2-mal partielle Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Di 25.05.2010 | | Autor: | mathiko |
| Aufgabe | | Betrachte die Funktion F: [mm] \IR^2->\IR, F(x,y)=x*y*\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2} [/mm] für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) und F(0,0)=0. Zeige, dass F überall zweimal partiell differenzierbar ist. |
Hallo!
ich habe bei obiger Aufgabe folgendes Problem:
Ich habe die Ableitungen [mm] \bruch{\partial^2}{\partial y \partial x} [/mm] und [mm] \bruch{\partial^2}{\partial x \partial y} [/mm] berechnet und es kommt das Gleiche heraus.
Auch [mm] \bruch{\partial^2}{\partial x \partial x} [/mm] und [mm] \bruch{\partial^2}{\partial y \partial y} [/mm] sind nicht Null:
[mm] \bruch{\partial^2}{\partial x \partial x}=-4*xy^3*\bruch{x^2-3*y^2}{(x^2+y^2)^3}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2}{\partial y \partial y}=4*yx^3*\bruch{y^2-3x^2}{(x^2+y^2)^3}
[/mm]
Ich bin mir nicht sicher, ob das als Beweis reicht, besonders, weil mich das F(0,0)=0 irritiert, auch wenn dann in allen 4 Ableitungen 0 rauskommt.
Nach unserem Tutor soll F nicht 2-mal partiell differenzierbar sein, aber ich finde, dass meine Ergebnisse das Gegenteil sind.
Könntet ihr mir meinen Denkfehler aufzeigen?
Danke schon mal!!!!!!!
Grüße von mathiko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Mi 26.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Du mußt noch $ [mm] \bruch{\partial^2f}{\partial y \partial x}(0,0) [/mm] $ und $ [mm] \bruch{\partial^2f}{\partial x \partial y}(0,0) [/mm] $ berechnen !!
Wenn Du es richtig machst, wirst Du feststellen, dass
(*) $ [mm] \bruch{\partial^2f}{\partial y \partial x}(0,0) \ne \bruch{\partial^2f}{\partial x \partial y}(0,0) [/mm] $
ist.
Trotzdem: f ist auf [mm] \IR^2 [/mm] zweimal partiell differenzierbar.
Zu Dir und Deinem Tutor:
Falls Dein Tutor gesagt hat, f sei nicht 2-mal partiell differenzierbar, so ist er ein schlechter Tutor und gehört entlassen.
Falls Dein Tutor gesagt hat, f sei nicht 2-mal stetig partiell differenzierbar, so ist er ein guter Tutor und gehört nicht entlassen, aber Dir gehört ein Hörgerät verpasst.
Fazit: f ist 2-mal partiell differenzierbar, aber nicht 2-mal stetig partiell differenzierbar (wegen des Satzes von Schwarz und (*))
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 Mi 26.05.2010 | | Autor: | mathiko |
Danke!
Mit dem Satz von Schwarz habe ich es jetzt hingekriegt.
Vielleicht hat unser Tutor das Richtige gemeint, aber es falsch ausgedrückt, weil´s für ihn zu einfach ist...
Grüße von mathiko
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