11te Wurzel berechnen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bei der Bearbeitung dieser Aufgabe darf kein Rechner benutzt und alle Rechnungen müssen genau dokumentiert werden.
a) Die Gleichung [mm] n^{11} [/mm] = 564154396389137449973 ist in [mm] \mathbb{N} [/mm] lösbar. Berechnen Sie die Lösung. Hinweis: Berechnen Sie die Lösung zunächst modulo 10 und 11. |
Hallo,
also mein Ansatz:
m:=564154396389137449973
Vor.: Die Gleichung [mm] n^{11} [/mm] = m ist in [mm] \mathbb{N} [/mm] lösbar.
[mm] m\equiv [/mm] 3 mod 10
[mm] m\equiv [/mm] 0 mod 11
In der Übung hatten wir eine ähnliche Aufgabe und haben nun bestimmt ob m modulo 10 und 11 Einheit ist oder nicht...woran kann ich das nochmal erkennen? modulo 11 dürfte das ja nicht der Fall sein, da es kein Element gibt, sodass [mm] a\*0=1, [/mm] richtig?
Danke schonmal für Hinweise und Gruß vom
congo
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> Bei der Bearbeitung dieser Aufgabe darf kein Rechner
> benutzt und alle Rechnungen müssen genau dokumentiert
> werden.
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> a) Die Gleichung [mm]n^{11}[/mm] = 564154396389137449973 ist in
> [mm]\mathbb{N}[/mm] lösbar. Berechnen Sie die Lösung. Hinweis:
> Berechnen Sie die Lösung zunächst modulo 10 und 11.
> Hallo,
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> also mein Ansatz:
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> m:=564154396389137449973
> Vor.: Die Gleichung [mm]n^{11}[/mm] = m ist in [mm]\mathbb{N}[/mm] lösbar.
>
> [mm]m\equiv[/mm] 3 mod 10
> [mm]m\equiv[/mm] 0 mod 11
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> In der Übung hatten wir eine ähnliche Aufgabe und haben
> nun bestimmt ob m modulo 10 und 11 Einheit ist oder
> nicht...woran kann ich das nochmal erkennen? modulo 11
> dürfte das ja nicht der Fall sein, da es kein Element
> gibt, sodass [mm]a\*0=1,[/mm] richtig?
>
> Danke schonmal für Hinweise und Gruß vom
> congo
Hallo congo,
die Berechnung von Wurzeln mit hohen Wurzelexponenten
ist ein beliebtes "Kunststück" vieler sogenannter Rechen-
künstler. Zentrale Voraussetzung ist dabei, dass sowohl die
vorgegebene riesige Zahl als auch das Ergebnis natürliche
Zahlen sein sollen.
Man kann sich im vorliegenden Beispiel durch einfache
Überlegungen (die musst du natürlich noch protokollieren)
klar machen, dass das Ergebnis eine zweistellige Dezimalzahl
sein muss.
Aus den Gleichungen
> [mm]m\equiv[/mm] 3 mod 10
> [mm]m\equiv[/mm] 0 mod 11
müsste man nun Bedingungen für mod(n,10) und mod(n,11)
herleiten.
LG Al-Chw.
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> Aus den Gleichungen
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> > [mm]m\equiv[/mm] 3 mod 10
> > [mm]m\equiv[/mm] 0 mod 11
>
> müsste man nun Bedingungen für mod(n,10) und mod(n,11)
> herleiten.
Was genau bedeutet das?
Heißt das für den ggT(n mod 10, n mod 11)?
Könnte ich so weitermachen?:
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Nach Satz von Euler gilt:
[mm] \varphi (10)=\varphi(2)\varphi(5)=(2-1)(5-1)=4
[/mm]
[mm] \varphi(11)=10
[/mm]
[mm] \Rightarrow n^4 \equiv [/mm] 1mod10
[mm] n^{10} \equiv [/mm] 1 mod 11
Es folgt, dass [mm] n^{11}=(n)^{10}n, [/mm] somit gilt [mm] n^{11}= [/mm] (1)n modulo10.
