2.5-mal würfeln? < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:07 Mo 21.09.2009 | | Autor: | Anselme |
Hallo!
Kann man 2.5-mal würfeln? Ich habe hier ein Stochastikproblem, für das mir der Beweis bzw. die zugrundeliegende Theorie fehlt.
Also: Es geht um einen Fertigungsprozess, bei dem zufällig verteilte Produktionsfehler auftreten können. Wenn ich die Anzahl der Fehler [mm] N [/mm] in einem großen Zeitintervall [mm] t [/mm] betrachte, kann ich ihre Häufigkeit durch die Fehlerdichte [mm] \bruch{N}{t} [/mm] beschreiben. So weit, so gut.
Ich kenne die Wahrscheinlichkeit [mm] p_{F} [/mm] dafür, daß in einem Zeitraum von 1 min etwas schief geht, d.h. dafür daß ein oder mehrere Fehler auftreten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß in 2:30 min etwas schiefgeht?
Meine Lösung bis jetzt:
Wenn das neue Zeitintervall nicht 2:30 min, sondern 3 min beträgt, ist die Lösung ganz einfach. Ich betrachte die 3 min als drei getrennte Intervalle von 1 min. In jedem der drei ist die Fehlerwahrscheinlichkeit [mm] p_{F} [/mm]. Es handelt sich also um drei unabhängige Bernoulli-Versuche, und ich kann die Binomialverteilung verwenden:
[mm] P(n,k,p)=\vektor{n \\ k}{p}^k(1-p)^{n-k}[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit, in 3 min keinen Fehler zu erhalten, ist
(Anzahl der Versuche [mm]n=3[/mm], Anzahl der Ereignisse [mm]k=0[/mm]):
[mm]P=(1-p_F)^3[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß nun in den drei Minuten etwas schiefgeht, ist die Differenz zu 1:
[mm]P=1-(1-p_F)^3[/mm]
Die Herleitung mit Bernoulli funktioniert wunderbar für beliebige ganzzahlige Exponenten [mm]k[/mm], also für Zeiträume von 2 min, 3min etc., deren Länge ein Vielfaches von 1 min ist. Was mach ich nun mit meinen 2:30 min? Ich müsste den Exponenten 2,5 einsetzen. Das gibt die Herleitung nicht her, da die zugrundeliegende Binomialverteilung diskret und nicht kontinuierlich ist.
Ich bin mir sicher, daß die Formel auch für nicht-ganzzahlige Exponenten gilt. Wie aber sieht der Beweis aus? Ich wäre wäre sehr glücklich, wenn mir jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Anselme,
Wirklich helfen, kann ich dir hier wohl nicht. Ich wollte dennoch zwei Bemerkungen machen:
(1) Der Binomialkoeffizient kann auch ![[]](/images/popup.gif) verallgemeinert werden.
(2) Unter bestimmten Voraussetzungen kann die diskrete Binomialerteilung durch die kontinuierliche Normalverteilung approximiert werden.
Ob das hier irgendwie hilft, kann ich leider auch nicht sagen.
Gruß V.N.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:37 Mo 21.09.2009 | | Autor: | Anselme |
Das ist es! Danke!
Die Verallgemeinerung von [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] erlaubt ungeradzahlige [mm]n[/mm]:
[mm]\vektor{n \\ k}=
\begin{cases}
\bruch{n(n-1)(n-2)*\ldots *(n-(k-1))}{k!} & \mbox{wenn } k > 0 \\
1 & \mbox{wenn } k = 0 \\
0 & \mbox{wenn } k < 0
\end{cases}[/mm]
Damit stimmt die Lösung gemäß Binomialkoeffizient also auch für beliebige Verhältnisse der Zeitintervalle. Für geradzahlige n stimmt die verallgemeinerte Definition mit der herkömmlichen Definition überein.
Merci beaucoup! Grazie mille! Thanks a lot!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:45 Mo 21.09.2009 | | Autor: | Anselme |
Ich bin neu hier: wie kann ich denn jetzt den Status der Frage auf "beantwortet" setzen? Kann ich das überhaupt oder macht das der Moderator?
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Salut Anselme,
> Ich bin neu hier:
Na dann aber erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> wie kann ich denn jetzt den Status der
> Frage auf "beantwortet" setzen? Kann ich das überhaupt
Nein 
> oder macht das der Moderator?
Ja!
Hab's mal auf beantwortet gestellt.
A bientôt
schachuzipus
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> Hallo!
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> Kann man 2.5-mal würfeln? Ich habe hier ein
> Stochastikproblem, für das mir der Beweis bzw. die
> zugrundeliegende Theorie fehlt.
>
> Also: Es geht um einen Fertigungsprozess, bei dem zufällig
> verteilte Produktionsfehler auftreten können. Wenn ich die
> Anzahl der Fehler [mm]N[/mm] in einem großen Zeitintervall [mm]t[/mm]
> betrachte, kann ich ihre Häufigkeit durch die Fehlerdichte
> [mm]\bruch{N}{t}[/mm] beschreiben. So weit, so gut.
>
> Ich kenne die Wahrscheinlichkeit [mm]p_{F}[/mm] dafür, daß in
> einem Zeitraum von 1 min etwas schief geht, d.h. dafür
> daß ein oder mehrere Fehler auftreten. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, daß in 2:30 min etwas schiefgeht?
