1 Würfel verdoppeln, 2 Würfel < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Mo 29.11.2010 | | Autor: | ONeill |
| Aufgabe | | Sonja und Jonas wollen würfeln; wer die höchste Punktzahl erreicht, gewinnt. Sonja hat zwei Würfel, Jonas aber nur einen. Sonja schlägt vor, dass sie ihre Würfelergebnisse addiert, Jonas dafür seine jeweilige Augenzahl verdoppeln darf. Wer wird nach hinreichend langer Spielzeit gewinnen? Begründen Sie Ihre Antwort. |
Hi!
Mir erscheint es logisch, dass hier ein ausgeglichenes Spiel herrscht. Bei der Begründung hapert es. Ich habe mir überlegt:
Sonja wirft unendlich mal und kommt im Mittel auf 7 Augen pro Wurf.
Jonas hat nur einen Würfel. Wenn wir das mit den Würfen von Sonja vergleichen hat er nur 0,5* unenedlich gewürfelt und kommt im Mittel auf 3,5 Augenzahlen. Wird das verdoppelt, kommt er ebenfalls auf 7.
Was sagt ihr dazu? Vielen Dank.
Gruß Christian
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Hallo Christian,
wieder ein schönes Beispiel für eine unvollkommen gestellte Aufgabe.
Wenn das durchschnittliche Ergebnis zählt, hast Du natürlich vollkommen recht.
Wenn aber die Frage aufgeworfen wird, wer öfter gewinnt, kann das ja anders aussehen. Jonas erreicht nämlich niemals 7 Punkte.
Sonja kann 2 bis 12 Punkte erreichen, mit Wahrscheinlichkeiten zwischen [mm] \tfrac{1}{12} [/mm] und [mm] \tfrac{1}{6}. [/mm] Jonas kann ebenfalls 2 bis 12 Punkte erreichen, aber nur gerade Werte, jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] \tfrac{1}{6}.
[/mm]
Nur: wer gewinnt denn das einzelne Spiel mit welcher Wahrscheinlichkeit? Darum geht es hier, sonst wäre die Aufgabe leider sinnlos.
Andererseits wäre sie damit in guter Gesellschaft zahlreicher Übungsaufgaben, in denen das Wesentliche keine Erwähnung findet...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Mo 29.11.2010 | | Autor: | ONeill |
Hi reverend!
> Wenn das durchschnittliche Ergebnis zählt, hast Du
> natürlich vollkommen recht.
Mhh ist danach nicht gefragt? Wenn ich laut Aufgabe "nach hinreichend langer Spielzeit" die Wurfzahlen betrachte, dann komme ich doch auf den Mittelwert.
> Wenn aber die Frage aufgeworfen wird, wer öfter gewinnt,
> kann das ja anders aussehen. Jonas erreicht nämlich
> niemals 7 Punkte.
Aber die Augenzahlen 4, 5, 6 und somit 8, 10,12 Punkte und damit gewinnt er.
> Sonja kann 2 bis 12 Punkte erreichen, mit
> Wahrscheinlichkeiten zwischen [mm]\tfrac{1}{12}[/mm] und
> [mm]\tfrac{1}{6}.[/mm]
Ja das habe ich mal ausgerechnet, siehe Tabelle unten.
> Jonas kann ebenfalls 2 bis 12 Punkte
> erreichen, aber nur gerade Werte, jeweils mit einer
> Wahrscheinlichkeit von [mm]\tfrac{1}{6}.[/mm]
Ja damit bin ich einverstanden. 
> Nur: wer gewinnt denn das einzelne Spiel mit welcher
> Wahrscheinlichkeit? Darum geht es hier, sonst wäre die
> Aufgabe leider sinnlos.
Nein es geht darum, wer nach vielen vielen Spielen gewinnt, denke ich.
> Andererseits wäre sie damit in guter Gesellschaft
> zahlreicher Übungsaufgaben, in denen das Wesentliche keine
> Erwähnung findet...
Gut das ist eine andere Frage
Ich habe mir mal den Erwartungswert ausgerechnet. Und ich denke das bestätigt meine Annahme.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Freue mich natürlich sehr über weitere Kommentare. Dankeschön.
Gruß Christian
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:35 Di 30.11.2010 | | Autor: | Walde |
Hi ONeill,
also ich hab mir mal die Mühe gemacht und die W'keiten zB für "Jonas gewinnt" ausgerechnet und erhalte auch,dass beide die gleiche W'keit zum Gewinnen haben. [mm] \bruch{99}{216} [/mm] mit [mm] \bruch{18}{216} [/mm] für's Unentschieden.)
Lg walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:48 Di 30.11.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
das wäre auch ohne Rechnen gegangen.
Auch wenn die beiden Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Jonas und Sonja verschieden sind, so sind doch beide symmetrisch zu 7. Sollte es also von 2 bis 6 einen Vorteil für einen Spielpartner geben, wird es den gleichen Vorteil für den anderen dann von 8 bis 12 geben.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Sa 24.11.2012 | | Autor: | PS09 |
Sowohl Sonja, als auch Jonas können mit einem Wurf ein Ergebnis zwischen 2- 12 erzielen.
JONAS:
Jonas darf seine Zahl immer Verdoppeln.
Für einen Wurf ist die Wahrscheinlichkeit 1/6
Er kommt immer nur auf gerade Zahlen, wenn er verdoppelt: 2; 4; 6; 8; 10; 12
Er wiederholt das ganze sehr sehr oft (n -> Unendlich) , das heißt, die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl zu würfeln gegen 0 (p->0) geht.
Das erinnert nun an die Poisson-Verteilung ;) (diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte)
Also würfelt Jonas im Mittel eine 7, auch wenn er das Ergebnis nicht wirklich erreichen kann, aber darum geht es ja nun nicht.
SONJA:
Sonja würfelt mit zwei Würfeln.
Für jeden Wurf ist die Wahrscheinlichkeit 1/6
Sie kommt immer auf Zahlen von 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12
Auch sie wiederholt das ganze n-Mal, wobei n -> unendlich geht. Wenn n-> unenedlich geht ist die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Augenzahl zu würfeln gegen Null.
Auch das erinnert an die Poissonverteilung und sie würfelt im Mittel ebenfalls eine 7.
Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung ist mit mehr diskreten Werten gefüllt, jedoch ändert dies nichts an der mittleren Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses.
Also gibt es im Mittel keinen Gewinner.
Gruß
PS09
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