2-stufiges Experiment < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:45 Mi 12.07.2006 | | Autor: | lerita |
| Aufgabe | | Wir betrachten folgendes 2-stufiges Experiment: Wähle eine zufällige Zahl X aus [mm] \{1,2...,k \}, [/mm] und zwar x mit Ws [mm] p_x [/mm] ( [mm] \summe_{x} p_x [/mm] =1). Ziehe anschließend aus einer Urne mit X weißen und k-X schwarzen Kugeln eine Stichprobe der Länge n mit Zurücklegen. Berechnen Sie Erwartung und Varianz der Anzahl Y der weißen Kugeln. |
Hallo,
habe versucht die Aufgabe zu rechnen. Komme aber nicht weiter.
Ich behaupte, dass
Ws (Y=y) = [mm] \vektor{n \\ y} \vektor{X \\ X+y}^y \vektor{k-X \\ X+ (k-X)}^{n-y}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 Mi 12.07.2006 | | Autor: | DirkG |
So kann man das nicht schreiben: Wahrscheinlichkeiten sind feste Zahlen, da können nicht noch Zufallsgrößen wie $X$ mit drin stehen.
Tatsächlich ist es hier so, dass man infolge dieses zweistufigen Experiments die bedingte Verteilung von $Y$ unter der Bedingung $X=x$ kennt, nämlich $Y [mm] \bigm| [/mm] X=x ~ [mm] \sim B\left( n, \frac{x}{k} \right)$ [/mm] (beachte: Ziehen mit Zurücklegen!), was man gern auch kurz $Y ~ [mm] \sim B\left( n, \frac{X}{k} \right)$ [/mm] schreibt. Jedenfalls hat das die bedingten Einzelwahrscheinlichkeiten
$$P(Y=y [mm] \bigm| [/mm] X=x) = [mm] {n\choose y} \left( \frac{x}{k} \right)^y \left( 1-\frac{x}{k} \right)^{n-y}$$
[/mm]
zur Folge. Die eigentliche Verteilung von $Y$ bestimmst du dann mit der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit
$$P(Y=y) = [mm] \sum\limits_{x} [/mm] P(Y=y [mm] \bigm| X=x)\cdot [/mm] P(X=x) .$$
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