2-dim Vektorintegral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Mo 02.07.2007 | | Autor: | Chekov |
| Aufgabe | Kraftfeld und Potential
Gegeben sei das Kraftfeld [mm] \vec{F} (x,y)= \begin{pmatrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \\ \frac{2}{y}-\frac{x}{y^2} \end{pmatrix} [/mm] mit x,y>0
Berechnen sie das zugehörige Potential [mm] U(x,y)= \integral_{C}{} \vec{F} d\vec{r} [/mm] wobei C einen Pfad von (x0, y0) nach (x,y) bezeichnet. |
Wie löse ich dieses Integral um an das Potential zu kommen? Da das Feld konservativ ist müsste ich es doch in die Änderung der x und y Komponente zerlegen können und daher einfache 1 dim Integrationen machen können. Hat bei mir aber net funktioniert. Habt ihr Vorschläge?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Erstmal eine Frage: Bist du dir sicher mit dem Konservativ? Ich habe es nicht nachgerechnet...
Also, es gilt hier [mm] $d\vec r=\vektor{dx \\ dx}$
[/mm]
Wenn du das zusammen mit der Kraft einsetzt, steht da kein Vektor mehr im Integral, dafür hast du dann zwei Integrale:
[mm] $\integral [/mm] (... [mm] dx+...dy)=\integral [/mm] ... [mm] dx+\integral...dy$
[/mm]
Jetzt kannst du sagen, daß du erst in x-Richung integrierst, also y auf dem Anfangswert läßt und das erste Integral ausrechnest. Danach rechnest du das zweite Integral aus, diesmal ist x aber schon der Endwert.
Natürlich kannst du auch umgekehrt erst in y-Richtung integrieren, oder dir sonstwas für Pfade ausdenken.
Und dann kannst du natürlich auch noch den direkten Weg nehmen, indem du einen Weg parametrisierst. Das ginge so:
[mm] $r(t)=\vektor{x_0 \\ y_0}+t*\vektor{ X-x_0 \\ Y-y_0}$ [/mm] mit [mm] $t\in[0;1]$
[/mm]
und hieraus:
[mm] $\frac{dr}{dt}=...$
[/mm]
[mm] $dr(=\vektor{ X-x_0 \\ Y-y_0}dt$
[/mm]
Das kannst du nun für dr einsetzen, zusammen mit der Kraft (innerhalb derer du natürlich auch noch x und y mittels r(t) umschreiben mußt). Das ergibt dann ein eindimensionales Integral in t.
Ist die Kraft konservativ, sollte immer das gleiche rauskommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Mi 04.07.2007 | | Autor: | Chekov |
Ja, danke hab mich einfach nur verrechnet und hab es nicht bemerkt. Danke für die Erklärung mit der Parametrisierung.
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