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Forum "Integrationstheorie" - 1D Hauptsatz aus Gauss/Stokes
1D Hauptsatz aus Gauss/Stokes < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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1D Hauptsatz aus Gauss/Stokes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:56 So 03.07.2011
Autor: kuddlmuddl

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo,
Differentialformen wurden bei uns nicht behandelt, weswegen mir mein Forster nicht hilft.

Ich würde gerne Verstehen, wie sich der 1D-Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung (http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Analysis) aus dem Gaußschen Integralsatz und wie er sich aus dem (klassischen! dh [mm] \IR^{3} [/mm] - geht das überhaupt?) Stokesschen Integralsatz herleiten lässt.

1) Versuch die Herleitung aus Gauß zu verstehen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fscher_Integralsatz#Varianten (dritter Punkt)
Links das Integral über die Ableitung einer Reelen Funktion. Ist dies im 1D das selbe wie die Divergenz von f? Sieht so aus.

Probleme habe ich nun mit dem Mittleren Ausdruck und mit dem letzten.
In der Mitte deutet der Kreis im Integral an, dass es sich um einen geschlossenen Weg handelt - das verstehe ich nicht. Wieso geschlossen?
Nach Gauß müsste dort nun das Integral über die Umrandung des Intervalls (also a, b) stehen - ist das nicht ein Weg-Integral? Ich gehe doch mit der Integrationsvariablen x von a bis b und nicht etwa im Kreis.
Außerdem ist es ein Integral von f * [mm] d\vec{S} [/mm] dort.
f ist Natürlich die Stammfunktion von [mm] \partial [/mm] f und entspricht F im Gaußschen Satz. Aber * [mm] d\vec{S}? [/mm] Das Mal entspricht wohl im 1D dem Skalarprodukt und [mm] d\vec{S} [/mm] steht für ein Flächenelement (ich kenne natürlich Integration über Mannigfaltigkeiten). Wo ist der Normalen-Einheitsvektor hin aus dem Gauß?

Der letzte Ausdruck lautet nun einfach nur f(b) - f(a) was ja auch rechts im 1D Fundamentalsatz steht - aber wie man vom mittleren Ausdruck zu diesem hinkommt ist mir unklar.
Kann mir bitte jemand helfen die beiden "=" zu verstehen?

2) Versuch die Herleitung aus Stoke zu verstehen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Stokes#Hauptsatz_der_Differential-_und_Integralrechnung
Da Wiki dort Pfaffschen Formen und den allgemeine Stoke'sche Integralsatz (den ich nicht können muss) verwendet gehe ich mal davon aus, dass es garnicht so einfach geht diesen als Verallgemeinerung vom Fundamentalsatz zu verstehen?


        
Bezug
1D Hauptsatz aus Gauss/Stokes: Skript
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:06 Mo 04.07.2011
Autor: kuddlmuddl

Ich habe nun gerade dies hier gefunden was ziemlich gut aussieht.. aber mein großes "?" ist immer noch nicht verschwunden:
www.fieldtheory.uni-oldenburg.de/polley/VL/MMP-SS08-Folien.pdf

Bezug
        
Bezug
1D Hauptsatz aus Gauss/Stokes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:27 Mo 04.07.2011
Autor: leduart

Hallo
ich versteh dein Anliegen nicht. Der Gauss sche Satz ist doch mehrdimensional was soll er denn in 1d sagen?
etwa sowas wie [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{df(x)}{dx} dx}=f(b)-f(a)[/mm]
oder was willst du genau?
Gruss leduart


Bezug
                
Bezug
1D Hauptsatz aus Gauss/Stokes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:15 Mo 04.07.2011
Autor: kuddlmuddl


> Hallo
>  ich versteh dein Anliegen nicht. Der Gauss sche Satz ist
> doch mehrdimensional was soll er denn in 1d sagen?
> etwa sowas wie [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{df(x)}{dx} dx}=f(b)-f(a)[/mm]
>  
> oder was willst du genau?
>  Gruss leduart
>  

Hallo,

ich habe ganz einfach gedacht, eine naheliegende Frage am Ende der Prüfung, nachdem ich Gauß und Stoke hingeschrieben und erklärt habe, wäre doch:
"Jetzt erklären sie mal, wie der Zusammenhang zwischen Gauß zu dem bekannten 1D-Hauptsatz ist." (oder Stoke)

Und dann muss ich ja sowas sagen wie:
Gauß ist die mehrdimensionale Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes.
Das "Volumen" über das der Gauß auf der linken Seite integriert ist das Intervall [a, b] während der Rand dieses Volumens über den das Integral rechts gebildet wird natürlich nur aus den Punkten a und b besteht.
[mm]div F(x) d^{n}x[/mm] der linken Seite entspricht einfach df im 1D und die Rechte Seite:
[mm][/mm] entspricht dann ....
Und damit ergibt sich dann ....