Aber hier weiß ich dann auch erstma nicht weiter....macht das bis hier ansonsten Sinn?
Gruß
congo
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Danke für Deine ausführliche Antwort!
> [mm]n^{11}\equiv n^3\equiv 3\mod{10} \Rightarrow n\equiv 7\mod{10}[/mm]
Kannst du mir diese Inklusion nochmal erklären? Ich bin irgendwie noch nicht so fit im Rechnen mit Restklassen...
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Hallo congo,
klar.
> Danke für Deine ausführliche Antwort!
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> > [mm]n^{11}\equiv n^3\equiv 3\mod{10} \Rightarrow n\equiv 7\mod{10}[/mm]
>
> Kannst du mir diese Inklusion nochmal erklären? Ich bin
> irgendwie noch nicht so fit im Rechnen mit Restklassen...
1) Nach Euler-Fermat ist [mm] n^{\varphi(10)}=n^4\equiv 1\mod{10} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 2) [mm] n^{11}=n^4*n^4*n^3\equiv 1*1*n^3 \equiv m\equiv 3\mod{10}
[/mm]
Nun ist es zwar (hier) möglich, aber viel zu aufwändig, [mm] n\mod{10} [/mm] direkt zu bestimmen. Einfacher ist es angesichts der Modulgröße, die komplette Liste [mm] k^3 \mod{10} [/mm] zu betrachten: 1,8,7,4,5,6,3,2,9,0.
Das ist sozusagen "Ausprobieren", hier aber effektiv. Es ist also (nur) [mm] 7^3 \equiv 3\mod{10} \Rightarrow n\equiv 7\mod{10}.
[/mm]
Das System [mm] n\equiv 7\mod{10} \quad \wedge \quad n\equiv 0\mod{11} [/mm] hat nun eine leicht zu findende Lösung (für Fernsehfreaks: ...am Sunset Strip).
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 So 04.07.2010 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> Bei der Bearbeitung dieser Aufgabe darf kein Rechner
> benutzt und alle Rechnungen müssen genau dokumentiert
> werden.
>
> a) Die Gleichung [mm]n^{11}[/mm] = 564154396389137449973 ist in
> [mm]\mathbb{N}[/mm] lösbar. Berechnen Sie die Lösung. Hinweis:
> Berechnen Sie die Lösung zunächst modulo 10 und 11.
> Hallo,
>
> also mein Ansatz:
>
> m:=564154396389137449973
> Vor.: Die Gleichung [mm]n^{11}[/mm] = m ist in [mm]\mathbb{N}[/mm] lösbar.
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> [mm]m\equiv[/mm] 3 mod 10
> [mm]m\equiv[/mm] 0 mod 11
Ich hab eine Frage, und zwar gibt es da einen Trick zu sehen, ob dieses m durch 11 teilbar ist, oder muss man dazu in einer Nebenrechnung das Ganze durch 11 dividieren? Bei 3-stelligen weiß ich zum Beispiel, dass 583 durch 11 teilbar ist, weil 5+3=8 ist, genauso ist bei 671, 6+1=7 und somit durch 11 teilbar... Geht sowas Ähnliches auch bei länger als 3-stelligen Zahlen...?
Vielen Dank schon mal im voraus.
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 So 04.07.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
![[]](/images/popup.gif) hier gibt es eine Liste mit Teilbarkeitsregeln, für die 11 hast du:
"Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme oder nichtalternierende 2er-Quersumme durch 11 teilbar ist."
War es das, was du suchst?
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 So 04.07.2010 | | Autor: | ms2008de |
> Hallo
>
> hier
> gibt es eine Liste mit Teilbarkeitsregeln, für die 11 hast
> du:
>
> "Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre
> alternierende 3er-Quersumme oder nichtalternierende
> 2er-Quersumme durch 11 teilbar ist."
>
> War es das, was du suchst?
Ja genau, vielen Dank nochmals.
Viele Grüße
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
