11-adische Reihenentwicklung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:23 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass [mm] $Z_{11}$ [/mm] eine primitive fünfte Einheitswurzel [mm] $\zeta_5$ [/mm] enthält und benutzen Sie das Henselsche Lemma, um die 11–adische Reihenentwicklung von [mm] $\zeta_5$ [/mm] bis zum vierten Glied
auszurechnen. |
Ich weiß wie die fünfte Einheitswurzel aussieht und zwar:
Aus $0 = 1 + [mm] \zeta [/mm] + [mm] \zeta^{2} [/mm] + [mm] \zeta^{3} [/mm] + [mm] \zeta^{4}$ [/mm] folgt [mm] w=-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4}}. [/mm]
Ich weiß jetzt aber nicht mehr weiter. Kann mir jemand helfen?
Gruß, Joan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Fr 14.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass [mm]Z_{11}[/mm] eine primitive fünfte
> Einheitswurzel [mm]\zeta_5[/mm] enthält und benutzen Sie das
> Henselsche Lemma, um die 11–adische Reihenentwicklung von
> [mm]\zeta_5[/mm] bis zum vierten Glied
> auszurechnen.
> Ich weiß wie die fünfte Einheitswurzel aussieht und
> zwar:
> Aus [mm]0 = 1 + \zeta + \zeta^{2} + \zeta^{3} + \zeta^{4}[/mm]
> folgt [mm]w=-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4}}.[/mm]
In [mm] $\IC$ [/mm] schon.
> Ich weiß jetzt aber nicht mehr weiter. Kann mir jemand
> helfen?
Nun. Es ist doch [mm] $\zeta$ [/mm] eine Nullstelle von $f(x) := 1 + x + [mm] x^2 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^4 \in \IZ[x]$.
[/mm]
Zeige, dass $f$ in [mm] $\IZ/11\IZ$ [/mm] eine Nullstelle besitzt. (Das kannst du auch ganz theoretisch abhandeln, oder halt ein konkretes Beispiel angeben -- suche ein primitives Element modulo 11 und nimm das Quadrat davon.)
Dann zeigst du mit dem Henselschen Lemma, wie du von einer Nullstelle in [mm] $\IZ/11^k\IZ$ [/mm] auf eine Nullstelle in [mm] $\IZ/11^{k+1}\IZ$ [/mm] kommst.
Schliesslich wendest du das drei mal an, um die gesuchte Approximation des Elementes in [mm] $\IZ_{11} [/mm] = [mm] \varlimproj_{k\to\infty} \IZ/p^k\IZ$ [/mm] zu finden.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Joan2 |
Das Polynom $ f(x) := 1 + x + [mm] x^2 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^4 \in \IZ[x] [/mm] $ zerfällt über [mm] $\IF_{11}$ [/mm] in verschiedene Linearfaktoren, also hat es auch über [mm] $\IZ_{11}$ [/mm] genau 10 Nullstellen.
Nach dem Heselschen Lemma gilt mit 3 als primitives Element
$f(3) [mm] \equiv [/mm] 0 mod 11$ und $f'(3) [mm] \not\equiv [/mm] 0 mod 11$.
Also existiert genau ein Element $z [mm] \in \IZ_{11}$ [/mm] mit $f(z) = 0$ und $3z mod 11$
Wie kann ich zeigen, dass man von einer Nullstelle in $ [mm] \IZ/11^k\IZ [/mm] $ auf eine Nullstelle in $ [mm] \IZ/11^{k+1}\IZ [/mm] $ kommt?
Das verstehe ich nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Sa 15.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Das Polynom [mm]f(x) := 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 \in \IZ[x][/mm]
> zerfällt über [mm]\IF_{11}[/mm] in verschiedene Linearfaktoren,
Ja.
> also hat es auch über [mm]\IZ_{11}[/mm] genau 10 Nullstellen.
Wieso sollte es 10 Nullstellen haben?!
> Nach dem Heselschen Lemma gilt mit 3 als primitives
> Element
Du meinst: 3 ist eine primitive 5te Einheitswurzel in [mm] $\IF_{11}$. [/mm] Es ist kein primitives Element in [mm] $\IF_{11}$.
[/mm]
> [mm]f(3) \equiv 0 mod 11[/mm] und [mm]f'(3) \not\equiv 0 mod 11[/mm].
> Also
> existiert genau ein Element [mm]z \in \IZ_{11}[/mm] mit [mm]f(z) = 0[/mm] und
> [mm]3z mod 11[/mm]
Das letzte soll $3 [mm] \equiv [/mm] z [mm] \pmod{11}$ [/mm] heissen, nicht?
> Wie kann ich zeigen, dass man von einer Nullstelle in
> [mm]\IZ/11^k\IZ[/mm] auf eine Nullstelle in [mm]\IZ/11^{k+1}\IZ[/mm] kommt?
>
> Das verstehe ich nicht?
Kennst du das Hensel-Newton-Iterationsverfahren? (Eventuell wurde das Lemma auch damit bewiesen.) Das brauchst du dafuer.
Alterantiv kannst du auch so vorgehen: sei $f(a) [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{11^k}$ [/mm] mit $0 [mm] \le [/mm] a < [mm] 11^k$. [/mm] Schreibe $b = a + [mm] 11^k [/mm] c$ mit $c [mm] \in \{ 0, 1, \dots, 10 \}$, [/mm] und betrachte die Gleichung $f(b) [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{11^{k+1}}$. [/mm] Schreib dies aus, das liefert dir eine (eindeutige) Loesung fuer $c$ und somit fuer $b$.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:43 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Joan2 |
Ist das denn so richtig, wenn ich folgender vorgehe?
Wir wissen, dass es ein eindeutiges Element $z [mm] \in \IZ_{11}$ [/mm] gibt mit $f(z) = 0$ und mit der Folge
[mm] $f(z_n) \equiv [/mm] 0 mod [mm] 11^{k+1}$
[/mm]
[mm] $z_n \equiv z_{n-1} [/mm] mod [mm] 11^k$
[/mm]
$0 [mm] \le z_n [/mm] < [mm] 11^{k+1} [/mm] mit z [mm] \equiv z_n [/mm] mod [mm] 11^{k+1}$
[/mm]
Also kommt man damit von einer Nullstelle in [mm]\IZ/11^k\IZ[/mm] auf eine Nullstelle in [mm]\IZ/11^{k+1}\IZ[/mm], da dies einen eindeutigen p-adischen Limes definiert.
Ist das möglich so??
Viele Grüße,
Joan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:12 Fr 21.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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