Oder wie würdet ihr diese Frage beantworten?

Bezug
                        
Bezug
1D Hauptsatz aus Gauss/Stokes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:29 Mo 04.07.2011
Autor: M.Rex

Hallo

Der Hauptsatz der Differenmtial- und Integralrechung lautet doch:

[mm] \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) [/mm]

Jetzt hast du (in [mm] \IR [/mm] ):


[mm] \int\limits_{a}^{b}\frac{df}{dx}dx=\int\limits_{a}^{b}f'(x)dx= [/mm]

Ist dir der Unterschied denn klar?

Marius


Bezug
                                
Bezug
1D Hauptsatz aus Gauss/Stokes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:14 Mo 04.07.2011
Autor: kuddlmuddl


> Der Hauptsatz der Differenmtial- und Integralrechung lautet
> doch:
> [mm]\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)[/mm]
> Jetzt hast du (in [mm]\IR[/mm] ):
> [mm]\int\limits_{a}^{b}\frac{df}{dx}dx=\int\limits_{a}^{b}f'(x)dx=[/mm]
> Ist dir der Unterschied denn klar?

Ich wende Gauß halt nicht auf f sondern auf df an.. das ist ja auch was bei Wiki steht. Soweit klar würde ich sagen.
Aber wieso geschlossener Weg?

Bezug
                                        
Bezug
1D Hauptsatz aus Gauss/Stokes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:17 Mo 04.07.2011
Autor: M.Rex

Hallo



>  
> Ich wende Gauß halt nicht auf f sondern auf df an.. das
> ist ja auch was bei Wiki steht. Soweit klar würde ich
> sagen.

Was ist dann also hier die Stammfunktion?

>  Aber wieso geschlossener Weg?

Welche Eigenschaft hat denn die zu bestimmende Stammfunktion hier noch?

Marius


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Bezug
1D Hauptsatz aus Gauss/Stokes: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:43 Mo 04.07.2011
Autor: kuddlmuddl


> Hallo
>  
>
>
> >  

> > Ich wende Gauß halt nicht auf f sondern auf df an.. das
> > ist ja auch was bei Wiki steht. Soweit klar würde ich
> > sagen.
>  
> Was ist dann also hier die Stammfunktion?

f natürlich? Genau genommen f+c da sie ja nicht eindeutig bestimmt ist aber bei der anschließenden Rechnung f(b)+c - (f(a)+c) hebt sich c natürlich weg und es bleibt f(b)-f(a).. das war mir schon immer klar.

> >  Aber wieso geschlossener Weg?

>
> Welche Eigenschaft hat denn die zu bestimmende
> Stammfunktion hier noch?

Allein die Existenz einer Stammfunktion ist halt
<=>
Wegintegrale hängen nur von Anfangs- und Endpunkt ab
<=>
Das Weg-Integral über jeden geschlossenen Weg ist 0

Aber trotzdem bleiben meine Fragen vom Anfang :-/

Bezug
        
Bezug
1D Hauptsatz aus Gauss/Stokes: 3D-Gauß --> 1D-Hauptsatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:13 Mo 04.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo kuddlmuddl,

> Ich würde gerne Verstehen, wie sich der 1D-Hauptsatz der
> Integral- und Differentialrechnung
> (http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Analysis)
> aus dem Gaußschen Integralsatz und wie er sich aus dem
> (klassischen! dh [mm]\IR^{3}[/mm] - geht das überhaupt?)
> Stokesschen Integralsatz herleiten lässt.
>  
> 1) Versuch die Herleitung aus Gauß zu verstehen:
>  
> http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fscher_Integralsatz#Varianten
> (dritter Punkt)
>  Links das Integral über die Ableitung einer Reelen
> Funktion. Ist dies im 1D das selbe wie die Divergenz von f?
> Sieht so aus.

