
Dazu setze ich a=5 in t(x) ein:
[mm] t(5)=35^2*x [/mm] - [mm] 2*5^3 [/mm] = 75x-250
75x-250 ist der Fkt.wert von t(5). Die Steig. von t(x) ist 75
>Wie kann man jetzt zeigen, ob [mm] f(x)=x^3 [/mm] bei a=5 die Steig. 75 hat?
2 mögl. Ergebnisse
a)
Ist das der Fall - dann ist das ein gr. Zufall, dass wir mit dem gewählten a=5 als Bsp tatsächl. den Pkt. gefunden haben, in der t(x) f(x) berührt.
b)
Ist das nicht der Fall, dann hat f(x) bei a=5 nicht die Steig. 75. Aber an dem Durchexerzieren mit dem Beispiel a=5 sollte ich doch auch nur erkennen, wie der Hase läuft.
zurück zur Frage: Wie zeige ich, ob t(x) bei a=5 f(x) berührt?
Bzw., ob f(x) bei a=5 die gleiche Steig. 75 hat wie t(x)?
Mit der Ableitg., denn die gibt die Steig. an
[mm] f´(x)=3x^2
[/mm]
[mm] f´(5)=3*5^2=75
[/mm]
Ergebnis: Beide haben bei a=5 die Steig. 75
(ein anderer Irrweg war z.B. gestern:
[mm] 3x^2=75
[/mm]
[mm] x^2=25
[/mm]
[mm] x_1=5 [/mm] und [mm] x_2=5 [/mm] u. ich wußte nicht, was mir diese dopp.Nullst. sagen sollte)
Ergebnis: Beide haben bei a=5 die Steig. 75
Das bezweifel ich eher, denn mit dem Plotter sieht es so aus, als sei bei a=1 die Berührung beider Kurven.
>Jetzt suche eine Gerade, die durch [mm] (5/5^3) [/mm] geht u. die Steig. 75 hat.
Ich dachte das wäre bereits [mm] t(x)=3a^2*x [/mm] - [mm] 2a^3
[/mm]
Wenn nicht, dann haben sie nur die Steig. 75 und muss nur noch parallel so verschoben werden, bis sie f(x) in [mm] (5/5^3) [/mm] berührt.
Habe ich aber nicht schon t(5) gemacht?
Ich bin in keiner guten Verfassung mehr (auch aus anderen Gründen, vllt. hat das mit einen Einfluss, wäre zumind. sehr naheliegend) u. werde diese Aufg. jetzt erstmal ruhen lassen u. mich einer anderen widmen.
Wenn aber nochmal jmd. antwortet u. etwas geklärt werden kann, dann will ich es aufnehmen. Wenn aber die Ursache fürs nicht weiterkommen, meine schlechte Konzentration u. der Tütel sind, dann kann niemand helfen, dann muss ich diese Aufg. jetzt erstmal ruhen lassen u. später weitermachen.
Grüße
Sabine (entmutigt, lustlos u. genervt u. gefrustet)
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Hallo, wollen wir noch einen Versuch starten, es wurde ja die Stelle a=5 gewählt, laut Funktion ist f(5)=125, somit hast du den Punkt (5;125), in diesem Punkt gilt:
(1)
Funtion und Tangente sind gleich
[mm] x^3=3*a^2*x-2*a^3
[/mm]
[mm] 5^3=3*5^2*5-2*5^3
[/mm]
125=125
(2)
Anstieg der Funktion und Anstieg der Tangente sind gleich
[mm] 3*x^2=3*a^2
[/mm]
[mm] 3*5^2=3*5^2
[/mm]
75=75
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 So 22.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hey Steffi,
1
Feststellg., dass t(x) und f(x) an der Stelle a=5 gleich sind.
D.h. erstmal jetzt nur, dass die sich da schneiden oder berühren, aber ob sie die gleiche Steig. haben, dass macht jetzt
2
da hast du die Ableitungen beider Fkt. gebildet u. mit dem Gleichsetzen festgestellt, dass die Steig. beider Fkt. in dem Pkt. gleich sind.
