1982 teilt (222...222) (1980 2en) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 23:16 Mo 23.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Kurz und knapp:
Zu zeigen ist:
$1982 [mm] \, \vert \, 222\cdots [/mm] 222$
mit $1980$ $2$en.
Tipp: Nach einer kleinen Rechnung lässt Fermat schön grüßen... 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:12 Di 24.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Stefan,
kann man diese Aufgabe als gelöst betrachten, wenn man das Ergebnis angeben kann? Ich denke doch ja, wir haben nämlich ein äquivalentes Problem mit
$991|111...111$ (1980 1en), damit können wir schonmal die Einerstelle des Ergebnisses angeben, die ist nämlich 1, damit wissen wir, dass in das Restergebnis die Form [mm] $x_1 [/mm] + 991$ hat, wobei gilt [mm] $10|x_1$.
[/mm]
Die zweite Stelle des Ergebnisses ist wieder eine 1 und wir haben bereits 9 Stellen aus dem ersten Überlauf, die Zehnerstelle des Ergebnisses muss also 2 sein, woraus sich [mm] ergibt:$x_2 [/mm] + 19820 + 991 = 111...111$, mit [mm] $100|x_2$
[/mm]
Mit diesem Verfahren könnte man ermitteln, ob die Gleichung stimmt, da man jedem [mm] $10^i$ [/mm] von [mm] $\summe_{i=0}^{1979}(a_i*10î)$ [/mm] ein eindeutiges [mm] $a_i$ [/mm] zuordnen muss, damit das Ergebnis auf dem Weg bleibt.
Leider fehlt mir Lust, Zeit und Inspiration, den Nachweis auf diese Art zu bringen ^^;
Ich bin auf das Ergebnis mit Fermat gespannt, leider kann ich selbst mit dem Tipp nichts anfangen o.O
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Di 24.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Ich habe natürlich zwanghaft versucht, irgendwo den Fermat anzuwenden, aber ausser der Tatsache, dass 991 eine Primzahl ist, und man somit auf einer Zerlegung ala
[mm]\summe_{i=0}^{1979}{10^i}=n^{991-1}-1[/mm]
hoffen könnte, doch sehe ich hier (noch) keinen Ausweg.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:27 Di 24.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber AT-Colt, lieber Hanno!
Ihr habt richtig erkannt, dass es genügt das Folgende zu zeigen:
$991 [mm] \, \vert \, \underbrace{11\cdots 1}_{1980}$.
[/mm]
Nun gebe ich einen weiteren Tipp:
[mm] $\underbrace{11\cdots 1}_{1980} [/mm] = [mm] \frac{10^{1980}-1}{9}$.
[/mm]
Jetzt kann man nochmal im Zähler faktorisieren. Und dann schreit Fermat ganz, ganz laut: Hier!
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Di 24.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan ;)
Hmm, mannoooo, dass wir da nich selber drauf gekommen sind. Dann isses ja nur noch ein Klaks ;)
[mm]\frac{10^{1980}-1}{9}[/mm]
[mm]=\frac{(10^{991-1}-1)(10^{991-1}+1)}{9}[/mm]
Laut Fermat ist der Zähler durch 991 teilbar. Folglich ist [mm]10^{991-1}-1[/mm] durch 991 teilbar.
Damit ist $ [mm] \underbrace{11\cdots 1}_{1980} [/mm] $ durch 991 teilbar woraus die Behauptung folgt.
*immernochärgert* ;)
Gruß,
Hanno
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