Für den Fall eines dreidimensionalen Vektorfeldes [mm] \vec f(x_1, x_2, x_3) [/mm]
ist die Divergenz definiert als

    [mm] $\operatorname{div}\colon\quad \vec [/mm] f = [mm] \left(f_1, f_2, f_3\right)\quad \mapsto\quad \frac{\partial}{\partial x_1}f_1 [/mm] + [mm] \frac{\partial}{\partial x_2}f_2+ \frac{\partial}{\partial x_3}f_3$ [/mm]

Werden nun die Dimensionen sowohl von [mm] \overrightarrow{x} [/mm] als auch
[mm] \overrightarrow{f} [/mm] auf 1 reduziert, so bleibt (nach Weglassung
der nunmehr überflüssigen Indices) davon übrig:

    [mm] $\operatorname{div}\colon\quad \vec [/mm] f = [mm] \left(f\right)\quad \mapsto\quad \frac{\partial}{\partial x}f [/mm] $

was der "gewöhnlichen" Ableitung  [mm] \frac{d\,f}{d\,x}=f'(x) [/mm]  entspricht.

  

> Probleme habe ich nun mit dem mittleren Ausdruck und mit
> dem letzten.
>  In der Mitte deutet der Kreis im Integral an, dass es sich
> um einen geschlossenen Weg handelt - das verstehe ich
> nicht. Wieso geschlossen?

Das Symbol deutet hier nicht ein Kurvenintegral an (auch
im [mm] \IR^3 [/mm] nicht !) , sondern das Integral über den Rand.
Dieser besteht im 1D-Fall nur aus den Punkten a und b.

>  Nach Gauß müsste dort nun das Integral über die
> Umrandung des Intervalls (also a, b) stehen - ist das nicht
> ein Weg-Integral?

Der Rand des Intervalls [mm] [a,b]\subset\IR [/mm] ist kein Intervall,
sondern nur die Menge [mm] \{a,b\} [/mm] .

> Ich gehe doch mit der
> Integrationsvariablen x von a bis b und nicht etwa im
> Kreis.
>  Außerdem ist es ein Integral von f * [mm]d\vec{S}[/mm] dort.
>  f ist Natürlich die Stammfunktion von [mm]\partial[/mm] f und
> entspricht F im Gaußschen Satz. Aber * [mm]d\vec{S}?[/mm] Das Mal
> entspricht wohl im 1D dem Skalarprodukt und [mm]d\vec{S}[/mm] steht
> für ein Flächenelement (ich kenne natürlich Integration
> über Mannigfaltigkeiten). Wo ist der
> Normalen-Einheitsvektor hin aus dem Gauß?

[mm] d\vec{S} [/mm] ist schon immer noch der nach aussen zeigende
"Normalenvektor" in einem Randpunkt. Der Normalen-
Einheitsvektor [mm] \vec{n_b} [/mm] im rechten Endpunkt b des Intervalls zeigt
nach rechts, hat also die (einzige) Komponente 1, also ist [mm] \vec{n_b}=(1) [/mm] .
Im linken Endpunkt a zeigt er nach links, also  [mm] \vec{n_a}=(-1) [/mm] .
  

> Der letzte Ausdruck lautet nun einfach nur f(b) - f(a) was
> ja auch rechts im 1D Fundamentalsatz steht - aber wie man
> vom mittleren Ausdruck zu diesem hinkommt ist mir unklar.

Skalarprodukt und Summation (anstelle der Integration):

     [mm] $f(a)*\vec{n_a}+f(b)*\vec{n_b}=f(a)*(-1)+f(b)*(+1)=f(b)-f(a)$ [/mm]

Genau zu begründen, wie man jetzt zu dieser Ersetzung
des Integrals (unendlich viele infinitesimale Summanden)
zu einer Summation von zwei (endlichen) Termen kommt
würde aber noch eine geeignete Limesbetrachtung erfordern.

LG   Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
1D Hauptsatz aus Gauss/Stokes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Mo 04.07.2011
Autor: kuddlmuddl

Ein riesiges Dankeschön für diese ausführliche Antwort!
Da sind mir aber viele Lichter auf einmal aufgegangen.
Insbesondere der äußere Normalen-Einheitsvektor, der eben einmal bei a nach Links und bei b nach Rechts zeigt war mir nicht klar, obwohl es ja so naheliegend ist! So macht natürlich auch [mm]f(b) - f(a) = -1*f(a) + 1*f(b) [/mm] viel mehr Sinn.

> > Außerdem ist es ein Integral von f * [mm]d\vec{S}[/mm] dort.
> > f ist Natürlich die Stammfunktion von [mm]\partial[/mm] f und
> > entspricht F im Gaußschen Satz. Aber * [mm]d\vec{S}?[/mm] Das Mal
> > entspricht wohl im 1D dem Skalarprodukt und [mm]d\vec{S}[/mm] steht
> > für ein Flächenelement (ich kenne natürlich Integration
> > über Mannigfaltigkeiten). Wo ist der
> > Normalen-Einheitsvektor hin aus dem Gauß?
>  
> [mm]d\vec{S}[/mm] ist schon immer noch der nach aussen zeigende
>  "Normalenvektor" in einem Randpunkt.

