128 Ableitung über Taylorreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:13 Di 14.11.2006 | | Autor: | Boomi |
| Aufgabe | Für f(x) = [mm] \bruch{5x}{x^2+4} [/mm] bestimme man die 128. Ableitung an der Stelle 0.
Hinweis: Bestimmen Sie zuerst die Taylorreihe von f, indem Sie [mm] \bruch{1}{x^2+4} [/mm]in eine geometrische Reihe entwickeln. Dazu hebt man im Nenner den Faktor 4 heraus und entwickelt nach Potenzen von x:
[mm] \bruch{1}{x^2+4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] [mm] \bruch{1}{1+(x/2)^2} [/mm] = 1/4 [mm] \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k (\bruch{x}{2})^k [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich habe zuerst mal versucht einfach ein paar Ableitungen von f(x) zu machen um irgendwie auf das Bildungsgesetz für die n-te Ableitung zu kommen was ziemlich unmöglich scheint.
Die Ableitungen an der Stelle 0 lassen allerdings erkennen, dass die 1., 3., 5., usw. also jede n-te Ableitung für die n ungerade ist, 0 ist. Hilft auch noch nix für die 128. Ableitung 
Gut mit der Hilfe aus der Angabe kann ich [mm] \bruch{1}{x^2+4} [/mm] in eine Reihe entwickeln. Nur was bringt mir das, dann habe ich nur 5x [mm] 1/4 \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k (\bruch{x}{2})^k [/mm] . Wie komme ich davon leichter auf die 128. Ableitung?
Schon mal vielen Dank für eure Bemühungen
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Dann frage ich dich mal so: Was ist denn die Taylorentwicklung?
[mm] $f(x)=f(0)+\bruch{1}{1!}f'(0)x+\bruch{1}{2!}f''x^2+\bruch{1}{3!}f'''x^3+...$
[/mm]
Na? Fällt dir was auf? Der 129. Summand besteht aus der 128. ABleitung. Multipliziere den mit 128! und teile durch [mm] x^{128}, [/mm] und du bist fertig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:47 Di 14.11.2006 | | Autor: | Boomi |
Ja aber ich habe ja noch keine Formel für die Taylor-Reihe?
Wie komme ich denn auf das 129 Summenglied?
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Ich zitiere dich mal:
$5x*1/4 [mm] \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k (\bruch{x}{2})^k$
[/mm]
Das ist schon deine Taylorentwicklung! Du mußt nur noch das x in die Summe mit hineinfrickeln. Ich meine das so:
$5/4 [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \left(-\bruch{1}{2}\right)^kx^{k+1}$
[/mm]
OK, wo ich das jetzt sehe, mußt du k=127 benutzen. Denn die 128. Ableitung steckt in dem Term, in dem die [mm] x^{128} [/mm] steht, was normalerweise der 129. Term ist. Hier fehlt aber der erste Term ohne x, ganz einfach, weil f(0)=0 ist.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:29 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Boomi |
Ok also ich setze in $ 5/4 [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \left(-\bruch{1}{2}\right)^kx^{k+1} [/mm] $ einfach für k=127 ein
dh 5/4 [mm] (-1/2)^{127}*x^{128}[/mm] multipliziert mit [mm]\bruch {128!}{x^{128}} /[/mm] = [mm] 5/4*(-1/2)^{127}*128![/mm] =-2.8 E177 ???
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Hmh, ich hab die Antwort auch als Mitteilung geschrieben...
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(Frage) überfällig | | Datum: | 11:16 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Boomi |
| Aufgabe | [mm] \bruch{1}{x^2+4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] [mm] \bruch{1}{1+(x/2)^2} [/mm] = 1/4 [mm] \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k (\bruch{x}{2})^k [/mm]</
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stimmt denn das überhaupt?
Ich habe mir folgende Formel herausgesucht: [mm]\bruch{1}{1+z} = \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n*z^n[/mm]
Wenn z in unserem fall [mm] (x/2)^2 [/mm] ist müsste das doch
[mm] \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k (\bruch{x^2}{4})^k [/mm] sein oder liege ich da falsch?
Ich blicke bald gar nicht mehr durch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Do 23.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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