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2-mal partielle Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Di 25.05.2010
Autor: mathiko

Aufgabe
Betrachte die Funktion F: [mm] \IR^2->\IR, F(x,y)=x*y*\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2} [/mm] für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) und F(0,0)=0. Zeige, dass F überall zweimal partiell differenzierbar ist.

Hallo!

ich habe bei obiger Aufgabe folgendes Problem:

Ich habe die Ableitungen [mm] \bruch{\partial^2}{\partial y \partial x} [/mm] und [mm] \bruch{\partial^2}{\partial x \partial y} [/mm] berechnet und es kommt das Gleiche heraus.
Auch [mm] \bruch{\partial^2}{\partial x \partial x} [/mm] und [mm] \bruch{\partial^2}{\partial y \partial y} [/mm] sind nicht Null:
[mm] \bruch{\partial^2}{\partial x \partial x}=-4*xy^3*\bruch{x^2-3*y^2}{(x^2+y^2)^3} [/mm]
[mm] \bruch{\partial^2}{\partial y \partial y}=4*yx^3*\bruch{y^2-3x^2}{(x^2+y^2)^3} [/mm]
Ich bin mir nicht sicher, ob das als Beweis reicht, besonders, weil mich das         F(0,0)=0 irritiert, auch wenn dann in allen 4 Ableitungen 0 rauskommt.
Nach unserem Tutor soll F nicht 2-mal partiell differenzierbar sein, aber ich finde, dass meine Ergebnisse das Gegenteil sind.
Könntet ihr mir meinen Denkfehler aufzeigen?

Danke schon mal!!!!!!!
Grüße von mathiko

        
Bezug
2-mal partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:51 Mi 26.05.2010
Autor: fred97

Du mußt noch $ [mm] \bruch{\partial^2f}{\partial y \partial x}(0,0) [/mm] $  und $ [mm] \bruch{\partial^2f}{\partial x \partial y}(0,0) [/mm] $ berechnen !!

Wenn Du es richtig machst, wirst Du feststellen, dass

(*)     $ [mm] \bruch{\partial^2f}{\partial y \partial x}(0,0) \ne \bruch{\partial^2f}{\partial x \partial y}(0,0) [/mm] $

ist.

Trotzdem: f ist auf [mm] \IR^2 [/mm] zweimal partiell differenzierbar.



Zu Dir und Deinem Tutor:

Falls Dein Tutor gesagt hat, f sei nicht 2-mal partiell differenzierbar, so ist er ein schlechter Tutor und gehört entlassen.

Falls Dein Tutor gesagt hat, f sei nicht 2-mal stetig partiell differenzierbar, so ist er ein guter Tutor und gehört nicht entlassen, aber Dir gehört ein Hörgerät verpasst.

Fazit: f ist 2-mal partiell differenzierbar, aber nicht 2-mal stetig partiell differenzierbar (wegen des Satzes von Schwarz und  (*))

FRED


Bezug
                
Bezug
2-mal partielle Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:26 Mi 26.05.2010
Autor: mathiko

Danke!
Mit dem Satz von Schwarz habe ich es jetzt hingekriegt.

Vielleicht hat unser Tutor das Richtige gemeint, aber es falsch ausgedrückt, weil´s für ihn zu einfach ist...

Grüße von mathiko

Bezug
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