Huch? Ich dachte S für engl. franz. "Surface"?
Im Forster steht:
"Man nennt dS(x) das k-dimensionale Flächenelement."
Oder ist das im Grunde das selbe, da eine gekrümmte Oberfläche ja nicht aus ebenen Flächen zusammengesetzt wird (wie aus Polygonen in der 3D-Grafik) sondern nur Punktweise wie eine Fläche gesehen werden kann - eben dem Tangentialraum [mm]T_{a}M[/mm] mit M als Mannigfaltigkeit?
Dh dS(x) "ist" dann nicht die Fläche sondern zeichnet in einem Punkt den Normalen-Einheitsvektor aus, der senkrecht auf [mm]T_{a}M[/mm] steht wodurch das unendlich kleine (punktförmige) k-dim Flächenelement [mm]T_{a}M[/mm] beschrieben wird?

> Genau zu begründen, wie man jetzt zu dieser Ersetzung
>  des Integrals (unendlich viele infinitesimale Summanden)
>  zu einer Summation von zwei (endlichen) Termen kommt
>  würde aber noch eine geeignete Limesbetrachtung
> erfordern.

Kannst du mir bitte noch den Tipp geben, was dort Limes-mäig betrachtet wird?
Oder ist das dann der "normale" Beweis des Fundamentalsatzes? Den finde ich natürlich selbst unter
http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Analysis#Der_Beweis
und muss ich für ne Ana3 Prüfung wohl kaum kennen.

Danke nochmal :)

Bezug
                        
Bezug
1D Hauptsatz aus Gauss/Stokes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 Mo 04.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Ein riesiges Dankeschön für diese ausführliche Antwort!

gern geschehen !

>  Da sind mir aber viele Lichter auf einmal aufgegangen.
>  Insbesondere der äußere Normalen-Einheitsvektor, der
> eben einmal bei a nach Links und bei b nach Rechts zeigt
> war mir nicht klar, obwohl es ja so naheliegend ist! So
> macht natürlich auch [mm]f(b) - f(a) = -1*f(a) + 1*f(b)[/mm] viel
> mehr Sinn.
>  
> > > Außerdem ist es ein Integral von f * [mm]d\vec{S}[/mm] dort.
>  > > f ist Natürlich die Stammfunktion von [mm]\partial[/mm] f und

> > > entspricht F im Gaußschen Satz. Aber * [mm]d\vec{S}?[/mm] Das Mal
> > > entspricht wohl im 1D dem Skalarprodukt und [mm]d\vec{S}[/mm] steht
> > > für ein Flächenelement (ich kenne natürlich Integration
> > > über Mannigfaltigkeiten). Wo ist der
> > > Normalen-Einheitsvektor hin aus dem Gauß?
>  >  
> > [mm]d\vec{S}[/mm] ist schon immer noch der nach aussen zeigende
>  >  "Normalenvektor" in einem Randpunkt.
>  Huch? Ich dachte S für engl. franz. "Surface"?

Da war ich wohl nicht ganz exakt. Ich meinte damit
eigentlich nur, dass das vektorielle [mm] \overrightarrow{dS} [/mm] die
Richtung des Normalenvektors hat. Der Betrag von [mm] \overrightarrow{dS} [/mm] ,
der oft einfach als dS geschrieben wird, entspricht dem
(infinitesimalen) Oberflächenelement.

Das vektorielle [mm] \overrightarrow{dS} [/mm] gibt (z.B. in einem Punkt einer
2D-Fläche im [mm] \IR^3) [/mm] eben nicht nur die Größe des Flächen-
elementes an (um z.B. eine Oberfläche durch Integration zu
bestimmen), sondern auch die Richtung des Normalen-
vektors (und damit auch der Tangentialebene). Das vek-
torielle [mm] \overrightarrow{dS} [/mm] benützt man dann auch zur Berechnung des
Flusses eines Vektorfeldes durch die Fläche oder z.B. zur
Berechnung der Spiegelung eines Lichtstrahls an der Fläche.

