2.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:43 Do 02.12.2010 | | Autor: | Ice-Man |
Hallo,
ich habe mal bitte eine Frage zum Lösungsweg meiner Aufgabe.
Irgendwo habe ich da einen Fehler.
Gegeben war,
[mm] y''-2y'+y=e^{2x}
[/mm]
--> [mm] y_{H}=C_{1}e^{x}+xC_{2}e^{x}
[/mm]
Ansatz: [mm] y=Ax*e^{2x}
[/mm]
--> [mm] y'=e^{2x}(A+2Ax)
[/mm]
[mm] y''=e^{2x}(4A+4Ax)
[/mm]
Das habe ich jetzt eingesetz und erhalte,
4A+4Ax-2A-4Ax+Ax=1
2A+Ax=1
[mm] A=\bruch{1}{2}
[/mm]
Das habe ich jetzt in den Ansatz eingesetz, und dann [mm] y_{H} [/mm] addiert.
Daraufhin erhalte ich
[mm] y_{I}=\bruch{1}{2}xe^{2x}+C_{1}e^{x}+xC_{2}e^{x}
[/mm]
Nur ich bin jetzt der Meinung, das ich da schon einen Fehler gemacht habe. Denn wenn ich weiterrechne, erhalte ich nicht meine gegebene Lösung.
Kann mir evtl. jemand weiterhelfen?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Fr 03.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Ansatz ist falsch.
wenn er richtig wäre dann hättest du ja [mm] (2A+Ax)*e^{2x}=e^{2x}
[/mm]
durch Koeffizientenvergleich : Terme mit x müssen 0 sein also A=0 und Terme ohne x müssen 1 sein also a=1/2
da beides nicht geht, gibts kein A.
also neuer Ansatz [mm] y=A*e^{2x}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:38 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Ice-Man |
Also mit dem Ansatz funktioniert das ja ohne Probleme.
Ansatz: [mm] y=Ae^{2x}
[/mm]
[mm] y'=2Ae^{2x}
[/mm]
[mm] y''=4Ae^{2x}
[/mm]
--> A=1
--> [mm] y_{P}=e^{2x}
[/mm]
--> [mm] y_{H}=C_{1}e^{x}+xC_{2}e^{x}
[/mm]
--> [mm] y_{I}=C_{1}e^{x}+xC_{2}e^{x}+e^{2x}
[/mm]
[mm] -->C_{1}=1 [/mm] und [mm] C_{2}=0
[/mm]
Lösung: [mm] y=e^{x}+e^{2x}
[/mm]
Ok, das stimmt ja.
Nur in meinem Buch steht, das bei [mm] y_{P}A*e^{cx} [/mm] c keine Lösung der Gleichung ist.
Aber wenn ich [mm] y_{P}=Ax*e^{cx} [/mm] ist c eine einfache Lösung.
Wie kann ich das verstehen?
Und dann bitte noch eine allgemeine Frage. Ich habe ja die Lösung [mm] y=e^{x}+e^{2x} [/mm] erhalten. Kann ich diese Lösung jetzt auch durch eine "Probe" bestätigen?
Besteht die Möglichkeit?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:03 Fr 03.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also mit dem Ansatz funktioniert das ja ohne Probleme.
>
> Ansatz: [mm]y=Ae^{2x}[/mm]
>
> [mm]y'=2Ae^{2x}[/mm]
> [mm]y''=4Ae^{2x}[/mm]
>
> --> A=1
> --> [mm]y_{P}=e^{2x}[/mm]
>
> --> [mm]y_{H}=C_{1}e^{x}+xC_{2}e^{x}[/mm]
>
> --> [mm]y_{I}=C_{1}e^{x}+xC_{2}e^{x}+e^{2x}[/mm]
>
>
> [mm]-->C_{1}=1[/mm] und [mm]C_{2}=0[/mm]
Wieso das ??
>
> Lösung: [mm]y=e^{x}+e^{2x}[/mm]
Lösung von was ? Obiges ist nur eine Lösung von vielen !
>
> Ok, das stimmt ja.
>
> Nur in meinem Buch steht, das bei [mm]y_{P}A*e^{cx}[/mm] c keine
> Lösung der Gleichung ist.
c soll (oder auch keine) von was sein ?
>
> Aber wenn ich [mm]y_{P}=Ax*e^{cx}[/mm] ist c eine einfache Lösung.
diesen Satz verstehe ich nicht !
>
> Wie kann ich das verstehen?
>
> Und dann bitte noch eine allgemeine Frage. Ich habe ja die
> Lösung [mm]y=e^{x}+e^{2x}[/mm]
"die Lösung" ? von was ?
> erhalten. Kann ich diese Lösung
> jetzt auch durch eine "Probe" bestätigen?
>
> Besteht die Möglichkeit?
na klar, differenziere 2 mal und schau ob die DGL erfüllt ist.
FRED
>
> Danke
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