Damit wäre gezeigt, dass t(x) f(x) in (5/f(5)) berührt (weil gleiche Steig.)
Jupp.
Hatte schon Horror bevor ich deine Antw. las, weil ich befürchtete es wieder nicht zu verstehen. Was deine Antw., die ich ja scheinbar verstehe, wie die jetzt in die allg. Aufg.stellung einzubinden ist, da schlafe ich jetzt drüber u. mache am Di weiter.
Ich werde versuchen f. das hier gewählte Bsp. 5 das a einzusetzen u. es so allg. versuchen.
Jetzt ist erstmal gut u. allemale besser als heute nachmittag.
Ich danke dir!
LG
Sabine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
Guten Abend,
so nochmal drüber geschlafen u. festgestellt, dass alles blabla ist, was ich zuvor geschrieben habe.
Nix mit Gleichsetzen von f(x) und t(x), dass würde nur die Schnittpunkte beider ergeben.
Hier ist aber eine Berührung gesucht.
Tangente (in meinem derzeitigen thematischen Zus.hang) sagt mir GW, lim, Ableitg.
und jetzt das Kernwort:
STEIGUNG
So, d.h. ich muss doch eigentl. NUR die Ableitungen beider Fkt. gleichsetzen. Wenn das gleich ist, dann haben beide Fkt. bei (a/f(a)) die gleiche Steig.
[mm] 3a^2=3a^2 [/mm] - [mm] 2a^3
[/mm]
Ohne umzuformen sieht man, dass das nicht gleich ist.
Ist das richtig?
Aufg. war:
Zeige, dass t(x) in P (a/f(a)) f(x) berührt.
Ich konnte nur zeigen, dass das nicht der Fall ist.
Für nochmalige Hilfe vielen DANK
Gruß u. Gute Nacht
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Di 24.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sabine!
Um zu zeigen, dass sich zwei Kurven an der Stelle [mm]x_0 \ = \ a[/mm] berühren, müssen zwei Eigenschaften (gleichzeitig) erfüllt sein.
Zum einen müssen die Funktionswerte übereinstimmen.
Es gilt also als erste Bedingung: [mm]f(a) \ = \ t(a)[/mm] .
Und damit sie sich nicht schneiden, sondern "nur" berühren, muss auch die Steigung übereinstimmen: [mm]f'(a) \ = \ t'(a)[/mm] .
> [mm]3a^2=3a^2[/mm] - [mm]2a^3[/mm]
1. ist die Ableitung auf der rechten Seite falsch. Der Term [mm]-2a^3[/mm] ist zuviel, der entfällt beim Ableiten.
2. hätte auch diese Gleichung (genau) eine Lösung mit [mm]a \ = \ 0[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Di 24.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hey Loddar hat geantwortet,
danke dir!!!
Um zu zeigen, dass sich 2 Kurven bei [mm]x_0 \ = \ a[/mm] berühren (nicht schneiden), muss 2erlei erfüllt sein:
1.tens: Fkt-werte müssen übereinstimmen, also [mm]f(a) \ = \ t(a)[/mm]
2.tens: berühren heißt: gleiche Steig., also [mm]f'(a) \ = \ t'(a)[/mm]
Soweit absolut glas- u. sonnenklar (jetzt wirds übersichtl., aber dazu hat es wohl den langen Vorlauf mit Bsp a=5 usw. usw. wohl gebraucht).
Du sagst beim Ableiten fällt [mm] 2a^3 [/mm] weg.
