2.Primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass [mm] n^4+4[/mm] [mm]n\in\IN\[/mm] n>1, keine primzahl ist.
so hab ich gerechnet:
n: gerade n=2k folgt: [mm] (2k)^4+4=16k^4+4 [/mm] --> Rest 4 also kein primzahl
n: ungerade n=(2k+1) folgt: [mm] (2k+1)^4+4=16k^4+32k^3+24k^2+8k+1+4
[/mm]
= [mm] 16k^4+32k^3+24k^2+8k+5 [/mm] --> Rest 5 also kein primzahl |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Sind meine Aussagen korrekt oder sollte ich anders vorgehen? Wenn ja wie soll es aussehen?
danke
yusuf(sakarsakir)
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[mm] \forall [/mm] p prim [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] gilt: p teilt n^(p-1) - 1
Also teilt 5 somit auch [mm] n^4 [/mm] + 4 = (n^(5-1) - 1) + 5.
Andernfalls kannst du das auch mit den Restklassen modulo 5 von Hand zeigen.
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kannst du es bitte bißchen erklären ich verstehe nicht wie du auf
$ [mm] \forall [/mm] $ p prim $ [mm] \forall [/mm] $ n $ [mm] \in \IN [/mm] $ gilt: p teilt n^(p-1) - 1 aussage gekommen bist. warum n^(p-1)-1? die gleichung ist doch [mm] n^4+4. [/mm] was ist n^(p-1)-1?
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Zunächst möchte ich mich für die Darstellung entschuldigen. Ich bin noch nicht ganz mit dem Zeichensatz vertraut.
Fermatscher Satz:
Es sei p eine Primzahl. Dann gilt: [mm] \forall a\in\IZ [/mm] ist [mm] a^p \equiv [/mm] a (mod p).
Falls p kein Teiler von a ist, gilt sogar: [mm] a^{p-1} \equiv [/mm] 1 (mod p).
Eulersche Verallgemeinerung des Fermatschen Satzes:
Es sei phi(m) die Anzahl der natürlichen Zahlen kleiner oder gleich m, die zu m relativ prim sind. (Relativ prim bedeutet, dass der größter gemeinsamer Teiler 1 ist.)
Ist a relativ prim zu m, so gilt: [mm] a^{phi(m)} \equiv [/mm] 1 (mod m).
Für dein Problem braucht man dieses Hintergrundwissen nicht.
Ich behaupte: 5 teilt [mm] n^4 [/mm] + 4 für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Beweis: Unterscheide fünf Fälle:
n = 5*a + 0
n = 5*a + 1
n = 5*a + 2
n = 5*a + 3
n = 5*a + 4
Beachte: [mm] (a+b)^4 [/mm] = [mm] a^4 [/mm] + [mm] 4*a^3*b [/mm] + [mm] 6*a^2*b^2 [/mm] + [mm] 4*a*b^3 [/mm] + [mm] b^4.
[/mm]
Du wirst sehen, dass du 5 ausklammern kannst.
Nun ist für alle [mm] n\not=1 [/mm] der Ausdruck [mm] n^4 [/mm] + 4 > 5, also 5 ein echter Teiler und somit [mm] n^4 [/mm] + 4 für alle n > 1 keine Primzahl. qed
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Sa 11.11.2006 | | Autor: | sakarsakir |
hallo,
danke erstmal für deine hilfen.
es ist mir noch nicht ganz klar wieso [mm] (n^4+4)/5 [/mm] gilt.
damit ich es behaupten kann muss ich es nachweisen und dafür muss ich doch untersuchen wie sich der ausdruch für gerade und ungerade zahlen verhält. so hatte ich zumindest gedacht und gerechnet.
ich hatte für gerade zahlen: $ [mm] (2k)^4+4=16k^4+4 [/mm] $
und für ungerade zahlen: $ [mm] 16k^4+32k^3+24k^2+8k+5 [/mm] $
weder für gerade noch für ungerade zahlen kann ich die fünf ausklammern.
gerade n habe ich als 2k deffiniert und ungerade n mit 2k+1 beschrieben ist es falsch?
danke
sakarsakir
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hallo,
danke erstmal für deine hilfen.
es ist mir noch nicht ganz klar wieso $ [mm] (n^4+4)/5 [/mm] $ gilt.
damit ich es behaupten kann muss ich es nachweisen und dafür muss ich doch untersuchen wie sich der ausdruch für gerade und ungerade zahlen verhält. so hatte ich zumindest gedacht und gerechnet.
ich hatte für gerade zahlen: $ [mm] (2k)^4+4=16k^4+4 [/mm] $
und für ungerade zahlen: $ [mm] 16k^4+32k^3+24k^2+8k+5 [/mm] $
weder für gerade noch für ungerade zahlen kann ich die fünf ausklammern.
gerade n habe ich als 2k deffiniert und ungerade n mit 2k+1 beschrieben ist es falsch?
danke
sakarsakir
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hallo,
muss auch gerade diese Aufgabe machen.
Ich habe mir überlegt, dass eine Zahl beim Teilen durch fünf die Reste 0-4 lassen kann.
Man kann für n also folgendes einsetzen und dann jeweil ausrechenen und die fünf ausklammern:
n= 5*q + 0
n= 5*q + 1
n= 5*q + 2
n= 5*q + 3
n= 5*q + 4
Wie es weiter oben auch schon jemand beschrieben hatte. Denn ich glaube mit gerade/ ungerade Zahl einsetzen kommt man hier nicht weiter.
Aber trotzdem habe ich hier dann ein problem, denn wenn man vom Rest 0 ausgeht und 5* q + 0 für n einsetzt, dann ist
n ^4+ 4 nicht durch 5 teilbar ! Aber eine ungerade Zahl, die also theoretisch durchaus Primzahl sein könnte!
Kann jemand helfen ????
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 15.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo sakarsakir,
es ist [mm]n^4+4=(n^2)^2 +2^2=(n^2+2)^2-4n^2=(n^2+2)^2 -(2n)^2[/mm]. Jetzt noch dritte binomische Formel anwenden...
Hoffe das hilft
Mfg
zahlenspieler
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 So 12.11.2006 | | Autor: | otto.euler |
Es gilt: [mm] n^4 [/mm] + 4 = ( [mm] (n+1)^2 [/mm] + 1 ) * ( [mm] (n-1)^2 [/mm] + 1 )
und wegen n>1 sind beide Faktoren >1, also eine echte Zerlegung.
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