>  Im Forster steht:
>  "Man nennt dS(x) das k-dimensionale Flächenelement."
>  Oder ist das im Grunde das selbe, da eine gekrümmte
> Oberfläche ja nicht aus ebenen Flächen zusammengesetzt
> wird (wie aus Polygonen in der 3D-Grafik) sondern nur
> Punktweise wie eine Fläche gesehen werden kann - eben dem
> Tangentialraum [mm]T_{a}M[/mm] mit M als Mannigfaltigkeit?
>  Dh dS(x) "ist" dann nicht die Fläche sondern zeichnet in
> einem Punkt den Normalen-Einheitsvektor aus, der senkrecht
> auf [mm]T_{a}M[/mm] steht wodurch das unendlich kleine
> (punktförmige) k-dim Flächenelement [mm]T_{a}M[/mm] beschrieben
> wird?
>  
> > Genau zu begründen, wie man jetzt zu dieser Ersetzung
>  >  des Integrals (unendlich viele infinitesimale Summanden)
>  >  zu einer Summation von zwei (endlichen) Termen kommt
>  >  würde aber noch eine geeignete Limesbetrachtung
> > erfordern.
>  
> Kannst du mir bitte noch den Tipp geben, was dort
> Limes-mäßig betrachtet wird?

Den Gedanken habe ich nur mal so hingeworfen - ich müßte
mir die konkrete Durchführung erst selber überlegen ...

>  Oder ist das dann der "normale" Beweis des
> Fundamentalsatzes?

Nein, sicher nicht.

> Den finde ich natürlich selbst unter

  

> http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Analysis#Der_Beweis
>  und muss ich für ne Ana3 Prüfung wohl kaum kennen.
>  
> Danke nochmal :)

LG   Al-Chw.


Bezug
                        
Bezug
1D Hauptsatz aus Gauss/Stokes: Reduktion 3D -->1D : Beweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 Mo 04.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


>  >  Genau zu begründen, wie man jetzt zu dieser Ersetzung
>  >  des Integrals (unendlich viele infinitesimale Summanden)
>  >  zu einer Summation von zwei (endlichen) Termen kommt
>  >  würde aber noch eine geeignete Limesbetrachtung
>  >  erfordern.
>  
> Kannst du mir bitte noch den Tipp geben, was dort
> Limes-mäßig betrachtet wird?


Das habe ich mir nun kurz zurecht gelegt.

Gegeben sei also eine (mindestens) auf $\ [mm] [\,a,b\,]$ [/mm] diffe-
renzierbare Funktion f: [mm] \mathds{D}_f\to\IR [/mm]
Wir definieren zunächst ein Vektorfeld

     [mm] \overrightarrow{F}: [/mm] $\ [mm] \mathds{D}_f\times\IR\times\IR\ \to\ \IR^3$ [/mm]

        $(x,y,z)\ [mm] \mapsto\ (f(x),0,0\,)$ [/mm]

Nun wenden wir den (3D-) Divergenzsatz auf den Quader
Q = [mm] [a,b]\times[0,1]\times[0,1] [/mm] an:

    [mm] $\underbrace{\iiint\limits_{Q}div( \overrightarrow{F})\,dV}_L\ [/mm] =\ [mm] \underbrace{\iint\limits_{\partial\,Q} \overrightarrow{F}*\overrightarrow{dS}}_R$ [/mm]

Wegen $\ div( [mm] \overrightarrow{F})=f'(x)$ [/mm] folgt:

    $\ L\ =\ [mm] \integral_{x=a}^{b}\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}f'(x)\ [/mm] dz\ dy\ dx\ =\ [mm] \integral_{x=a}^{b}f'(x)\ [/mm] dx$

Weiter besteht das Flussintegral der rechten Seite nur aus
den Bestandteilen, welche die Begrenzungsflächen x=a
und x=b des Quaders Q betreffen, da alle übrigen vier
Begrenzungsflächen des Quaders parallel zum Feldvektor [mm] \overrightarrow{F} [/mm]
sind. Was also übrig bleibt ist:

    $\ R\ =\ [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1} \overrightarrow{F}(a,y,z)*(-1,0,0)\ [/mm] dz\ dy\ +\ [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1} \overrightarrow{F}(b,y,z)*(+1,0,0)\ [/mm] dz\ dy$

    $\ =\ [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}f(a)*(-1)\ [/mm] dz\ dy\ +\ [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}f(b)*(+1)\ [/mm] dz\ dy\ =\ -f(a)+f(b)$

Zusammengefasst also:     [mm] $\integral_{x=a}^{b}f'(x)\ [/mm] dx\ =\ f(b)-f(a)$

LG    Al-Chwarizmi



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