Ist es deswegen?:
Von vorn:
$ f(a) \ = \ t(a) $
[mm] x^3 [/mm] = [mm] 3a^2*x [/mm] - [mm] 2a^3
[/mm]
mein x-a-Tütel: Natürlich habe ich kapiert, dass die x-Achse weiter so bezeichnet wird und ihre Werte auch u. dass man einen bestimmten x-Wert gern auch a nennt. Daraus schließe ich a=x
Also muss gelten: [mm] x^3 [/mm] = [mm] 3x^2*x [/mm] - [mm] 2x^3 [/mm] oder
[mm] a^3 [/mm] = [mm] 3a^2*a [/mm] - [mm] 2a^3 [/mm]
[mm] a^3 [/mm] = [mm] 3a^3 [/mm] - [mm] 2a^3 [/mm]
[mm] a^3 [/mm] = [mm] a^3
[/mm]
$ f'(a) \ = \ t'(a) $
ohne jetzt abzuleiten ist klar, dass auch die Steig. gleich sein muss.
[mm] a^3 [/mm] = [mm] a^3
[/mm]
Auf dem Weg des Umformens hätte schon an der Stelle
[mm] a^3 [/mm] = [mm] a^3
[/mm]
klar sein sollen, dass f(x) und t(x) identisch sind, d.h. ihre Steigung ist in jedem Pkt. gleich. Aber, was jetzt mit Berühren oder Schneiden ist, weiß ich nicht. Das ist ja irgendwie noch eine dritte Gruppe (Deckungsgleichheit).
Wenn aber die Steig. in JEDEM Pkt. gleich ist, dann darf man vielleicht annehmen, dass sich 2 identische Fkt. berühren, so sieht es in diesem Fall aus.
Hätte ich es denn jetzt endlich soweit?
>$ [mm] 3a^2=3a^2 [/mm] $- [mm] 2a^3
[/mm]
>hätte auch diese Gleichung (genau) eine Lösung mit [mm]a \ = \ 0[/mm]
Das verstehe ich leider nicht.
Diese Gleichung ist nur in einem Fall gleich, nämlich, wenn x=0.
Ich weiß nicht was mir das sagen soll.
Ich hoffe da ist jemand, der mich gern die letzten Schritte bis zur Zielmarke begleitet. DANKE
Gruß
Sabine
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Hallo
zunächst mal ein ganz ANDERES Beispiel, du hast einen Fehler in der Ableitung der Tangente
nehmen wir g(x)=10x-25 dann ist die Ableitung g'(x)=10, die Ableitung von 25 ist gleich Null, 25 ist eine Konstante, unabhängig von x,
jetzt zur eigentlichen Aufgabe
[mm] f(x)=x^3
[/mm]
[mm] f'(x)=3x^2
[/mm]
[mm] t(x)=3a^2x-2a^3
[/mm]
[mm] t'(x)=3a^2
[/mm]
die Ableitung von [mm] 2a^3 [/mm] ist gleich Null, [mm] 2a^3 [/mm] ist eine Konstante, unabhängig von x
jetzt betrachten wir die Stelle x=a
es gilt Bedingung (1) und (2):
(1)
f(x)=t(x)
[mm] a^3=3a^2*a-2a^3
[/mm]
[mm] a^3=3a^3-2a^3
[/mm]
[mm] a^3=a^3 [/mm] wahre Aussage
(2)
f'(x)=t'(x)
[mm] 3a^2=3a^2 [/mm] wahre Aussage
ich hoffe Dir ist nun die Aufgabe klar(er)
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 Di 24.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
>"Mach' dir keine Sorgen wegen deiner Schwierigkeiten mit der
>Mathematik. Ich kann dir versichern, dass meine noch größer
>sind." Albert Einstein
Glaube ich gern u. ist auch tröstlich.
Ja, jetzt ist alles klar.
Da a ja allgemein, gilt das für jeden best. x-Wert u. da du nicth widersprochen hast, dass f(x) mit t(x) identisch sind,
dann habe ich es jetzt.
Ja, u. auch das mit dem Ableiten ist jetzt klar. (weil dem hinterem Teil das x fehlt, fällt alles beim Ableiten komplett wech)
Angela, leduart, Steffie - vielen DANK für alle eure Antworten.
DANKE
Sab.
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