>
> Meine Lösung bis jetzt:
>
> Wenn das neue Zeitintervall nicht 2:30 min, sondern 3 min
> beträgt, ist die Lösung ganz einfach. Ich betrachte die 3
> min als drei getrennte Intervalle von 1 min. In jedem der
> drei ist die Fehlerwahrscheinlichkeit [mm]p_{F} [/mm]. Es handelt
> sich also um drei unabhängige Bernoulli-Versuche, und ich
> kann die Binomialverteilung verwenden:
>
> [mm]P(n,k,p)=\vektor{n \\ k}{p}^k(1-p)^{n-k}[/mm]
>
> Die Wahrscheinlichkeit, in 3 min keinen Fehler zu erhalten,
> ist
> (Anzahl der Versuche [mm]n=3[/mm], Anzahl der Ereignisse [mm]k=0[/mm]):
>
> [mm]P=(1-p_F)^3[/mm]
>
> Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß nun in den drei Minuten
> etwas schiefgeht, ist die Differenz zu 1:
>
> [mm]P=1-(1-p_F)^3[/mm]
>
> Die Herleitung mit Bernoulli funktioniert wunderbar für
> beliebige ganzzahlige Exponenten [mm]k[/mm], also für Zeiträume
> von 2 min, 3min etc., deren Länge ein Vielfaches von 1 min
> ist. Was mach ich nun mit meinen 2:30 min? Ich müsste den
> Exponenten 2,5 einsetzen. Das gibt die Herleitung nicht
> her, da die zugrundeliegende Binomialverteilung diskret und
> nicht kontinuierlich ist.
>
> Ich bin mir sicher, daß die Formel auch für
> nicht-ganzzahlige Exponenten gilt. Wie aber sieht der
> Beweis aus?
Bonjour Anselme,
es ist durchaus möglich, die Frage algebraisch zu klären.
Sei [mm] q_F [/mm] die Fehlerwahrscheinlichkeit für ein Zeitintervall
von einer halben Minute. Dann gilt, weil eine Minute
aus zwei halben Minuten besteht:
$\ [mm] p_F\ [/mm] =\ [mm] 1-(1-q_F)^2\ [/mm] =\ [mm] 2\,q_F-q_F^2$
[/mm]
Nach [mm] q_F [/mm] aufgelöst ergibt dies:
$\ [mm] q_F\ [/mm] =\ [mm] 1-\sqrt{1-p_F}$
[/mm]
2.5 Minuten sind 5 halbe Minuten, also erhalten wir für
die W'keit, dass innert 2.5 Minuten etwas schief geht:
$\ P\ =\ [mm] 1-(1-q_F)^5\ [/mm] =\ [mm] 1-\left(\sqrt{1-p_F}\right)^5\ [/mm] =\ [mm] 1-(1-p_F)^{2.5}$
[/mm]
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Mo 21.09.2009 | | Autor: | Anselme |
Das ist es, danke!
Kann man den Beweis verallgemeinern? Wenn ich versuche, den allgemeinen Fall zu lösen und k als den Quotienten der beiden Zeitintervalle definiere
[mm]k=\bruch{t_2}{t_1}[/mm]
muss ich zunächst einen gemeinsamen Teiller finden, der dann mit der W'keit [mm]q_{F}[/mm] belegt ist. Allerdings ist der Grad der zu lösenden Gleichungen nun wieder variabel... unappetitlich. Wahrscheinlich ist die Lösung für einen beispielhaften Wert am elegantesten?
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> Das ist es, danke!
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> Kann man den Beweis verallgemeinern? Wenn ich versuche, den
> allgemeinen Fall zu lösen und k als den Quotienten der
> beiden Zeitintervalle definiere
>
> [mm]k=\bruch{t_2}{t_1}[/mm]
>
> muss ich zunächst einen gemeinsamen Teiler finden, der
> dann mit der W'keit [mm]q_{F}[/mm] belegt ist. Allerdings ist der
> Grad der zu lösenden Gleichungen nun wieder variabel...
> unappetitlich. Wahrscheinlich ist die Lösung für einen
> beispielhaften Wert am elegantesten?
Hallo,
Der Fall mit der Intervallhalbierung war deshalb so
"schön", weil man es nur mit einer quadratischen
Gleichung zu tun hat. Darauf aufbauend könnte
man zuerst einmal die Intervallhalbierung fort-
setzen und mittels Induktionsbeweis zeigen, dass
die Formel für alle k der Form [mm] k=\frac{1}{2^n} [/mm] und
[mm] k=\frac{i}{2^n} [/mm] gilt. Zur Verallgemeinerung auf
beliebige reelle k wäre dann noch ein Stetigkeits-
argument vonnöten.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 Mo 21.09.2009 | | Autor: | Anselme |
Hallo & Vielen Dank für Ihre Hilfe!
Das scheint dann doch etwas komplizierter zu werden. Den Induktionsbeweis werde ich wohl nicht in endlicher Zeit zustande bringen  Ich werde das an einem langen Abend mal versuchen, ansonsten belasse es bei dem Verweis auf den verallgemeinerten Binomialkoeffizienten.
Kann ich nicht auch folgendermaßen (brutal) argumentieren?:
Wenn ich weiß, daß
1. die diskrete Funktion [mm]P=f(p_F,k)[/mm] für alle ganzzahligen [mm]k[/mm] mit der gesuchten Funktion übereinstimmt,
2. Zwischenwerte physikalisch Sinn machen, jedoch
3. jegliche Unstetigkeit physikalisch kein bißchen plausibel wäre,
dann muss doch der Verlauf zwischen den Punkten die einfachste mögliche (stetige) Lösung sein.
Ich gebe zu, daß ein mathematischer Beweis in der Regel etwas anders aussieht...
LG,
Anselme
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